Решение обратных задач динамики

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана»

Калужский филиал

Факультет электроники, информатики и управления

Кафедра "Системы автоматического управления и электротехника" (ЭИУ3-КФ)

Решение обратной задачи динамики

Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе

по курсу «ТиСУ»

Выполнил: Продувнов Д.В.

Группа: САУ-91

Руководитель: доцент, к.т.н.

Акименко Д.А.

Калуга 2008

Содержание

Введение

1. Основные направления развития концепций обратных задач динамики

2. Обратные задачи динамики в теории автоматического управления

3. Применение спектрального метода для решения обратных задач динамики

4. Практическая часть

5. Результаты расчёта

Приложения

Введение

Предлагаемая работа посвящена разработке на основе концепций обратных задач динамики математических методов и построенных на их основе алгоритмов синтеза законов управления и определения параметров настройки САУ из условия реализации на выходе системы законов максимально приближенных в известном смысле к эталонным. Основными в этих методах являются понятия спектральных характеристик функций и систем, под которыми понимаются совокупности коэффициентов Фурье процесса относительно выбранного ортонормированного базиса

1. Основные направления развития концепций обратных задач динамики

Динамика как раздел науки о движении рассматривает следующие задачи:

– по заданным силам, действующим на систему, определить закон движения (траекторию) этой системы;

– по заданному закону движения системы определить силы, под действием которых это движение происходит.

Эти задачи являются в определенном смысле противоположными по своему содержанию. Поэтому их именуют прямой и обратной задачами.

Хотя обратные задачи динамики имеют давнюю и богатую историю, в настоящее время можно встретить их различное толкование и понимание. Наиболее обобщенное определение понятия обратных задач динамики следующее. Обратными задачами динамики называются задачи об определении активных сил, действующих на механическую систему, параметров механической системы и связей, наложенных на систему, при которых движение с заданными свойствами является одним из возможных движений рассматриваемой механической системы.. Здесь под обратными задачами динамики понимаются задачи об определении законов управления движением динамических систем и их параметров из условия осуществления движения по назначенной траектории.

На протяжении длительного времени первая задача являлась основной. В средние века предметом исследований классической механики оказалось, в основном, установление свойств движения заданной механической системы под действием полностью известных сил, т.е. решались так называемые детерминированные прямые задачи динамики. В те времена это и было оправдано, так как соответствующий уровень развития производительных сил потребовал решения в первую очередь задач установления свойств движения механических систем различных конструкций под действием заданных нагрузок и сил. Кроме того, решение прямых задач привлекало еще и тем, что, казалось, оно может восстановить прошлое в движении механической системы и предсказать будущее, если известно состояние системы в данный момент времени. Правда, эта иллюзия детерминизма была вскоре развеяна, в основном, благодаря развитию одного из разделов самой классической механики, теории устойчивости движения. Было установлено, что ни один процесс в природе не происходит так, как он определяется решением соответствующих уравнений движения при заданных начальных условиях.

Это объясняется, во-первых, тем, что сами уравнения движения не могут быть составлены точно с учетом всех явлений; во-вторых, любое движение механической системы сопровождается начальными, параметрическими и постоянно действующими возмущениями, они и вызывают отклонение действительного движения системы от движения, полученного решением детерминированной прямой задачи. Было установлено также, что для сохранения желательных свойств движения необходимо управлять движением рассматриваемой механической системы, добиваться устойчивости этого движения, требовать, чтобы оно было неподатливым ко всякого рода возмущениям. А для этого предварительно приходилось решать обратные задачи динамики, определять, при каких условиях осуществимо движение с заданными свойствами.

С другой стороны, и само развитие теории управления движениями материальных систем вызвало необходимость решения обратных задач динамики в различных постановках. Все это привело к тому, что обратные задачи классической механики оказались своего рода направляющими и исходными задачами современной науки об управлении движениями материальных систем различной физической природы и конструкций.

В настоящее время можно говорить о трех классах обратных задач динамики:

– обратные задачи аналитической механики;

– обратные задачи динамики управляемого полета;

– обратные задачи динамики в теории автоматического управления.

2. Обратные задачи динамики в теории автоматического управления

Теория автоматического управления и регулирования развивалась независимо от возникновения и развития концепций обратных задач динамики. Начиная с первых простейших автоматических регуляторов, инженеры и конструкторы создавали автоматические системы, которые обеспечивали протекание управляемых процессов по желаемым законам. В результате в теории автоматического управления разработано большое число практических приемов и методов, которые успешно применяются при проектировании и создании автоматических систем различного назначения. В основе каждого метода заложены концепции обратных задач динамики управляемых систем.

Действительно, частотные методы расчета и проектирования систем автоматического регулирования и управления основаны на приближении частотных характеристик проектируемой системы к соответствующим характеристикам желаемого вида, т.е. процессы в проектируемой системе должны быть близки к процессам, протекающим в некоторой эталонной системы, отвечающей требованиям технического задания на проектирования.

Расчет параметров систем автоматического регулирования корневыми методами также основан на приближении динамических характеристик проектируемой системы к соответствующим характеристикам некоторой эталонной системы. Мера близости динамических характеристик в таких процедурах расчета определяет соответствие между распределениями корней характеристических уравнений проектируемой и эталонной систем.

В теории автоматического управления широкое развитие получили методы синтеза замкнутых систем, основанные на решении оптимизационных задач с использованием различных функционалов, характеризующих качество процессов управления. Большое число процедур было разработано для параметрической оптимизации систем регулирования по критерию минимума интегральных квадратичных оценок, введенных А.А. Красовским еще в 40-е годы.

По определению интегральными квадратичными оценками рассматриваемой системы являются:

- оценка нулевого порядка,

- оценка первого порядка,

- оценка порядка n,

где x(t) – выходная переменная, характеризующая состояние системы - ее производные; n – порядок системы. Величины постоянны и имеют размерность времени.

Для вычисления интегральных квадратичных оценок разработаны различные приемы и способы, которые можно в учебной литературе по теории автоматического регулирования.

Задача формулируется следующим образом. Задана структура динамической системы; некоторые параметры системы являются варьируемыми, а остальные должны оставаться неизменными. Требуется найти такие значения варьируемых параметров, при которых реализуется минимум какой-либо интегральной квадратичной оценки. Сформулированная задача является задачей параметрической оптимизации динамической системы. Найденные в результате ее решения параметры именуются оптимальными, а систему с такими параметрами называют оптимальной по переходному процессу.

Схема решения задачи параметрической оптимизации в аналитической форме такова. Пусть есть те параметры, которые необходимо определить из условия реализации минимума принятой интегральной квадратичной оценки . Выражение для оценки содержит неизвестные параметры . Оптимальные значения параметров определяются из уравнений . Практически параметрическая оптимизация проводится с применением численных методов, так как в аналитическом виде решение может быть получено в простейших случаях. Выражения для оказываются громоздкими, а уравнения для оптимальных параметров нелинейными.

Однако, как показано в работах А.А. Красовского и А.А. Фельдбаума, оптимальность системы по интегральному квадратичному критерию равносильна тому, что ошибка системы как функция времени подчиняется в процессе управления соответствующему дифференциальному уравнению.

Действительно. Пусть состояние системы характеризуется выходной переменной x(t) и ее производными ). Предполагается, что порядок системы равен n. Пусть в начальный момент

, ,..., (1.1)

Принимается, что собственное движение системы асимптотически устойчиво. Тогда при система стремится к положению равновесия:

(1.14)

Рассмотрим оценку и найдем такую функцию x(t), которая удовлетворяет граничным условиям (1.1), (1.2) и доставляет минимум интегралу . Обозначим через подынтегральное выражение в . Тогда согласно теории вариационного исчисления необходимое условие экстремума (минимума) интеграла будет иметь вид

(1.3)

Это дифференциальное уравнение называется уравнением Эйлера-Пуассона. С учетом выражения для можно найти

и, кроме того,

Следовательно, уравнение (1.3) будет

(1.4)

Таким образом, экстремаль x(t), на которой интеграл обращается в минимум, является решением дифференциального уравнения (1.4) порядка 2n. При этом x(t) должна удовлетворять граничным условиям (1.1) и (1.2). Характеристическое уравнение, отвечающее (1.16), таково:

Оно обладает тем свойством, что его корни попарно симметричны относительно начала координат комплексной плоскости p, т.е. корням , соответствуют корни, . На этом основании решение (1.4) можно записать в виде

(1.5)

где постоянные , должны быть такими, чтобы выполнялись граничные условия.

Пусть для определенности корни таковы, что

, ,

В этом случае постоянные в (1.5) должны быть равными нулю в силу того, что согласно (1.2) при функция и ее производные стремятся к нулю. Таким образом, выражение для экстремали должно быть

. (1.6)

Однако известно, что , определяемая формулой (1.6), есть решение одного дифференциального уравнения n-го порядка

(1.7)

Коэффициенты этого уравнения однозначно выражаются через корни по формулам Виета.

Отметим, что начальными условиями для уравнения (1.7) являются (1.1).

Из приведенного анализа следует, что экстремаль интеграла при граничных условиях (1.1), (1.2) является решением однородного дифференциального уравнения (1.7), порядок которого равен порядку оптимизируемой системы. На этом основании можно заключить, что параметрическая оптимизация системы по критерию минимума интегральной квадратичной оценки выполняется из условия, чтобы выходная переменная x(t) системы в свободном движении изменялась во времени по предписанному закону, определяемому дифференциальным уравнением (1.7). Это в свою очередь означает, что задачу параметрической оптимизации можно рассматривать как обратную задачу динамики, формулируемую следующим образом: динамическая система заданной структуры имеет варьируемые параметры ; требуется найти такие значения этих параметров, при которых движение системы проходит по предписанной траектории, определяемой дифференциальным уравнением вида (1.7).

Практически не всегда оказывается возможным провести параметрический синтез системы из условия, чтобы ее выходная переменная x(t) в точности была равна переменной , которая является экстремалью минимизируемого функционала . В большинстве случаях параметры ищутся из условия наилучшего (в каком-либо смысле) приближения x(t) и . Очень часто в качестве меры приближения используют определенные интегралы:

и другие. Здесь - отклонение выходной переменной оптимизируемой системы от экстремальной кривой ; , - производные по времени; , - положительные числа. Выражение (1.7) представляет собой, по сути дела, также интегральные оценки, записанные для отклонений траектории синтезируемой системы от назначенной.

В прикладных задачах параметрической оптимизации не всегда используются интегральные квадратичные оценки, порядок которых равен порядку дифференциального уравнения оптимизируемой системы. Очень часто параметрический синтез проводят по квадратичным оценкам первого и второго порядка. В таких случаях параметры системы определяются из условия, чтобы выходная переменная x(t) приближалась к решению дифференциального уравнения первого или соответственно второго порядка.

Таким образом, требование оптимальности системы по переходному процессу в смысле минимума интегральной квадратичной оценки равносильно требованию, чтобы выходная переменная системы в ее свободном движении изменялась в соответствии с решением однородного дифференциального уравнения порядка m.

3. Применение спектрального метода для решения обратных задач динами

Рассмотрим решение спектральным методом обратной задачи динамики в следующей постановке.

Известна система автоматического управления (регулирования), которая может быть как стационарной, так и нестационарной, и работа которой описывается следующим дифференциальным уравнением:

(2.1)

где

- сигнал на выходе системы;

- сигнал на входе системы;

- коэффициенты дифференциального уравнения, являющиеся функциями времени.

При этом неизвестны некоторые параметры настройки системы управления, которые необходимо определить в процессе решения задачи. Обозначим множество этих параметров через где - их число. Тогда коэффициенты дифференциального уравнения будут зависеть от и, следовательно можно записать;

(2.2)

Задан эталонный сигнал на интервале или его спектральная характеристика, который необходимо получить на выходе системы (2.2). В общем случае могут быть заданы ненулевые начальные условия:

(2.3)

Для заданных дифференциального уравнения (2.2), эталонного выходного сигнала и начальных условий (2.3) необходимо определить входной сигнал и искомые сигнала на выходе получили бы сигнал, максимально параметры настройки такими, что при подачи на вход системы автоматического управления найденного входного в известном смысле приближенный к эталонному.

В качестве меры близости реального сигнала на выходе системы (2.2), (2.3) к эталонному сигналу на интервале примем следующий функционал

(2.4)

Неизвестный входной сигнал будем искать в форме его спектрального разложения в ряд по некоторому базису ортонормированных функций ;

где коэффициенты , неизвестны и их необходимо определить.

Следовательно входной сигнал будет зависеть от времени и от множества параметров Тогда дифференциальное уравнение (2.2) можно записать в следующей виде

(2.5)

Интегрируя уравнение раз с учетом начальных условий, получим

(2.6)

Воспользовавшись справедливым для любой непрерывной функции тождеством

равенство (2.6) можно переписать в виде

(2.7)

Интегрируя полученное равенство (2.7) по частям и применяя формулы

получим

(2.8)

где

Уравнение (2.8) представляет собой уравнение Вольтера 2-го рода. Преобразуем его к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода на интервале исследования :

(2.9)

где

Таким образом, получены две эквивалентные формы описания системы: дифференциальное уравнение (2.2) с начальными условиями (2.3) и интегральное уравнение (2.9). Функция в выражении (2.9) представляет собой полином, коэффициенты которого зависят от начальных условий (2.3) и от множества искомых параметров настройки системы автоматического управления (регулирования). Перепишем , изменив порядок суммирования

Введем следующие обозначения:

Тогда полином можно записать следующим образом

где - вектор-столбец начальных условий; - вектор-столбец полиномов .

Рассмотрим левую часть уравнения (2.9). Представим функции, входящие в нее, в виде разложений в ряд по ортонормированному базису .

Имеем

, (2.10)

где - спектральная характеристика выходного сигнала , элементы которой определяются из соотношения

(2.11)

где - квадратная матрица размерностью