Практическое применение статистических методов

Задача № 1

Имеются следующие данные 25 предприятий легкой промышленности по величине балансовой прибыли и объему произведенной продукции:

Таблица 1.1

С целью изучения зависимости между объемом произведенной продукции и валовой прибылью произведите группировку предприятий по объему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групп предприятий с равными интервалами.

По каждой группе и совокупности предприятий подсчитайте:

число предприятий;

объем произведенной продукции – всего и в среднем на одно предприятие;

валовую прибыль – всего и в среднем на одно предприятие.

Результаты представьте в виде групповой таблицы. Сделайте краткие выводы.

Решение:

1. Произведем группировку предприятий по объему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групп предприятий с равными интервалами.

Определим размах вариации: R = Xmax- Xmin = 800-305 = 495

Длина интервала:

Группировку произведем в таблице 1.2.

Таблица 1.2

Выводы:

Разбив на 5 групп по объему произведенной продукции банки получили, что:

Самая многочисленная группа 3, с количеством входящих в неё шести банков, самая малочисленная – 1, в неё входит 4 банка.

По объему произведенной продукции в общем и среднем, валовой прибыли и средней валовой прибыли на одно предприятие лидирует пятая группа, а первая – наименее эффективна.

Данные показывают, что при увеличении объема произведенной продукции валовая прибыль увеличивается. Следовательно, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.

Задача № 2

Имеются следующие данные по двум заводам, вырабатывающим однородную продукцию:

Таблица 2.1

Вычислите средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам в январе и феврале. Укажите виды средних величин, используемых в решении задач.

Решение:

Для января статистические данные представлены количеством выпущенной продукции и затратами времени на выпуск единицы продукции, поэтому средние затраты времени на изготовление единицы продукции определяем по формуле средней арифметической взвешенной:

= ,

где х - затраты времени на единицу продукции, час.

f - изготовлено продукции, шт.

= час.

Для февраля статистические данные представлены затратами времени на весь выпуск продукции и затратами времени на выпуск единицы продукции, поэтому средние затраты времени на изготовление единицы продукции определяем по формуле средней гармонической взвешенной:

= ,

где w – объем признака, равный произведению вариант на частоты: w = x f.

=

На заводе №1 в январе затраты времени на единицу продукции были снижены с 2 до 1,8 часа. На заводе №2 в 1993 г. затраты времени на единицу продукции были снижены с 2,8 до 2,4 часа.

В среднем по двум заводам затраты времени снизились с 2,424 до 2,0,64 часа, что практически обусловлено снижением эффективности производства на заводах.

Задача № 3

В целях изучения стажа рабочих одного из цехов завода проведена 10%-ная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы:

Таблица 3.1

На основании этих данных вычислите:

Средний стаж рабочих цеха.

Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.

Коэффициент вариации.

С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.

С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

Сделайте выводы.

Решение:

Для вычисления средней величины в каждой группе определяем серединное значение (середину интервала), после чего определяем средний стаж рабочих цеха по формуле средней арифметической взвешенной.

В закрытом интервале серединное значение определяем как полусумму верхней и нижней границ, открытые интервалы приравниваются к рядом стоящим. Кроме того, для расчёта дисперсии последовательно определяем отклонение каждой группы от средней, квадрат отклонения и произведение квадрата отклонения на число работников в группе. Расчёт производим в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Расчет среднего квадратического отклонения

Определим средний стаж рабочих цеха:

= = = 15,75 лет.

Определим среднее квадратическое отклонение:

σ = = 6,379 лет.

Дисперсия признака σ2 = = 40,688 лет.

Определим коэффициент вариации

V = %

Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.

Так как выборка механическая, то ошибка выборочного наблюдения определяется по формуле:

Δх = t

При =3μ и p = w3μ степень вероятности повышается до 0,997.

Таким образом:

t = 3

σ2= 40,688 - дисперсия признака;

n = 15,75 - средний стаж рабочих цеха;

- это 10%-ная механическая выборка.

Δх = t

Доверительные интервалы для средней будут равны:

– Δх + Δх .

=15,75 лет.4,574 года. или 15,75-4,5715,75+4,57

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стаж рабочих цеха находится в пределах от 11,18 дней до 20,32 дней.

Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

Средняя ошибки для выборочной доли при бесповторном способе отбора рассчитывается по формуле:

Δw = t .

При =3μ и p = w3μ степень вероятности повышается до 0,997.

Таким образом:

t = 3;

n = 100 - численность рабочих цеха;

- это 10%-ная механическая выборка;

Определим w - удельный вес числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

25+35=0,6 или 60%,

100

т.е. доля рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет – 60%.

Δw = t или 13,9%.

Доверительные интервалы для доли будут равны:

p = w Δw .

p = 60% 13,9%, тогда 60% – 13,9% p 60% + 13,9%.

Доля числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет будет находиться в пределах от 46,1 до 73,9% при вероятности 0,997.

Задача № 4

Численность населения России характеризуется следующими данными:

Таблица 4.1

Для анализа численности населения России за 2002-2007 гг. определите:

Абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2002 году.

Полученные показатели представьте в таблице.

Среднегодовую численность населения России.

Среднегодовой темп роста и прироста численности населения России за 2002-2007 гг. и за 1997-2002 гг.

Постройте график динамики численности населения России.

Сделайте выводы.

Решение:

Определим абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2002 году. Полученные показатели представим в таблице 4.2.

Таблица 4.2

Абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста

2. Определим среднегодовую численность населения России за 2002-2007 гг.:

За 2002-2007 гг. мы имеем интервальный ряд динамики с равными интервалами. Поэтому среднегодовую численность населения исчислим по формуле средней арифметической простой:

====

147129,5тыс.чел.

где у – уровни ряда

n – число уровней ряда.

3. Среднегодовой темп роста и прироста численности населения России за 2002-2007 гг.

Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:

==,

где n – число цепных темпов роста;

за 2002-2007 гг.: ===0,996 или 99,6%.

Среднегодовой темп роста численности населения России за 2002-2007 гг. равен 99,6 %.

Среднегодовой темп прироста за 2002-2007 гг. исчисляется следующим образом:

Δ = % – 100%=99,6–100=0,4%.

Таким образом, численность населения России за период 2002-2007 гг. уменьшалось за год в среднем на 0,4%.

Выводы: численность населения России по данным таблицы 4.1. в 2002 году повысилась по сравнению с 1997 годом на 265 тыс.чел. или на 0,2%. Затем вплоть до 2007 года снижалось в среднем на 0,4% за год.

Задача № 5

Имеются следующие данные о стоимости имущества предприятия (млн. руб.):

Таблица 5.1

Определите среднегодовую стоимость имущества:

за I квартал;

за II квартал;

за полугодие в целом.

Решение:

Среднегодовая стоимость имущества рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

За I квартал: = = 66 млн. руб.

За II квартал: = = 72,667 млн. руб.

За полугодие в целом: = = 69,333 млн. руб.

Задача № 6

Динамика средних цен и объема продажи на колхозных рынках города характеризуется следующими данными:

Таблица 6.1

На основании имеющихся данных вычислите:

Для колхозного рынка № 1 (по двум видам товаров вместе):

а) общий индекс товарооборота в фактических ценах;

б) общий индекс цен;

в) общий индекс физического объема товарооборота.

Определите в отчетном периоде прирост товарооборота в абсолютной сумме и разложите по факторам (за счет изменения цен и объема продаж товаров).

Покажите взаимосвязь начисленных индексов.

Для двух колхозных рынков вместе (по картофелю):

а) индекс цен переменного состава;

б) индекс цен постоянного состава;

в) индекс влияния изменения структуры объема продажи картофеля на динамику средней цены.

Решение:

1. Для колхозного рынка № 1 определим индивидуальные индексы:

По товару Картофель: ip = = = 1,033 или 103,3%,

iq = = = 1,063 или 106,3%,

По товару Свежая капуста: ip = = = 0,960 или 96%,

iq = = = 1,267 или 126,7%.

Таблица 6.2

Индивидуальные индексы для товаров колхозного рынка №1

Таким образом:

цены на картофель выросли в отчетном году на 6,3%;

объем продаж по картофелю увеличился на 3,3%.

цены на свежую капусту выросли в отчетном периоде на 26,7%;

свежей капусты было продано в отчетном периоде по сравнению с базисным на 4% меньше.

а) Чтобы определить изменение товарооборота в фактических ценах в абсолютной сумме, необходимо рассчитать агрегатный индекс товарооборота в фактических ценах:

Ipq = = = = 1,150 или 115,0%.

Разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота в фактических ценах дает прирост (или снижение) товарооборота в абсолютной сумме:

Δpq = –= 98,3-85,5 = 12,8 (тыс. руб.).

Товарооборот в фактических ценах вырос в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом на 15% или на 12,8 тыс.руб.

б) Перейдем к расчету агрегатного индекса цен. В качестве веса введем в индекс неизменное количество товаров отчетного периода (по формуле Пааше). Формула агрегатного индекса цен будет выглядеть следующим образом:

Ip = = = = 1,148 или 114,8%.

Разность между числителем и знаменателем индекса цен дает прирост (снижение) товарооборота за счет изменения цен:

Δpq(p) = –= 98,3-85,6 =12,7 (тыс. руб.).

Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде составил 12,7 тыс. рублей за счет увеличения цен на 14,8%.

в) Чтобы рассчитать агрегатный индекс физического объема товарооборота, который будет характеризовать изменение объема продажи товаров, примем в качестве веса неизменные цены базисного периода и определим стоимость каждого товара:

Iq = = = = 1,001 или 100,1%,

Разность между числителем и знаменателем индекса