Xreferat.com » Рефераты по финансовым наукам » Финансовая математика

Финансовая математика

вариант 1


В чем заключается принцип неравноценности денег?


Сумма денег независимо от их происхождения и назначения в финансовых операциях обязательно связываются с некоторыми моментами или интервалами времени. Фактор времени, особенно в долгосрочных финансовых операциях, играет не менее важную роль, чем размеры самих денежных сумм.

Необходимость учета этого фактора выражается в виде принципа неравноценности денежных сумм, относящихся к различным моментам времени, даже если эти суммы одинаковы. Неравноценность двух одинаковых денежных сумм, относящихся к разным моментам времени, определяются тем, что любую сумму денег можно инвестировать и получить доход от этих инвестиций. Полученный доход можно реинвестировать и т.д.  В наиболее общем виде принцип неравноценности денег можно сформулировать так: сегодняшние деньги ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.


В каких случаях используются простые проценты?


Простые проценты чаще всего используются при краткосрочных (длительностью менее года) операциях. Проценты начисляются один раз в конце срока вклада.

В банковских договорах процентная ставка указывается за год. Для других периодов (например, месяца) нужно перевести срок вклада в дни использовать для расчета простых процентов следующую формулу:


Fv = Sv * ( 1 + R * (Td / Ty) ), где

Fv — итоговая сумма;

Sv — начальная сумма;

R — годовая процентная ставка;

Td — срок вклада в днях;

Ty — количество дней в году.


Опишите дисконтирование по сложным процентам. Приведите примеры.


Дисконтирование стоимости (discounting) — процесс приведения будущей стоимости денежных средств (вклада) к их настоящей стоимости путем исключения из будущей суммы соответствующей величины процента (дисконта). Посредством такой финансовой операции достигают сопоставимости текущей стоимости предстоящих денежных потоков.

Сложный процент — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которую не выплачивают, а присоединяют к основной сумме капитала (вклада) в последующем платежном периоде.

Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дисконтирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина.

В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.

Итак, рассмотрим использование при математическом дисконтировании сложных процентных ставок:


Финансовая математика                                          (1)


Если проценты будут начисляться m раз в году, то формула (1) примет вид:

Финансовая математика                                          (2)


Пример 1

Банк производит начисление процентов на внесенную сумму по сложной процентной ставке, равной 20 % в год. Какую сумму следует положить на депозит при условии, что вкладчик рассчитывает получить 10 000 тыс. руб. через 10 лет? Требуется рассмотреть два варианта начисления процентов — ежегодное и ежеквартальное.

При ежегодном начислении процентов по формуле (1):

PV = 10 000 / (1 + 0,2)10 = 1615,1 тыс. руб.

При ежеквартальном начислении процентов по формуле (2):

PV = 10 000 / (1 + 0,2 / 4)40 = 1420,5 тыс. руб.

Использование сложной учетной ставки

Для расчета операции дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула:


PVn = FVn(1 – d)n.                                      (3)


Пример 2

Владелец векселя номинальной стоимостью 500 тыс. руб. и периодом обращения 1,5 года предложил его банку сразу для учета, то есть за 1,5 года до погашения. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 20 % годовых. Требуется определить дисконт, полученный банком, и сумму, выданную владельцу векселя.

Используя формулу (3), находим:

PV = 500 (1 – 0,2)1,5 = 357,77 тыс. руб.

Дисконт банка составит: 500 – 357,77 = 142,23 тыс. руб.

Для данных условий определим сумму, которую получил бы владелец векселя, если бы банк произвел учет векселя по простой учетной ставке 20 %. Для этого используем формулу (5):

PV = 500 (1 – 0,2 Ч 1,5) = 350 тыс. руб.

Дисконт банка составит 500 – 350 = 150 тыс. руб.

Таким образом, банку выгоднее учитывать вексель по простой учетной ставке.

Если дисконтирование по сложной учетной ставке производится m раз в году, расчетная формула будет иметь следующий вид:


Финансовая математика                                  (4)


Пример 3

Сохраним условия предыдущего примера, но пусть расчет дисконтирования производится ежеквартально, то есть m = 4.

По формуле (4) получим:

PV = 500 (1 – 0,2 / 4)6  = 367,55 тыс. руб.

Дисконт банка составит: 500 – 367,55 = 132,45 тыс. руб.

Доход банка при ежеквартальном дисконтировании будет меньше, чем при ежегодном дисконтировании, на: 142,23 – 132,45 = 9,78 тыс. руб.

При дисконтировании с начислением процентов за периоды менее года может использоваться понятие «эффективная сложная учетная ставка». Эффективная сложная учетная ставка, эквивалентная сложной учетной ставке при заданном значении m, определяется по формуле:


dэф = 1 – (1 – d / m)m.                  (5)


Пример 4

Долговое обязательство номинальной стоимостью 500 тыс. руб. должно быть погашено через пять лет. Сложная учетная ставка равна 20 % годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Требуется определить настоящую величину стоимости обязательства и эффективную учетную ставку.

Используя формулы (4) и (5), получим:

PV = 500 (1 – 0,2 / 4)20  = 179,243 тыс. руб.

dэф = 1 – (1 – 0,2 / 4)4 = 0,18549, или 18,549 %.

Подставив значение 18,549 % в формулу (24), получим:

PV = 500 (1 – 0,18549)5 = 179,247 тыс. руб.

Расхождение между величинами настоящей суммы, рассчитанными по этим формулам, находятся в пределах точности расчета.


Как определяется наращенная сумма ренты пренумерандо?


Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i) раз.

Такая рента реализуются сразу же после заключения контракта, т.е. первый платеж производится немедленно, а последующие платежи производятся через равные интервалы. Такие ренты (пренумерандо) также называются авансовыми, или причитающимися аннуитетами. Сумма членов такой ренты определяется по формуле:


Финансовая математика   (1)


То есть сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в Финансовая математика раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:

Финансовая математика    (2)


где S - наращенная сумма постнумерандо.

Как определить номинальную процентную ставку, обеспечивающую наращение реальной ценности денежных средств?

Реальная сумма (ценность) денежных средств — это оценка этой суммы с учетом изменения покупательной способности денег в связи с процессом инфляции.

Корректировка наращенной стоимости с учетом инфляции производится по формуле:


Финансовая математика (1)


где Финансовая математика— реальная будущая стоимость денег,

Fn — номинальная будущая стоимость денег с учетом инфляции.

Здесь предполагается, что темп инфляции сохраняется по годам.

Если r — номинальная ставка процента, которая учитывает инфляцию, то расчет реальной суммы денег производится по формуле:


Финансовая математика, (2)


то есть номинальная сумма денежных средств снижается в (1+Т)n раза в соответствии со снижением покупательной способности денег.

В общем случае при анализе соотношения номинальной ставки процента с темпом инфляции возможны три случая:

r = T: наращение реальной стоимости денежных средств не происходит, так как прирост их будущей стоимости ПОГЛОЩАЕТСЯ инфляцией

r > T: реальная будущая стоимость денежных средств возрастает несмотря на инфляцию

r < T: реальная будущая стоимость денежных средств снижается, то есть процесс инвестирования становится УБЫТОЧНЫМ.


Практические задания:


Клиент поместил в банк 1000$ по ставке простого процента 12,5% на 9 лет и 5 месяцев. Вычислите общую сумму процентного дохода.


Дано:

PV=1000$

r=12,5%=0,125

n=9,5

I=?

Решение:

I = FV-PV = PV Ч r Ч n

I=1000$*0,125*9,5=1187,5$

Ответ:

Общая сумма процентного дохода за 9 лет 5 месяцев составит 1187,5$.


Вычислите ставку процента в годовом исчислении (EPR), если 11,5 % в год с начислением процентов каждые 6 месяцев.


Дано:

r=11,5%=11,5/100

m=2, то есть 2 раза в год

EPR=?

Решение:

EPR = (1+0,115/2)^2 -1 = 0,1183=11,83%

Ответ:

Доходность вклада (эффективная ставка), если проценты начисляются каждые 6 месяцев 11,83% , то есть выше номинальной процентной ставкой на 0,33%.


Найдите годовую норму амортизации, первоначальная стоимость 2000 $, стоимость через четыре года 500$.

Дано:

Фп=2000$

Фл=500$

Тп=4

На-?

Решение:

Годовая норма амортизации должна рассчитываться по формуле:

Финансовая математика,                  

где На – годовая норма амортизации, %;

Фп – первоначальная (восстановительная) стоимость основных фондов, $;

Фл – ликвидационная стоимость основных фондов, $;

Тп – срок полезного использования (или амортизационный период), лет.

НА=(2000-500/4*2000)*100%=18,75%

Ответ: годовая норма амортизации составила 18,75%.


Найдите стоимость инвестиции в конце трех лет. Первоначальная разовая сумма 30 000$. В течение 3 лет изымается 500$ в месяц. Ежегодно начисляется процентный доход из расчета 11% годовых.

Решение:

500$*12 месяцев=6000$ изымается за год

(-6000$)*(1+0,11)^3-(-6000$)=2205,786$

30000$(1+0,11)^3+(-2205,786$)=41028,93$-2205,786$=38823,144$

Ответ:

Стоимость инвестиции в конце трех лет составит 38823,144$.


Определите сумму каждой выплаты, необходимой для погашения следующего кредита: 40 000 $ под 19% годовых, выплаты ежемесячно в течение 4 лет. Рассмотреть 2 типа кредита: а) все проценты по сложной процентной ставке начисляются на всю сумму, затем одинаковые ежемесячные выплаты; б) ежемесячные выплаты по аннуитету.


Дано:

S=40000$

i= 1,583 (19%/12мес)=0,01583

n=48 (4 года/12 мес)

размер выплат по кредиту - ?

Решение:

А) Формула вычисления будущей стоимости ссуды со сложными процентами определяется так:

FV – будущая стоимость ссуды (Future Value).

PV – текущая стоимость ссуды (Present Value).

r – процентная ставка.

T – период ссуды в днях

Ty – количество дней в году

FV=40000$*(1+0,19)^4 = 80213,568$

Следовательно ежемесячные платежи будут составлять 80213,568$/(4*12)=1671,116$

Б) Формула аннуитетных платежей

Коэффициент аннуитета рассчитывается по следующей формуле:


Финансовая математика


где i - месячная процентная ставка по кредиту (= годовая ставка / 12),

n - количество периодов, в течение которых выплачивается кредит.

K=0,01583*(1+0,01583)^48 = 0,0336463 = 0,0299

(1+0,01583)^48-1 1,125248

A=K*S=0,0299*40000$=1196$

Ответ:

А) Ежемесячные выплаты по погашению кредита составят 1671,116$. А переплата по процентам за 4 года составит 40213,568$.

Б) Ежемесячные выплаты по погашению кредита составят 1196$. А переплата по процентам за 4 года составит 17408$.

Можно сделать вывод, что аннуитетные платежи будут выгоднее и могут сэкономить за 4 года 22805,568$.


Суммы 30, 40, 80 тыс. руб. нужно было уплатить через 1 год и 6 месяцев, 2 и 4 года соответственно, применяется сложная процентная ставка 24% годовых. Найти величину консолидированного платежа, который нужно оплатить через 3 года и 5 месяцев? Как изменится результат при ежеквартальном начислении процентов?


Решение:

По сложной ставке процента консолидированный платеж определяется по формуле:



Финансовая математика



S0=30000(1+(3,5-1,6)*0,24)1,6+40000(1+(3,5-2)*0,24)2+80000(1+(3,5-4)*0,24)4=30000*1,82414+40000*1,8496+80000*0,5996953=54724,2+73984+47975,624=176683,82 руб.

Ежеквартально

S0=30000(1+(3,5-1,6)*(0,24/4))1,6*4+40000(1+(3,5-2)*(0,24/4))2*4+80000(1+(3,5-4)*(0,24/4))4*4=30000*1,995562+40000*1,992563+80000*0,614254=5472459866,86+79702,524+49140,32=188709,7 руб.

Ответ: 1) величина консолидированного платежа, который нужно оплатить через 3 года и 5 месяцев составляет 176683,82 руб.

при ежеквартальном начислении процентов величина консолидированного платежа, который нужно оплатить через 3 года и 5 месяцев составляет 188709,7 руб.


Банк выдал клиенту кредит на один год в размере 30 тыс. руб. по ставке 16% годовых. Уровень инфляции за год составил 18%. Определить с учетом инфляции реальную ставку процентов по кредиту, реальную погашаемую сумму и реальную сумму процентов за кредит. Что получит банк от данной финансовой операции доход или убыток?


Дано:

PV=30000 руб.

I = 16%

Инфляция = 18%

n=1

iτ =?, FV = ?, I=?, Iτ=?.

Решение:

Номинальная наращенная сумма

FV = PV(1 + n i) = 30000 (1 + 0,16) = 34800 руб.

Номинальные начисленные проценты

I = FV - PV = 34800 - 30000 = 4800 руб.

Реальная наращенная сумма

FVτ = FV / (1 + τ ) = 34800 / 1,18 = 29491,525 руб.

Реальные проценты

Iτ = FVτ - PV = 29491,525 - 30000 = -508,475 руб.

Таким образом, получен убыток от данной финансовой операции в размере 508,475 руб.

Ставка по кредиту с учетом инфляции должна быть равна

iτ = [(1 + n i) • Iτ - 1] : n = (1,16 • 1,18 - 1) / 1 = 0,3688

Наращенная сумма

FV = PV(1 + n i) = 30000 (1 + 0,3688) = 41064 руб.

Доход банка

I = FV - PV = 41064 - 30000 = 11064 руб.

Iτ = FVτ - PV = 41064 / 1,18 - 30000 = 4800 руб.

Реальная доходность финансовой операции

i = Iτ / PV = 4800 / 30000 = 0,16

Ответ: Таким образом, чтобы обеспечить доходность в размере 16% годовых, ставка по кредиту с учетом инфляции должна соответствовать 36,88% годовым.

Похожие рефераты: