Конвертируемые облигации обычно защищены от дробления акций и выплаты дивидендов акциями посредством корректировки коэффициента конверсии. Например, начальный коэффициент конверсии облигации 20 может быть изменен на 22 вследствие выплаты дивиденда в форме акции в размере 10%. Защита от выплаты дивидендов в денежной форме обычно не оговаривается. Но в некоторых условиях выпуска предусматривается, что держатели конвертируемых облигаций должны быть уведомлены эмитентом о выплате дивидендов деньгами заблаговременно, с тем чтобы облигация могла быть конвертирована до падения рыночного курса акции, которое произойдет после объявления о выплате дивидендов.

Конвертируемые бумаги часто содержат условия отзыва. Корпорации могут использовать это условие, чтобы заставить инвесторов осуществить конверсию, когда рыночный курс акции довольно велик и превышает цену отзыва облигации. Например, если конверсионная стоимость облигации равна $1200 (облигация конвертируема в 20 акций, текущий курс которых - $60) и цена отзыва составляет $1100, то фирма может заставить осуществить конверсию, приняв решение о ее отзыве. Когда инвестор получает сообщение об отзыве, у него есть два варианта - или осуществить конверсию и получить 20 акций на сумму $1200 или получить сумму $1100. В этом случае инвестор выберет акции, потому что они стоят больше.

С практической точки зрения конвертируемая облигация - это облигация с неотделяемым варрантом плюс условие о том, что только облигация (по номиналу) может быть использована для оплаты цены исполнения. Если облигация не содержит условия отзыва, то сумма данного пакета равна стоимости простой неотзывной облигации (т.е. оценочной инвестиционной стоимости) плюс стоимость варранта. Однако большая часть конвертируемых облигаций является отзывными и, таким образом, включает двойной опцион: держатель имеет право обменять облигацию на акцию, а корпорация имеет право выкупить облигацию у инвестора.

Глава IIОценка стоимости опционов

Опцион «колл» называют опционом без выигрыша (at the money), если рыночная цена базисного актива примерно равна цене исполнения опциона «колл». Если цена актива ниже цены исполнения, то такой опцион называют опционом с проигрышем ("вне денег" или "в минусе" ) of the money. Если рыночная цена выше цены исполнения, то опцион именную опционом с выигрышем ("в деньгах", "в плюсе) (in the money). Иногда используют еще более точные характеристики, например, можно услышать такие определения, как «около выигрыша», «с большим" выигрышем» или «с большим проигрышем».

Стоимость опциона при немедленном исполнении называется его внутренней стоимостью. Иногда для оценки премии опционов "вне денег" используется термин "потерянная стоимость". Эта стоимость равна нулю для опциона без выигрыша. Если опцион с выигрышем, то стоимость равна разности между ценой актива и ценой исполнения. Превышение цены опциона над его внутренней стоимостью называют временной стоимостью (time value) (или временной премией).

.Временная стоимость (time value) опциона - величина, на которую цена опциона превышает его внутреннюю стоимость. Фактически, это стоимостное выражение времени, остающегося до истечения опциона. Временная составляющая снижается с приближением окончания срока действия опциона. Когда опцион переходит в состояние "вне денег", он теряет внутреннюю стоимость, и его цена становится равной временной составляющей.

§II.1Внутренняя стоимость

Стоимость опциона связана со стоимостью базисного актива, и эта взаимосвязь становится наиболее очевидной непосредственно перед моментом истечения опциона. На рис. 1 (а) представлена зависимость между стоимостью опциона «колл» с ценой исполнения $100 и ценой базисной акции при истечении. Если цена акции ниже $100, то опцион не имеет никакой ценности. Если цена выше $100, то опцион можно исполнить за $100 и получить актив, который стоит дороже. Чистый выигрыш покупателя опциона составит разницу между рыночной ценой актива и ценой исполнения, равной $100. Однако покупателю опциона нет необходимости исполнять его в действительности. Продавец опциона может просто уплатить покупателю разность между ценой актива и $100 цены исполнения. Таким образом, обе стороны могут избежать неудобств, связанных с исполнением. Такая система обычно практикуется для биржевых опционов (с использованием ОСС), но некоторые инвесторы предпочитают фактическое исполнение опционов, возможно, в связи с налоговыми соображениями.

Рисунок 1

На рис. 1 (б) представлена стоимость опциона «пут» с ценой исполнения $100 при истечении. Если цена акции выше $100, то опцион не будет иметь стоимости. Если цена ниже $100, то опцион можно исполнить, чтобы получить $100 за акцию, которая стоит меньше, и, таким образом, получить чистый выигрыш, равный для покупателя опциона разности между $100 цены исполнения и рыночным курсом акции. Как и в случае с опционом «колл», ни покупатель, ни продавец опциона могут не связываться с реальными акциями. Продавец опциона «пут» может просто уплатить покупателю разницу между курсом акции и $100 цены исполнения.

На двух частях рис. 1 линии, обозначающие стоимость опционов «колл» и «пут» при истечении, можно рассматривать как стоимость опционов «колл» и «пут» в момент исполнения, независимо от того, в какой именно момент времени в рамках действия контракта это исполнение произойдет. Для опционов «колл» ломаная линия, соединяющая точки Е, Z и $200 представляет собой внутреннюю стоимость (intrinsic value) опциона «колл». Аналогично, ломаная линия, соединяющая точки Z, Е и 0 представляет собой внутреннюю стоимость опциона «пут».

Ломаные линии внутренней стоимости опционов «колл» и «пут» на рис. 1 обозначим соответственно через Q1,. и Q2,. Они равны:

Q1. = max {0,Р -E}; (рис. 1а)

Q2, = max {0,E- P}, (рис. 1 6)

Где, P- рыночный курс базисной акции и Е — цена исполнения опциона. (Знак max означает, что необходимо использовать наибольшую величину из двух значений в скобках.)

Ломаная линия внутренней стоимости имеет поворот в точке Е, так как здесь встречаются две составляющие линии: горизонтальная линия (она проходит через начало координат и точку E) и линия, которая от точки E поднимается под углом 45 градусов на северо-восток (и имеет угол наклона, равный 1).

Опционы «колл» и «пут» не будут продаваться дешевле их внутренней стоимости так как этим воспользуются опытные инвесторы. Если опцион стоит меньше его внутренней стоимости, то инвесторы могут мгновенно получить доход без риска. Например, если курс акции равен $150, а опцион «колл» продается за $40, т. е. на $10 меньше его внутренней стоимости (которая равна $50), то инвесторы одновременно купят опционы исполнят их и продадут полученные от продавца опциона акции. Они затратят на каждый опцион $140, включая цену исполнения, а в обмен на каждую проданную акцию получат $150. В результате их чистый доход без риска составит $10 от одного опциона. Поэтому опцион «колл» не будет стоить меньше $50, когда курс акции равен $150.

.

§II.2Выигрыши и потери по опционам «колл» и «пут»

В предыдущем параграфе представлена стоимость опционов «колл» и «пут» при истечении. Однако чтобы определить выигрыши и потери от покупки или продажи опциона, необходимо принять во внимание премию. Это сделано в практической части работы (см. расчеты в Excel), где показаны более сложные опционные стратегии. Предполагается, что обратная сделка осуществляется непосредственно перед датой истечения опциона. Так как выигрыш покупателя — это проигрыш продавца, и наоборот, то каждый график на рисунке имеет зеркальное отражение.

Рассмотрим сначала рис. 1 и 2. Ломаные линии выигрышей и потерь представляют собой графики уравнения внутренней стоимости, минус премии по опционам.

Таким образом, можно сделать вывод, что ломаная линия выигрышей «пут» - это просто ломаная линия внутренней стоимости, равной Р, но смещенная вниз на величину премии опциона «колл». Аналогично, ломаная линия выигрышей опциона «пут» — это просто ломаная линия внутренней стоимости опциона «пут» равной смещенной вниз на величину опциона пут.

Выводы и расчеты см. в приложении в виде файла Microsoft Excel.

Какова действительная (или настоящая) цена опциона сегодня, если он истекает в некоторый момент времени в будущем? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся биноминальным методом оценки стоимости опциона. Он рассматривается ниже.

§II.3Биноминальная модель оценки стоимости опционов

Для оценки стоимости опциона «колл» или «пут» можно использовать биноминальную модель оценки стоимости опциона (ВОРМ). Лучше всего представить ее на примере европейского опциона (European option), т.е. опциона, который может быть исполнен только в день его истечения. В этом случае мы предполагаем, что по базисной акции не выплачиваются дивиденды в течение срока действия опциона. Модель также можно модифицировать для оценки стоимости американского опциона (American option), т.е. опциона, который можно исполнить в любое время в течение срока действия опциона. Модель также можно использовать для оценки стоимости опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды в течение срока опционного контракта.

Для опционов «колл»

Предположим, что цена акции компании Wopov сегодня (t = 0) равна $100, а через год (t= 1) эта акция будет стоить $125 или $80, т.е. цена акции за год или поднимется на 25%, или упадет на 20%. Кроме того, непрерывно начисляемая ставка без риска в расчете на год равна 8%.

Предполагается, что инвесторы могут предоставлять кредит (покупая 8%-ные облигации) и занимать средства (осуществляя «короткие» продажи облигаций) под данный процент.

Рассмотрим опцион «колл» на акции компании Wopov с ценой исполнения $100 и датой истечения через год. Это означает, что на дату истечения стоимость опциона «колл» составит или $25 (если акция Wopov стоит $125), или $0 (если акция Wopov стоит $80). На рис. 2 (а) данная ситуация представлена с помощью «дерева цены». Поскольку оно имеет только две «ветви», которые показывают цены на дату истечения, модель называется биноминальной.

Рисунок 2

Оценка стоимости

Если надо узнать, чему равна внутренняя (действительная) стоимость опциона в момент времени 0, то для ответа на этот вопрос используется биноминальная модель оценки стоимости опциона.

Мы располагаем тремя возможностями делать инвестиций: вложить средства в акцию, опцион и облигацию без риска. Цены и результаты операции с акцией известны. Также известно, что $100 инвестируются в безрисковую облигацию, стоимость которой вырастет приблизительно до $108,33 с учетом непрерывно начисляемого процента равного 8% годовых10. Наконец, известны результаты опционной операции в конце периода. Требуется определить цену продажи опциона в настоящий момент.

Мы предположили, что возможны два положения вещей в будущем. Курс акции может пойти вверх или вниз. Для краткости назовем эти два состояния соответственно «верхнее положение» и «нижнее положение». Основные данные приводятся ниже:

Ценная бумага	Выплаты в «верхнем положении»	Выплаты в «нижнем положении»	Текущий курс
Акция	$125,00	$80,00		$100
Облигация	$108,33	$108,33		$100
Опцион «колл»	$25,00	$0,00		Надо найти

Моделирование портфелей с одинаковыми характеристиками

Несмотря на то что опцион «колл» на акции компании Wopov может показаться несколько необычным инструментом, его характеристики можно воспроизвести комбинацией акций компании Wopov и безрисковых облигаций. Более того, стоимость воспроизведенного портфеля составляет действительную стоимость опциона. Потому что в противном случае возникнет возможность совершить арбитражную операцию — инвестор может купить наиболее дешевый из двух альтернативных портфелей и продать более дорогой из них и таким образом получить гарантированный доход.

Сначала необходимо определить состав портфеля, который точно повторит выплаты по опциону «колл» на акции компании Wopov. Рассмотрим портфель из N_s акций компании Wopov и N_b безрисковых облигаций. В «верхнем положении» такой портфель принесет выплаты в размере $125 N_s + $108, ЗЗ N_b , в «нижнем положении» выплаты со-составят $80 N_s +$108,33 N_b В «верхнем положении» опцион стоит $25. Таким образом, N_s и N_b должны иметь такую стоимость, чтобы:

$125 N_s + $108,ЗЗ N_b = $25 (1)

C другой стороны, в «нижнем положении» опцион ничего не стоит. Таким образом, N_s и N_b должны иметь такую стоимость, чтобы:

$80 N_s + $108,33 N_b = $0 (2)

В приведенных линейных уравнениях имеются два неизвестных и они могут быть легко определены. Вычитая второе уравнение из первого, получим:

($125 -$80) N_s =$25 (3)

откуда N_s равно 0,5556. Подставив данное значение в уравнение (1) или уравнение (2), получим значение N_b = -0,4103.

Что это означает на финансовом языке? Это значит, что инвестор может воспроизвести платежи по опциону «колл», осуществив «короткую» продажу безрисковой облигации за $41,03 (заметьте, что инвестирование 0,4103 в 100-долларовую облигацию эквивалентно «короткой» продаже облигации за $41,03 или получение кредита в размере $41,03 по ставке без риска) и купив 0,5556 акций компании Wopov. Что это действительно так, можно увидеть из нижеследующего:

Состав портфеля	Выплаты в «верхнем положении»	Выплаты в «нижнем положении»
Инвестиции в акции	0,5556 х $125,00=69,45	$0,5556х$80,00=44,45
Выплата займа	-$41,03х1,0833=-44,45	-$41,03х1,0833=-44,45
Чистая выплата	$25,00	$0,00

Так как воспроизведенный портфель обеспечивает те же выплаты, что и опцион «колл», то для определения действительной стоимости опциона необходимо определить его стоимость. Чтобы сформировать портфель, надо затратить $55,56 на покупку 0,5556 акций компании Wopov (по цене $100 за акцию). Кроме того, $41,03 получается от «короткой» продажи облигации. Таким образом, требуется только $14,53 ($55,56 -$41,03) собственных средств инвестора. Следовательно, это и есть действительная стоимость опциона «колл»

В общем виде, стоимость опциона «колл» будет равна:

V₀=N_sxP_s+N_bxP_b

где V₀ - стоимость опциона; P_s — цена акции; P_b — цена безрисковой облигации; N_s. и N_b - число акций и безрисковых облигаций, позволяющих воспроизвести выплаты по опциону.

Переоценка стоимости опциона

Чтобы показать, что при цене опциона в $14,53 будет наблюдаться равновесное положение, посмотрим, что может сделать опытный инвестор, если опцион «колл» продается по более высокой или низкой цене. Предположим, опцион «колл» продается за $20, т.е. он переоценен. В этом случае инвестор решит выписать опцион, купив 0,5556 акций и заняв $41,03. Получаемая сумма в этом случае (т.е. для t= 0) составит $5,47 [$20 — (0,5556 х $100) + $41,03], что показывает чистый приток средств для инвестора, В конце года (т.е. для t = Т) инвестор получит следующие средства:

Так как независимо от окончательной цены акции общая стоимость равна нулю, то при осуществлении данной стратегии риск для инвестора отсутствует. Таким образом, инвестор имеет возможность получать свободные средства до тех пор, пока опцион «колл» стоит $20, так как инвестиционная стратегия не требует в последующем от инвестора больше никаких затрат. Подобная ситуация не может быть равновесной, так как в этом случае любое лицо может получить свободные деньги аналогичным образом

Недооценка стоимости опциона

Представим теперь, что опцион «колл» продается за $10 вместо $20, т.е. он недооценен. В этом случае инвестор решит купить один опцион «колл», получив средства от «корот­кой» продажи 0,5556 акций, и инвестировать $41,03 под безрисковую ставку. Чистая де­нежная сумма после этого (т.е. для /= 0) составит $4,53 [-$10 + (0,5556 х $100) - $41,03]. Это означает, что инвестор получит чистый приток денежных средств. В конце года (т.е. для t = 7) инвестор получит следующие средства:

И снова независимо от итогового курса акции общая стоимость портфеля paвна нулю. Это означает, что при осуществлении данной стратегии для инвестора отсутствует риск потерь. Таким образом, инвестор имеет возможность получать свободные деньги до тех пор, пока опцион «колл» стоит $10. Такая ситуация не может быть равновесной, поскольку любое лицо может получить свободные средства аналогичным образом.

Коэффициент хеджирования

Допустим, что мы занимаем $41,03 и покупаем 0,5556 акций компании Wopov и таким образом, воспроизводим опцион «колл» на эти акции. Теперь рассмотрим то влияние которое окажет на стоимость воспроизведенного портфеля изменение курса акций завтра (а не через год). Так как в портфель входит 0,5556 акций, то стоимость портфеля изменится на $0,5556 при изменении курса акций Wopov на $1. Но так как опцион «колл» и портфель должны продаваться по одной цене, то цена опциона «колл» также должна измениться на $0,5556 при изменении курса акции на $1. Данная взаимосвязь называется коэффициентом хеджирования (hedge ratio) опциона. Он равен числу N_s которое было определено в уравнении выше.

Для опциона «колл» на акции компании Wopov коэффициент хеджирования составлял 0,5556, что равно ($25 - $0)/($125 - $80). Обратите внимание на то, что числитель равен разности между выплатами по опциону в «верхнем» и «нижнем» положениях, а знаменатель - разности между выплатами по акции в этих двух положениях. В общем виде в биноминальной модели:

h=(P_ou-P_od)/(P_so-P_sd)

где P- это цена в конце периода, а индексы обозначают инструмент (о - опцион, s -акция) и положение (и - «верхнее», d - «нижнее»).

Чтобы воспроизвести опцион «колл» в условиях биноминальной модели, необходимо купить h акций. Одновременно необходимо получить под ставку без риска средства путем «короткой» продажи облигации. Эта сумма равна:

B=PV(hP_sd- P_od)

где PV- дисконтированная стоимость суммы, указанной в скобках (стоимости облигации в конце периода). В итоге стоимость опциона «колл» равна:

V₀=hP_s-B

где h и В - это коэффициент хеджирования и текущая стоимость «короткой» позиции по облигации в портфеле, который воспроизводит выплаты по опциону «колл».

Вполне резонно усомниться в точности модели ВОРМ, когда она основана на предположении, что курс акции компании Wopov может принимать в конце года только одно из двух значений. В действительности курс акции Wopov может принять в конце года любое из множества значений. Однако это не создает проблемы, так как мы можем развить модель.

Для рассматриваемого случая с акциями компании Wopov разделим год на два периода по шесть месяцев. Предположим, что за первый период курс акции Wopov может подняться до $111,80 (рост на 11,80%) или снизиться до $89,44 (падение на 10,56%). За следующие шесть месяцев курс акции Wopov может вновь или возрасти на 11,80%, или уменьшиться на 10,56%. Таким образом, курс акции Wopov будет изменяться в соответствии с одним из направлений «дерева цены» на рис. 2(б) за следующий год. Теперь акция Wopov может в конце года иметь один из следующих курсов: $125, $100 или $80. На рисунке также приводится соответствующая стоимость опциона для каждого значения курса акции.

Как по данным рисунка можно определить стоимость опциона «колл» на акции компании Wopov в момент времени 0? Ответ весьма прост. Изменение состоит лишь в том, что проблема разбита на три части, каждая из которых решается таким же образом, как было показано ранее при обсуждении рис. 2(а). Три части должны рассматриваться последовательно в обратном порядке.

Для опционов «пут»

Можно ли использовать модель ВОРМ для оценки стоимости опционов «пут»? Так как формулы охватывают любой набор выплат, то их можно использовать для этой цели. Рассмотрим еще раз акции компании Wopov в случае годичного периода, при этом цена исполнения опциона «пут» — $100, дата истечения — один год с сегодняшнего числа. «Дерево цены» будет выглядеть следующим образом:

$

100$

$80 Р₀ = $20

Коэффициент хеджирования для опциона «пут» -0,4444 [($0-$20) /($125 - $80)]. Это отрицательная величина. Она означает, что повышение курса акции приведет к уменьшению цены опциона.

В равно - $51,28. Это - дисконтированная стоимость величины, которая в конце года составляет - $55,55. Так как это отрицательные величины, то они означают сумму, которую надо заплатить за облигации (т. е. отрицательная стоимость «короткой» позиции может рассматриваться как стоимость «длин ной» позиции).

Чтобы воспроизвести опцион «пут», следует осуществить «короткую» продажу 0,4444 акций Wopov и предоставить кредит (т.е. инвестировать в безрисковую облигацию) $51,28. Так как «короткая» продажа принесет $44,44, а за облигацию будет уплачено $51,28, то чистая стоимость воспроизведения портфеля составит $6,84 [($51,28 – (-$44,44))]. Таким образом,,это и есть действительная цена опциона «пут».

Это та же цена, что и полученная из уравнения (20.7): $6,84 [0,4444 х $100 -(-$51,27)] где h = 0,4444, В = -$51,28 и P_s= $100. Таким образом, полученные выше уравнения для опциона «колл» можно использовать применительно к опционам «пут».

§II.4Модель Блэка-Шоулза

Фишером Блэком (Fisher Black) и Мертоном Шоулзом была разработана формула для оценки опционов, что после ее опубликования в 1973г. позволило отойти от субъективно- интуитивных, не точных оценок при определении цены опционов и подвести под него теоретическую базу.

Современное управление рисками, применяемое в страховании, торговле на фондовом рынке и инвестировании, основывается на возможности использовать математические методы для предсказания будущего. Конечно, не со 100%-ной вероятностью, но достаточно точно для того, чтобы принять взвешенное инвестиционное решение. Основополагающий принцип работы на финансовых рынках состоит в следующем: чем больший риск вы готовы на себя принять, тем на большее вознаграждение вы вправе рассчитывать. Использование математики никогда не сможет полностью элиминировать риск, но может помочь правильно оценить степень принимаемого на себя риска и решить вопрос о справедливом вознаграждении. В моделе Блэка-Шоулза опцион рассматривается как функция следующих элементов:

Цена базового актива и цена страйк (цена исполнения). Наиболее важный фактор, влияющий на цену опциона. Как уже говорилось ранее это соотношение между ценой лежащего в основе опциона актива и ценой страйк. Это соотношение определяет статус опциона ("в деньгах" или "вне денег") и внутреннюю стоимость опциона (величина, на которую цена базового актива выше или ниже цены страйк для опционов колл и пут соответственно).

Время, остающееся до даты истечения опциона. Время работает против покупателя опционов, так как цена опционов вне денег снижается ускоренными темпами с приближением даты их истечения. Этот эффект называется "разрушение временем" (time decay). Больший срок, остающийся до окончания срока действия опциона, означает большую неопределенность.

Степень колебаний (волатильность). Этот показатель отражает подверженность базового актива ценовым колебаниям. Величина премии по опционам в деньгах прямо пропорциональна ожидаемой ценовой неустойчивости базового актива.

Дивиденды. Повышенные дивиденды сокращают цену опционов колл и увеличивают цену опционов пут, потому что выплата дивидендов сокращает цену лежащих в основе опциона акций на сумму дивиденда. Дивиденды увеличивают привлекательность покупки и держания акций по сравнению с покупкой опционов колл и хранением резервов наличности. И обратно, продавцы в короткую должны учитывать выплату дивидендов, поэтому покупка опционов пут выглядит более предпочтительной, чем короткая продажа акций.

Уровень процентных ставок. Растущие процентные ставки увеличивают форвардную цену базовых акций, которая рассчитывается как цена акции плюс ставка по безрисковым активам на период действия опциона. Форвардная цена в модели понимается как стоимость акции на дату истечения опциона.

Основная привлекательность опционов для покупателя объясняется тем, что ему заранее известен максимально возможный размер убытков - это величина премии, уплаченной за опцион, тогда как потенциальная прибыль теоретически неограниченна - в случае значительного роста цены базовых акций в период действия опциона, покупатель может рассчитывать на высокую прибыль. Особенно привлекательны опционы на акции, рынок которых отличается резкими и сильными ценовыми колебаниями, например, акции компаний, производящих компьютерное оборудование и программное обеспечение. Многие нынешние миллионеры из Силиконовой долины заработали свое состояние в результате того, что реализовали полученные как часть зарплаты опционы на акции своих молодых перспективных компаний.

Формула использует четыре переменные: срок действия опциона, цена, уровень процентных ставок, степень рыночных колебаний и позволяет получить справедливую величину премии, уплачиваемой за опцион. Формула Блэка-Шоулза не только заработала, она привела к трансформации всего рынка. Когда в 1973г.