Xreferat.com » Рефераты по математике » Матрицы. Дифференциальные уравнения

Матрицы. Дифференциальные уравнения

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

 

Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой. Точка  называется началом вектора , а точка  – его концом (рис. 1).

Обозначения: , .

Определение. Длина вектора называется его модулем и обозначается ,    .

Определение. Координатами вектора  называются координаты его конечной точки. На плоскости Oxy ; в пространстве Oxyz .

Определение. Суммой и разностью векторов  и  являются соответственно векторы

;

;

произведение вектора  на число l есть вектор

.

Определение. Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

 (на плоскости);

 (в пространстве).

Определение. Расстояние d между двумя точками A и B можно рассматривать как длину вектора , т.е.

 (на плоскости);

 (в пространстве).

Определение. Если два вектора  и перпендикулярны, то

 (на плоскости);

 (в пространстве).

Определение Вектор X называется собственным вектором линейного оператора A (матрицы A), если найдется такое число l, что AX=lX.

Число l называется собственным значением оператора A, заданного  матрицей A, т.е. собственные значения находятся из характеристического уравнения .


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

Определение Обыкновенное дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.

Определение Порядок старшей производной – порядок дифференциального уравнения.

Определение Решение дифференциального уравнения – такая функция y=y(x), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Определение Задача нахождения решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения.

Определение Общее решение дифференциального уравнения n- го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменной x и n постоянных. Частное решение при конкретных значениях .

Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

.

Определение Д.у. первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде

.

(Для решения используется замена t=y/x)/

Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

 (линейное неоднородное).

(Сначала решаем уравнение  - линейное однородное, находим y и подставляем в исходное).

Определение Уравнение вида

называется уравнением Бернулли.

(Для решения используется замена ).

Линейные однородное д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение Линейные однородные д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

=0

(Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение ).

Теорема 1) Пусть характеристическое уравнение имеет действительные корни l1 и l2, причем . Тогда общее решение уравнения имеет вид

 (С1, С2 – некоторые числа).

2) Если характеристическое уравнение имеет один корень l (кратности 2),то общее решение имеет вид

 (С1, С2 – некоторые числа).

3) Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение имеет вид

, где

, С1, С2 – некоторые числа.


НЕОБХОДИМЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КАСАТЕЛЬНОЙ

Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y=kx+b

(k=tgj коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой)

Если две прямые y=k1x+b1 и y=k2+b2 параллельны, то k1=k2.

Если две прямые y=k1x+b1 и y=k2+b2 перпендикулярны, то k1*k2=-1.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении(известен коэффициент k):

Пусть прямая проходит через точку M1(x1;y1) и образует с осью Ox угол

y-y1=k(x-x1)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2):

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x0 примет вид

y-f(x0)=f¢(x0)(x-x0)

Геометрический смысл производной:

f¢(x0)=k=tga

(производная f¢(x0) есть угловой коэффициент(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x0)


МАТРИЦЫ

 

Определение: Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрица размера mn:

.

 

Виды матриц

Определение: Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)- столбцом.

Пример:

;           .

Определение: Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Пример:

- квадратная матрица третьего порядка.

Определение: Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.

Определение: Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Пример:

- диагональная матрица третьего порядка.

Определение: Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой E.

Пример:

 - единичная матрица второго порядка;

- единичная матрица третьего порядка.

Определение: Матрица любого размера называется нулевой, если все элементы равны нулю.

Операции над матрицами

1.                Умножение матрицы на число

Каждый элемент матрицы умножается на это число.

Пример:

,  0,5.


2.                Сложение матриц

!!! Можно складывать матрицы только одинаковых размеров.

Матрицы складываются поэлементно.

Пример:

.

3.                Вычитание матриц

!!! Можно вычитать матрицы только одинаковых размеров.

Матрицы вычитаются поэлементно.

Пример:

.

4.                Умножение матриц

!!! Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением матрицы  называется такая матрица , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

5.                Возведение в степень

Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц равных А, т.е.

.

Пример:

, найти А2.

6. Транспонирование матрицы

Транспонированная матрица – матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается .

Пример:

.

Обратная матрица

Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е.

.

!!! Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (т.е. определитель матрицы отличен от нуля).

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1.                Находим определитель матрицы, т.е..

2.                Находим транспонированную матрицу , т.е..

3.                Находим присоединенную матрицу, т.е  (матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).

4.                Вычисляем обратную матрицу по формуле .

5.                Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.

Ранг матрицы

Определение: Ранг матрицы – это наивысший порядок, отличных от 0, миноров матрицы.

!!! Чтобы найти ранг матрицы нужно сначала привести матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду (все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0).

Элементарными называются следующие преобразования матриц:

1)                умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

2)                прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

3)                перемена местами строк (столбцов) матрицы;

4)                отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.


МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

 

На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.

Пусть зависимость между двумя переменными x и y выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.

xi

x1

x2

xn

yi

y1

y2

yn

Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными x и y, т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y=f(x) – эмпирическая формула.

Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа:

-                     устанавливается вид зависимости y=f(x), т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная -  y=ax+b);

-                     определение неизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласно которому, в качестве неизвестных параметров функции f(x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений f(xi), найденных по эмпирической формуле y=f(x), от соответствующих опытных значений была минимальной, т.е.

(в нашей задаче ).

В результате решения такой экстремальной задачи с помощью частных производных:

,

получаем систему нормальных уравнений, из которой находим параметры a и b линейной зависимости:

.


НЕОБХОДИМЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

 

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка F¢(x)=f(x).

Определение: Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается , т.е.

.

Формула Ньютона-Лейбница  (для вычисления определенных интегралов):

Формула для вычисления дифференциала функции y=f(x):

dy=f¢(x)dx.

Некоторые свойства неопределенного и определенного интегралов:

Н.и. , где с – некоторое число,

О.и., где с – некоторое число;

Н.и.,

О.и..

!!! Неопределенный интеграл находится приведением интеграла  к табличному (сумме табличных) с помощью этих двух свойств или с помощью таких приемов, как методы интегрирования заменой переменных и по частям.

Формула замены переменной в неопределенном интеграле:

, где  - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Формула замены переменной в определенном интеграле:

, где  - функция имеет непрерывную производную на отрезке [a,b].

Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле:

,

где u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции переменной х.

При этом  

Постоянную С в выражении для v в формуле интегрирования по частям полагают равной 0.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

,

где u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке [a,b].

Табличные интегралы

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.


ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

 

Определение.   Пусть дана квадратная матрица второго порядка

.

Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое по правилу:

.

                           Определение.      Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

.

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называют число, получаемое по правилу:

         

.

Для того, чтобы запомнить, какие произведения в правой части соотношения следует брать со знаком “+”, какие – со знаком “–”, полезно следующее графическое правило, называемое правилом треугольников:

 


                           – со знаком “+”;                                – со знаком “–”.


ПРЕДЕЛЫ

Основные понятия и определения

Определение: Функция называется бесконечно малой величиной (БМВ) при  или при , если ее предел равен нулю:

.

Свойства бесконечно малых величин:

-                     алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;

-                     произведение БМВ на ограниченную функцию есть БМВ;

-                     частное от

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: