Xreferat.com » Топики по английскому языку » Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції Зміст

Вступ.

Формули прямокутників і трапеції.

Параболічне інтерполювання.

Дроблення проміжку.

Залишковий член формули прямокутників.

Залишковий член формули трапеції.

Залишковий член формули Сімпсона.

Додаток 1.

Додаток 2.

Висновки.

Література.

Вступ.

Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула Сімпсона.

Формули прямокутників і трапеції.

Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, де Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ є деяка заданая на проміжку Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первістної, якщо вона виражається в скінченному вигляді, або ж – минуя первістну – за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас интегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення.

В даній роботі можно ознайомитися з основними із цих методів, в яких наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної.

Перші формули, які сюди відносяться, простіші всього отримуються із геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./як площу деякої фігури, яка обмежена кривою Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі.

Перш за все, вдруге використовуючі ту думку, яка привела нас до самого поняття о визначеном інтегралі, можно розбити усю фігуру (мал. 1) на смуги, скажемо однієї і той же ширини Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка із його ординат. Це приводе нас до формули

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

де Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступенчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можно сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників.

На практиці зазвичай беруть Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ якщо відповідну середню ординату Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ позначити через Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, то формула перепишеться у вигляді

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. (1)

Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу.

Геометричні міркування природньо приводять і до другої, часто використовуваємій наближеній формулі. Замінивши дану криву вписаною в неї ламаною, з вершинами у точках Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, где Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із ряду трапецій (рис2.). Якщо, як і раніш рахувати, що проміжок Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ разбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Мал. 2

Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. (2)

Це так звана формула трапецій.

Можно показати, що при зростанні Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ до нескінченності похибка формули прямокутників і формули трапецій нескінченно зменьшується. Таким чином, при достатньо великому Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем точності.

Параболічне інтерполювання.

Для наближеного обчислення інтеграла Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ можно спробувати замінити функцію Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ « близьким» до неї многочленом

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (3)

і покласти

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Можно сказати, що тут – при обрахуванні площі – дана « крива» Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ замінюється на « параболу Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ - го порядку» (3), в зв' язку з чим цем процес отримав назву параболічного интерполювання.

Сам вибір інтерполюючуго многочлена Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ частіше всього виконують наступним чином. У проміжку Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ беруть Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ значень незалежної змінної Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ і підбирають многочлен Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ так, щоб при усіх взятих значеннях Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ його значення співпадало зі значенням функції Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Цією умовою, як ми знаємо, многочлен Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ визначається однозначно, і його вираз даеться інтерполяціонною формулою Лагранжа:

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

При інтерполюванні виходить лінійний, відносно значень Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ вираз, коефіцієнти якого вже не залежать від цих значень. Вирахувавши коефіціенти раз і назавжди, можно їх використовувати для будь-якої функції Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ в даному проміжку Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

В найпростішому випадку, при Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, функція Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ просто замінюється сталою Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, де Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ – будь-яка точка у проміжку Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, скажемо, середня: Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Тоді наближено

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (4)

Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площадью прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті.

При Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ функція Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ замінюється лінійною функцією Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, яка має однакові з нею значення при Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ и Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Якщо взяти Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, то

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (5)

і, як легко обчислити,

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Таким чином, тут ми наближено вважаємо

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка зполучає її кінці.

Менш тривіальний результат отримаємо взявши Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./. Якщо покласти Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, то інтерполяційний многочлен Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ буде мати вигляд

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ (7)

За допомогою легкого обчислення вираховуємо

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

і, аналогічно

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Таким чином, приходимо до наближеної формули

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./.

Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої.

Збільшуя степінь Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ інтерполяційного многочлена, тобто проводя параболу (3) через все більше число даної кривої, можно розраховувати отримати більшу точність. Но більш практичним виявляється інший шлях, якій грунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення.

Дроблення проміжку.

При обчисленні інтегралу Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ можно зроботи так. Розіб' ємо спочатку проміжок Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ на деяке число, Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./, рівних проміжків

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./ Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./,

в зв' язку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми

Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції /Укр./

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: