Xreferat.com » Рефераты по математике » Динамические системы в плоской области

Динамические системы в плоской области

Размещено на /


ТЕМА


ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ


1. Введение


Мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений вида


Динамические системы в плоской области (I)


где Р (х, у) и Q (х, у) — непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости (х, у — декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные частные производные до порядка не ниже первого. Область может быть как ограниченной, так и неограниченной. В частности, область G может совпадать со всей плоскостью (х, у).

Системы вида (I) являются частным случаем систем двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями: независимое переменное t в их правые части явно не входит. Системы дифференциальных уравнений, правые части которых не содержат явно независимое переменное, называются автономными. Автономные системы дифференциальных уравнений называются также динамическими системами.

Систему (I) мы будем называть динамической системой на плоскости или в плоской области. Мы будем также говорить, что динамическая система задана или определена в области G. В дальнейшем мы будем опускать слова «на плоскости» и «в плоской области».

Динамическая система (I), заданная в области G, называется системой класса Сn, если функции Р (х, у) и Q (я, у) являются функциями класса Сn, т. е. имеют в области G непрерывные частные производные до порядка n включительно.

Динамическая система (I) называется системой аналитического класса или аналитической системой, если функции Р и Q являются аналитическими функциями в области G.

Очевидно, всякая система класса Ck (к > 1) является одновременно системой класса Ck1, где к1 < к, в частности, системой класса C1. Аналитическая система является системой класса Ck для любого натурального к.

Все рассматриваемые в этой книге динамические системы являются системами класса Динамические системы в плоской области. Поэтому всюду в дальнейшем под динамической системой мы будем во всяком случае всегда подразумевать систему класса Динамические системы в плоской области, не оговаривая этого явно.

Изложим простейшие свойства динамических систем в плоской области. Свойства эти характерны для автономных систем дифференциальных уравнений. Неавтономные системы (т. е. системы, в правые части которых t входит явно), вообще говоря, ими не обладают .


2. Геометрическая интерпретация динамической системы (I) в пространстве -R3


Рассмотрим обычную для системы двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями геометрическую интерпретацию, т. е. геометрическую интерпретацию в трехмерном пространстве с декартовыми координатами х, у, t.

Функции Р (х, у) и Q (х, у) нужно при этом рассматривать как функции трех переменных х, у и t. Но так как эти функции от t не зависят, то в трехмерном пространстве R3 областью определения правых частей системы (I) является бесконечная цилиндрическая область Н, образованная всеми прямыми, параллельными оси t, пересекающими плоскость (х, у) в точках области G .

Решения


Динамические системы в плоской области


системы (I) интерпретируются как кривые, расположенные в области Н. Эти кривые называются интегральными кривыми системы (I). Мы будем, здесь и всюду в дальнейшем, под решением системы дифференциальных уравнений подразумевать решение, продолженное на максимальный возможный интервал значений t.

Так как функции Р (х, у) и Q (х, у) во всяком случае являются функциями класса С1 то для системы (I) во всех точках области H выполняются условия теоремы существования и единственности, а следовательно и сама эта теорема. Мы сформулируем ее для системы (I) следующим образом:

Теорема 1. Для любой точки М0(х0,Динамические системы в плоской области )Динамические системы в плоской области G и для любого t0, Динамические системы в плоской области, существует одно и только одно решение


Динамические системы в плоской области


системы (I), удовлетворяющее начальным условиям


Динамические системы в плоской области


определенное для всех значений t в некотором определенном интервале (Динамические системы в плоской области, Т), содержащем t0.(В частности, решение может быть определено при всех значениях t, т. е. t может быть равно Динамические системы в плоской области, а Т может быть равно Динамические системы в плоской области).

Геометрически теорема 1 означает, что через каждую точку области Н проходит интегральная кривая системы (I) и при этом только одна.

Для системы вида (I) справедлива также следующая теорема, которая существенно используется в дальнейшем:

Теорема 2. Пусть Динамические системы в плоской области — замкнутая ограниченная область, содержащаяся в области G (Динамические системы в плоской области Динамические системы в плоской области G),


Динамические системы в плоской области (1)


— решение системы (I), определенное в интервале (Динамические системы в плоской области, Т) и такое, что при всех t на интервале (Динамические системы в плоской области, Т) точка N (Динамические системы в плоской области,Динамические системы в плоской области) все время остается в области Динамические системы в плоской области. Тогда Динамические системы в плоской области=Динамические системы в плоской области, T=+Динамические системы в плоской области, т.е.решение (1) определено для всех значений t.

Доказательство. Предположим, что решение


Динамические системы в плоской области


определено при значении t - t0. Пусть Динамические системы в плоской области — два произвольных числа, причем Динамические системы в плоской области< t0, Динамические системы в плоской области > t0. Обозначим через Динамические системы в плоской области конечную цилиндрическую область пространства Динамические системы в плоской области, состоящую из всех точек М (t, x, у) таких, что Динамические системы в плоской области, а х, у таковы, что точка (х, у) Динамические системы в плоской области Динамические системы в плоской области (рис. 1). Интегральная кривая, соответствующая решению (1), проходит через точку М0 (t0,Динамические системы в плоской области,Динамические системы в плоской области), принадлежащую области H1. Но тогда, в силу теоремы (А') дополнения, эта интегральная кривая выходит из области Динамические системы в плоской области как при значении, большем t0, так и при значении, меньшем t0. Однако выйти из цилиндрической области Динамические системы в плоской области через боковую поверхность этой области интегральная кривая не может, так как в этом случае, очевидно, нашлась бы точка N (Динамические системы в плоской области), лежащая вне замкнутой области Динамические системы в плоской области, что противоречит условию теоремы.


Динамические системы в плоской области

Рис. 1.


Следовательно, рассматриваемая интегральная кривая выходит из Динамические системы в плоской областичерез нижнее и верхнее основания (рис. 1). Но это значит, что решение (1) определено при t = Динамические системы в плоской области и t =Динамические системы в плоской области. Так как Динамические системы в плоской области произвольны, то решение (1) определено при всех значениях t. Теорема доказана.


3. Простейшие свойства решений системы (I)


Мы установим некоторые cвойства решений системы (I), являющиеся следствием автономности этой системы.


Лемма 1. Если Динамические системы в плоской области


есть решение системы (I), определенное на интервале (Динамические системы в плоской области, Т), то

Динамические системы в плоской области (2)


где С — любая постоянная, также есть решение системы (I) и это решение определено на интервале (Динамические системы в плоской области — С, Т — С).

Доказательство. Так как (1) есть решение системы (I), то при всех t Динамические системы в плоской области (Динамические системы в плоской области, Т) имеет место тождественное равенство


Динамические системы в плоской области(Динамические системы в плоской области), Динамические системы в плоской области.


Если заменить в этих равенствах t на t+C, то при всех tДинамические системы в плоской области (Динамические системы в плоской области —С,Т — С) мы будем иметь тождественное равенство


Динамические системы в плоской области

Динамические системы в плоской области (3)


Но, очевидно


Динамические системы в плоской области, Динамические системы в плоской области


и, следовательно, равенства (3) могут быть записаны в виде


Динамические системы в плоской области

Динамические системы в плоской области


Последние равенства показывают, что функции (2) являются решением системы (I). Тот факт, что это решение определено на интервале (Динамические системы в плоской области — С, Т — С), устанавливается простым рассуждением, которое мы опускаем. Лемма доказана.

С точки зрения геометрической интерпретации в трехмерном пространстве утверждение леммы 1 означает, что линия, получающаяся из любой интегральной кривой путем сдвига ее вдоль оси t на любой отрезок, также есть интегральная кривая. В самом деле, интегральная кривая


Динамические системы в плоской области


получается из интегральной кривой


Динамические системы в плоской области


сдвигом вдоль оси t на величину С.

Лемма 2.

а) Решения системы (I)


Динамические системы в плоской области (1)

и Динамические системы в плоской области (2)


можно рассматривать как решения, удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми начальными значениями х0 и у0 и различными начальными значениями переменного t.

б) Два решения, удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми начальными значениями переменных х0, у0 и различными начальными значениями t,могут быть получены одно из другого заменой t на Динамические системы в плоской области с надлежащим выбором постоянной С.

Доказательство. Если решение (1) соответствует начальным значениям t0, x0, у0 так, что


Динамические системы в плоской области (3)

то в силу очевидных равенств


Динамические системы в плоской области (t0—С + С) = Динамические системы в плоской области (t0) = x0 ψ (t0—С + С) = ψ (t0) = y0


решение (2) соответствует начальным значениям t0—С, х0, у0, что и доказывает утверждение а).

Далее, рассмотрим наряду с решением (1), соответствующим начальным значениям t0, x0, у0, решение


Динамические системы в плоской области (4)


соответствующее начальным значениям Динамические системы в плоской области, x0, у0, где Динамические системы в плоской области t0. Если в решении


(2) Динамические системы в плоской области


величину С взять равной t0—Динамические системы в плоской области, то оно, очевидно, будет соответствовать тем же начальным значениям Динамические системы в плоской области, x0, у0, что и решение (4). В силу единственности решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, отсюда следует


Динамические системы в плоской области , Динамические системы в плоской области


что и доказывает утверждение б) леммы.

В дальнейшем, рассматривая наряду с решением (1) решение (2), мы будем часто говорить, что рассматриваются решения, отличающиеся выбором начального значения t. Решение всякой системы двух дифференциальных уравнении, соответствующее любым произвольным начальным значениям t0, х0, у0 , очевидно, является функцией t, t0, х0, у0 , т. е. записывается в виде

х = Ф(t, t0, х0, г/о), y= Ψ (t, t0, х0, у0) (5)


При этом по самому смыслу функций Ф (t, t0, х0, у0) и Ψ (t, t0, x0, у0), Ф(t0, t0, х0, у0) = х0, Ψ (t0, t0, х0, у0)= у0

Однако в случае системы (1), вследствие автономности этой системы, функции (5) являются по существу не функциями переменных t и t0, а функциями разности t—t0. Это устанавливается в следующей лемме:

Лемма 3. Решение системы (I) как функции от t и от начальных значений t0 , x0 , у0 ,может быть записано в виде


x = Динамические системы в плоской области(t—t0 , х0 , у0), y = ψ(t —t0, х0, у0). (6)


Доказательство. Рассмотрим наряду с решением (5) решение


х = Ф(t, 0, х0, у0), y =Ψ (t, 0, х0, у0),


удовлетворяющие начальным условиям: при t=0, х=х0, у=у0

В силу леммы 1 функции


x = Ф (t — t0, 0, х0, у0), y =Ψ (t— t0 ,0, х0 ,у0) (7)


также являются решением системы (I). Решения (5) и (7) соответствуют одним и тем же начальным значениям t0, x0, у0 . Но тогда эти решения совпадают, т. е.


Ф (t ,t0 , х0, у0)= Ф (t — t0, 0, х0, у0)

Ψ (t , t0, х0 ,у0)= Ψ (t— t0 ,0, х0 ,у0)


Введение обозначений


Ф (t — t0, 0, х0, у0)=Динамические системы в плоской области(t—t0 , х0 , у0),

Ψ (t— t0 ,0, х0 ,у0)= ψ(t —t0, х0, у0)


устанавливает справедливость утверждения леммы.

В дальнейшем решение системы (I), соответствующее начальным значениям t0, х0, у0, мы всегда будем записывать в виде (6).

Лемма 4. Если решение


x = Динамические системы в плоской области(t—t0 , х0 , у0), y = ψ(t —t0, х0, у0). (8)


определено при значении t = t1 , и


Динамические системы в плоской области (9) то

Динамические системы в плоской области(t—t0 , х0 , у0) Динамические системы в плоской области (t —t1, х0, у0)

ψ(t—t0 , х0 , у0) Динамические системы в плоской области (t —t1, х0, у0) (10)


Доказательство. Из соотношений (9), очевидно, следует, что решение (8) и решение


x =Динамические системы в плоской области (t —t1, х0, у0), y= Динамические системы в плоской области (t —t1, х0, у0)


являются решениями, соответствующими одним и тем же начальным значениям t1 , х1 , y1. Но тогда эти решения совпадают, т. е. имеют место равенства (10).

Замечание. Полагая в тождествах (10) t = t0, мы получим


x0 = Динамические системы в плоской области(t0 Динамические системы в плоской области t1 , х1 , у1) , y0 = ψ(t0 Динамические системы в плоской области t1 , х1 , у1)


Это, очевидно, справедливо при любых t1 , х1 , у1 удовлетворяющих соотношениям (10). Опуская индексы, мы получаем


x0 =Динамические системы в плоской области (t0—t, х, у) , y0 = ψ(t0—t, х, у).


Лемма 5. Если система (I) является системой класса Сn , тo функции


x0 =Динамические системы в плоской области(t—t0 , х0 , у0) , y0 = ψ (t—t0 , х0 , у0)


при всех значениях, входящих в них переменных, при которых эти функции определены, имеют непрерывные (по совокупности всех переменных) частные производные:

1) по t (или t0) до порядка n+1 включительно,

2) по х0 и у0 до порядка n включительно


Динамические системы в плоской области


3). пo t (или t0) и по х0 и у0—содержащие по крайней мере одно дифференцирование по t (или t0)—до порядка n + 1


4. Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости (х, у)


Геометрическая интерпретация системы (I) в трехмерном пространстве (х, у, t) в настоящей книге является вспомогательной. Основная геометрическая интерпретация автономной системы (1)связана с рассмотрением плоскости (х, у). Эта плоскость называется фазовой плоскостью системы (I).

Будем в каждой точке М (х, у) области G плоскости (х, у) рассматривать вектор v с компонентами Р (х, у), Q (x, у). Динамическая система (I) определяет, таким образом, в области G векторное поле *).

В силу того, что Р (х, у) и Q (х, у) по предположению имеют непрерывные частные производные, векторное поле, определяемое системой (I), является так называемым непрерывно дифференцируемым векторным полем.

Пусть в точке М (х, у) хотя бы одна из величин Р (х, у), Q (х, у) не обращается в нуль. Тогда длина вектора в этой точке


Динамические системы в плоской области


отлична от нуля, а синус и косинус угла Динамические системы в плоской области (x, у) между положительным направлением оси х и направлением вектора даются выражениями


Динамические системы в плоской области


В тех точках, в которых одновременно Р (х, у), Q (x, у).

длина вектора обращается в нуль, а направление вектора становится неопределенным. Такие точки называются особыми точками векторного поля (или особыми точками системы (1)); точки, в которых хотя бы одна из величин Р (x, у), Q (х, у) не равна нулю,— обыкновенными или неособыми точками этого векторного поля. Во всякой неособой точке М векторного поля угол Динамические системы в плоской области (x, у), непрерывен. В особой точке угол Динамические системы в плоской области (x, у) неопределен, и при стремлении Динамические системы в плоской области и Динамические системы в плоской области к координатам особой точки limДинамические системы в плоской области может не существовать.

Пусть


Динамические системы в плоской области (11)


— какое-нибудь решение системы (I). Множество точек М (Динамические системы в плоской области(t), ψ (t)), где t принимает все значения, при которых определено решение (11), называется траекторией, соответствующей данному решению, а также траекторией векторного поля, заданного динамической системой (І), или просто траекторией данной динамической системы (а также иногда фазовой траекторией).

Уравнения (11), очевидно, являются параметрическими уравнениями траектории. Обратно, если дана какая-нибудь траектория, то решение, которому она соответствует, мы будем называть решением, соответствующим данной траектории.

В математической литературе весьма употребительно векторное обозначение для системы дифференциальных уравнений. Система (I) в этом обозначении запишется в виде векторного уравнения


Динамические системы в плоской области

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: