Xreferat.com » Рефераты по коммуникации и связи » Постановка задачі оптимального керування

Постановка задачі оптимального керування

1. Об’єкт керування


Розглянемо систему (об’єкт керування), поведінка якої характеризується двома видами параметрів – параметрами стану та параметрами керування.

Керована система – це система, що функціонує під впливом певного фактора, який здатний регулювати її еволюцію.

Як правило, існує безліч способів керування об'єктом з метою переведення системи в заданий стан. У зв'язку із цим виникає задача знайти такий спосіб керування, що у певному розумінні є оптимальним. При цьому система може зазнавати випадкових впливів. Для того, щоб вибирати із усіх можливих способів керування найкращий, необхідно визначити критерій якості.

Якщо еволюція системи за заданих початкових умов однозначно визначається завданням керування в кожний момент часу і не залежить від випадкових зовнішніх впливів, то система називається детермінованою.

Стан динамічного об'єкта у фіксований момент часу описується набором параметрів Постановка задачі оптимального керування, …, Постановка задачі оптимального керування, які називаються фазовими координатами (фазовими змінними), а вектор Постановка задачі оптимального керування називається фазовим вектором. Стан об'єкта в будь-який момент часу задається точкою Постановка задачі оптимального керування-вимірного простору Постановка задачі оптимального керування, що називається фазовим простором. Величини Постановка задачі оптимального керування, …, Постановка задачі оптимального керування залежно від контексту задачі визначають координати об'єкта, швидкість об'єкта та ін.

Рух об'єкта супроводжується зміною його фазових координат у часі Постановка задачі оптимального керування, тобто фазовий вектор є функцією змінної Постановка задачі оптимального керування: Постановка задачі оптимального керування.

Під час руху фазова точка Постановка задачі оптимального керування описує у фазовому просторі криву, що називається фазовою траєкторією.

Сукупність усіх фазових станів, у яких може перебувати керований об'єкт, складає множину станів Постановка задачі оптимального керування простору Постановка задачі оптимального керування. Таким чином, у будь-який момент часу повинні виконуватися обмеження на фазові координати:


Постановка задачі оптимального керування: Постановка задачі оптимального керування.(1)


Множина фазового простору, що включає ті фазові стани, які є бажаними з точки зору цілей керування даним об’єктом, називається множиною мети керування Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування.

Керування об'єктом у кожний момент часу задається вектором керування Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування, де Постановка задачі оптимального керування, …, Постановка задачі оптимального керування – параметри керування.

У загальному випадку стан об'єкта в будь-який момент часу Постановка задачі оптимального керування залежить від того, яким було керування Постановка задачі оптимального керування до моменту часу Постановка задачі оптимального керування і не залежить від майбутнього керування.

У реальних об'єктах керування не може бути довільним, що пов'язано або з конструктивними особливостями об'єкта, або з обмеженістю ресурсів, або з умовами експлуатації об'єкта. У просторі керування Постановка задачі оптимального керування (просторі всіх можливих керувань) виділяється деяка множина Постановка задачі оптимального керування, що називається множиною припустимих керувань і містить сукупність тих функцій


Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування,(2)


які, виходячи з умов задачі, можуть бути обрані за керування даною системою серед всіх можливих функцій керування. У прикладних задачах, як правило, область керування Постановка задачі оптимального керування є обмеженою замкнутою множиною.

Найчастіше за керування обирають кусково-неперервні вектор-функції, для яких кожна координата Постановка задачі оптимального керування має на будь-якому кінцевому інтервалі скінченне число точок розриву першого роду Постановка задачі оптимального керування, причому для визначеності припускають, що

Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування,


і, крім того, керування Постановка задачі оптимального керування неперервно на кінцях відрізка Постановка задачі оптимального керування.

Кусково-неперервні керування Постановка задачі оптимального керування, такі що Постановка задачі оптимального керування, називаються припустимими.

Припустимим процесом називається пара функцій Постановка задачі оптимального керування, де Постановка задачі оптимального керування – припустиме керування, а Постановка задачі оптимального керування – відповідна йому фазова траєкторія.

Детермінованість керованого об'єкта означає, що вибір керування Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування за заданих початкових умов однозначно визначає траєкторію руху Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування.

Існує два підходи для визначення оптимального керування. Перший полягає в тому, що оптимальне керування будується як функція часу Постановка задачі оптимального керування. Таке керування називається програмним керуванням. Із прикладної точки зору такий підхід є недосконалим, тому що не враховує впливів на систему зовнішніх факторів.

Другий підхід полягає в тому, що оптимальне керування будується як функція фазових координат, тобто Постановка задачі оптимального керування. Таке керування називають синтезуючим (або позиційним), а відповідну задачу – задачею синтезу оптимальних керувань. Таке керування враховує поточний стан системи, але його пошук значно складніший порівняно з пошуком програмного керування.

Характер зміни фазової траєкторії об'єкта у часі задається законом руху. У теорії детермінованого керування найчастіше розглядаються динамічні системи за законом руху у формі диференціальних рівнянь


Постановка задачі оптимального керування.(3)


Тут Постановка задачі оптимального керування – вектор-функція, компоненти якої неперервні по всій сукупності змінних і неперервно диференційовані по змінних Постановка задачі оптимального керування. Отже, якщо відоме керування Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування, то траєкторія об'єкта Постановка задачі оптимального керування може бути визначена як розв’язок диференціального рівняння


Постановка задачі оптимального керування.


Якщо для функції Постановка задачі оптимального керування виконуються перераховані вище умови, то остання система задовольняє теоремі існування та єдиності розв’язку для задачі Коші, тобто за заданих початкових умов Постановка задачі оптимального керування вона має єдиний розв’язок в околі точки Постановка задачі оптимального керування.

Задача керування рухом полягає в тому, щоб відшукати припустиме керування, яке реалізує ціль. Це означає, що потрібно відшукати таку кусково-неперервну функцію Постановка задачі оптимального керування, визначену на відрізку Постановка задачі оптимального керування, для якої система (3) має розв’язок Постановка задачі оптимального керування, який задовольняє початковій умові Постановка задачі оптимального керування, обмеженню Постановка задачі оптимального керування і кінцевій умові Постановка задачі оптимального керування. Отже, задача детермінованого керування зводиться до розв’язання крайової задачі для системи Постановка задачі оптимального керування-го порядку (3) за заданих обмежень (1) і (2).


2. Крайові умови задачі оптимального детермінованого керування


Якщо множина мети керування Постановка задачі оптимального керування збігається з усім фазовим простором Постановка задачі оптимального керування, то задача оптимального керування називається задачею з вільним кінцем траєкторії. У цьому випадку роль крайових умов відіграють початкові умови Постановка задачі оптимального керування.

2. Якщо задані початкові Постановка задачі оптимального керування і кінцеві умови Постановка задачі оптимального керування, то задача оптимального керування називається двоточковою задачею або задачею з фіксованими кінцями. При цьому інтервал часу керування Постановка задачі оптимального керування може бути заданий або підлягає визначенню. Для даної задачі множина мети керування Постановка задачі оптимального керування складається з єдиної точки Постановка задачі оптимального керування.

3. Якщо значення координат (всіх або частини) вектора стану Постановка задачі оптимального керування задані для декількох фіксованих моментів часу Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування, …, Постановка задачі оптимального керування, то задача оптимального керування називається багатоточковою задачею керування.

4. У задачах з рухомими кінцями необхідно визначити керування, що переводить об'єкт із деякого заздалегідь невідомого стану Постановка задачі оптимального керування в деякий стан Постановка задачі оптимального керування, де множини Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування відомі. Якщо Постановка задачі оптимального керування і Постановка задачі оптимального керування вироджуються в точки, то задача оптимального керування стає задачею із фіксованими кінцями.

Якщо час Постановка задачі оптимального керування і Постановка задачі оптимального керування початкових і кінцевих крайових умов Постановка задачі оптимального керування і Постановка задачі оптимального керування відомий, то задача оптимального керування називається задачею з фіксованим часом. Якщо ж Постановка задачі оптимального керування невідомо, то задача називається задачею з вільним часом.


3. Критерії якості


Найчастіше задача керування має безліч розв’язків, тобто існує безліч керувань, які дозволяють досягти бажаної мети. У такому випадку виникає задача, як серед всіх припустимих керувань вибрати таке, для якого керований процес буде, в певному розумінні, найкращим. Інакше кажучи, якщо якість процесу можна оцінити деякою числовою характеристикою Постановка задачі оптимального керування – критерієм якості, то задача полягає у виборі такого керування, що забезпечить його оптимальне значення. Далі вважатимемо, що оптимальним є мінімальне значення критерію Постановка задачі оптимального керування. Отже, задача оптимального керування полягає в тому, щоб визначити таке керування

Постановка задачі оптимального керування, що реалізує ціль, і для якого функціонал Постановка задачі оптимального керування набуває найменшого можливого значення:


Постановка задачі оптимального керування.(4)


Процес Постановка задачі оптимального керування з (4) називається оптимальним процесом, а відповідні йому керування Постановка задачі оптимального керування і фазова траєкторія Постановка задачі оптимального керування – оптимальним керуванням і оптимальною траєкторією.

Припустимий процес Постановка задачі оптимального керування називається локально оптимальним у задачі з фіксованим часом Постановка задачі оптимального керування, якщо для певного Постановка задачі оптимального керування і для будь-якого припустимого процесу Постановка задачі оптимального керування, що задовольняє умові


Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування,


має місце нерівність Постановка задачі оптимального керування.

Якщо відрізок Постановка задачі оптимального керування не фіксований, то локально оптимальним процесом називається припустимий процес Постановка задачі оптимального керування на інтервалі часу Постановка задачі оптимального керування, для якого існує таке Постановка задачі оптимального керування, що для будь-якого процесу Постановка задачі оптимального керування, заданого на інтервалі часу Постановка задачі оптимального керування, такого що


Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування,


має місце умова Постановка задачі оптимального керування.

Існують такі типи критеріїв якості.

Для керування процесами (3) найчастіше використовуються інтегральні критерії:


Постановка задачі оптимального керування.(5)


Інтегральні критерії розділяються на:

а) інтегральний критерій оптимальної швидкодії:


Постановка задачі оптимального керування


з підінтегральною функцією Постановка задачі оптимального керування;

б) інтегральний квадратичний критерій з підінтегральною функцією


Постановка задачі оптимального керування,


де Постановка задачі оптимального керування;

Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування – коефіцієнти, серед яких є хоча б один ненульовий.

Вивчення системи може проводитися як на скінченному, так і на нескінченному інтервалі часу, тому в інтегралі (5) Постановка задачі оптимального керування;

в) енергетичні критерії якості з підінтегральними функціями


Постановка задачі оптимального керування або Постановка задачі оптимального керування,


де Постановка задачі оптимального керування;

Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування – коефіцієнти, серед яких хоча б один ненульовий;

г) змішаний інтегральний критерій з підінтегральною функцією


Постановка задачі оптимального керування.


2. Термінальні критерії якості:

Постановка задачі оптимального керування,

наприклад, критерій кінцевого стану:

Постановка задачі оптимального керування.

Даний критерій використовують, якщо необхідно привести систему в заданий кінцевий стан Постановка задачі оптимального керування у момент часу Постановка задачі оптимального керування з мінімальною помилкою. У цьому випадку критерій кінцевого стану матиме вигляд


Постановка задачі оптимального керування.


3. Змішані критерії якості:


Постановка задачі оптимального керування,


які можна привести до інтегрального вигляду:


Постановка задачі оптимального керування.


4. Задачі з дискретним часом


Дотепер ми розглядали процеси з неперервним часом, наприклад, процеси з законом руху у вигляді систем диференціальних рівнянь. Іноді важливими є лише значення станів системи в деякі дискретні моменти часу, або сам метод розв’язання потребує зробити дискретизацію задачі, тобто замінити диференціальні рівняння різницевими. У обох цих випадках використовують системи різницевих рівнянь вигляду


Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування,


або


Постановка задачі оптимального керування,(6)


де Постановка задачі оптимального керування, а Постановка задачі оптимального керування – число кроків дискретизації процесу.

Початкові та кінцеві умови для задачі (6) мають вигляд:


Постановка задачі оптимального керування, Постановка задачі оптимального керування.(7)


Аналоги інтегрального та термінального критеріїв якості для процесу (6) мають наступний вигляд.

1. Необхідно визначити такі вектори