Xreferat.com » Рефераты по авиации и космонавтике » Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания

А сколько
стоит написать твою работу?

цену

Вместе с оценкой стоимости вы получите бесплатно
БОНУС: спец доступ к платной базе работ!

и получить бонус

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту.

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.

В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания

Вступление:

При движении тел в однородном гравитационном поле, их траектории представляют собой параболы. И решая задачу относительно дальности полета, как функции начальной скорости и угла бросания тела, можно найти максимальную дальность перелета:


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания, Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


А, следовательно, и обратное решение для начальных, угла и скорости бросания тела, при которых обеспечивается перелет на заданное, максимальное расстояние.


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания, Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания,


Угол Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания отсчитывается от горизонта.

При рассмотрении движения тел в сферически симметричном гравитационном поле, их траектории, представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых, находится источник гравитационного поля (в случае сферически симметричных тел - центр притягивающего центрального тела). Если бросание тел производить с поверхности центрального тела (Планеты), то дальность перелета (т.е. расстояние от точки бросания до точки падения) можно представить в виде длины дуги на поверхности сферы. Тогда, решая баллистическую задачу, можно найти такие начальную скорость и начальный угол бросания тела, при которых обеспечивается перелет тела, на заданное расстояние с наименьшими энергозатратами.

Решение:

Для решения данной задачи в первую очередь найдем функцию дальности перелета брошенного тела от начальной скорости и начального угла бросания. А так же всесторонне изучим данную зависимость.


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания-Радиус планеты

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания-Начальная скорость

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания-Начальный угол

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания-Параметр орбиты

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания-Гравитационный параметр планеты

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания -Дальность бросания тела Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


Как видно из рисунка, для нахождения Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания, необходимо найти угол Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания. Применяя результаты решения задачи Кеплера и используя не сложные вычисления, найдем зависимость


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания.

Т.к. Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


(Где Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания- эксцентриситет орбиты)

То, выражая значения параметра и эксцентриситета орбиты через Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания и Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания, получим конечное выражение:

Для простоты обозначим:


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания, т.к.Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания.


В результате будем иметь:


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


Итак, мы получили зависимость дальности перелета брошенного тела от начальных скорости и угла бросания. Так как при незначительных скоростях бросания и дальность перелета брошенного тела также будет незначительна, а в качестве траектории брошенного тела будет выступать апоцентрическая окрестность эллипса, которая аппроксимируется (приближается) параболой, то можно ожидать, что при небольшой скорости (скоростях, много меньших первой космической скорости) бросания, максимальная дальность будет обеспечиваться при угле бросания, близкому к значению Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания от горизонта, т.е. при Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания.

Действительно, изобразив графически зависимость дальности бросания тела [Km] от угла вектора скорости к горизонту, (при фиксированной скорости) можно проследить данный факт.

B=0.1

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания

B=0.6

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания

B=0.9

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


Из графиков видно, что при незначительных скоростях бросания, максимум зависимости приходится на угол равный 45 градусов от горизонта. А при дальнейшем увеличении скоростей, максимум дальности перелета смещается в сторону малых углов. И при приближении скорости бросания к круговой скорости (первой космической), выше приведенная зависимость переходит в прямую, имеющую максимальное значение при 0 градусов, равное Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания, т.е. половину длины окружности планеты.

B=1.0

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


То есть мы увидели, что максимальная дальность перелета тела, при фиксированной скорости бросания, обеспечивается при определенном угле, который является функцией скорости броска. Чтобы найти данный угол, продифференцируем функцию дальности броска по углу бросания и после чего, приравняв ее к нулю, выразим значение угла.


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


А после подстановки данного выражения обратно в зависимость дальности, найдем максимальное расстояние броска, которое можно обеспечить при заданной начальной скорости Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания. Т.е. т.к.

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания, определим максимально возможную дальность перелета, как функцию начальной скорости.


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


Решая обратную задачу, можно зная расстояние, на которое необходимо бросить тело, найти ту оптимальную скорость и угол броска, при которых обеспечится перелет тела на данное расстояние с наименьшими энергозатратами.

Для решения данной задачи, составим квадратное уравнение для выражения Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания. Где обозначим: Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания. С учетом данных замен, уравнение примет вид:


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


Чтобы оценить корни уравнения, построим графики для Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания при различных значениях Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания.

Так как Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания, Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания.


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросанияЗависимость дальности перелета объекта от угла бросания


Из графиков квадратного уравнения можно заметить, что при малых дальностях броска, два корня данного уравнения практически совпадают в окрестностиЗависимость дальности перелета объекта от угла бросания, но при увеличении дальности броска до значения Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания решение распадается на две части. Причем один корень всегда положительный, а другой отрицательный. А так как Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания, отрицательный корень отбрасываем, так как он не имеет смысла.

И находя положительное решение данного уравнения, имеем:

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


Откуда легко получить значение скорости, при которой обеспечивается перелет на заданное расстояние (по оптимальной траектории).

Т.к. Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания, то получим конечное выражение:


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


А, подставляя данное выражение в формулу для оптимального угла, найдем значение угла, при котором обеспечивается перелет.


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


Итак, задача решена!!!


Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


Все графики построены на примере бросания тел с Лунной поверхности:

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания, Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания


Примечания:

Апоцентр - наиболее удаленная от центрального тела точка эллиптической орбиты.

Апоцентрическая окрестность- окрестность эллипса, в близи точки апоцентра.

3. Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания- гравитационный параметр планеты, где Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания- гравитационная постоянная, Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания - масса планеты. Используется в качестве упрощения записи выражений, а также по причине того, что гравитационный параметр планет гораздо более точно определен из эксперимента, нежели определены гравитационная постоянная и массы планет в отдельности.

4. Понятие эксцентриситета орбиты вводится в аналитической геометрии при изучении кривых второго порядка (конических сечений). Эксцентриситет характеризует степень вытянутости орбиты (эллипса), и для замкнутых орбит лежит в интервале от 0 до 1. Т.е. для абсолютно круглой орбиты эксцентриситет равен 0, для параболической орбиты его значение равно 1, для гиперболических траекторий значение эксцентриситета больше 1.

В случае замкнутых орбит:

Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания, где Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания- расстояние от центра эллипса до одного из его фокусов, Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания- большая полуось орбиты (эллипса.)

5. Зависимость дальности перелета объекта от угла бросанияи Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания - некоторые функции, которые используются тля упрощения записи выражений. Т.е. на самом деле Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания имеет довольно громоздкий вид, и целесообразно в данной зависимости сделать замену Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания. К тому же данная замена позволит более наглядно оценить вышеприведенную зависимость. В данном случае Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания- это отношение скорости бросания, к первой космической скорости. Аналогичным образом и для подобных целей производится замена Зависимость дальности перелета объекта от угла бросания.