О методике решения задач на относительность движения при изучении основ кинематики в 9 классе общеобразовательной школы

Петровых Н.П., Горбанева Л.В. (кафедра общей физики ХГПУ)

Одним из сложных и недостаточно разработанных вопросов методики физики является методика решения задач на относительность движения. Анализ  специальной литературы и имеющийся практический опыт  убеждают в том, что учащиеся школы и студенты не умеют решать задачи на относительность движения. В методических пособиях предлагается преимущественно логические приемы решения, иллюстрируемые иногда рисунками.

Мы предлагаем способ решения задач на относительность движения, который позволяет конкретизировать представления учащихся и студентов о законе сложения скоростей и перемещений, о понятии неподвижной системы отсчета (НСО) и подвижной системы отсчета (ПСО). Учит определять скорости, перемещения тел относительно различных систем отсчета (СО) и другие величины,  убеждает в относительности скорости и перемещения тел.

Сущность предлагаемого способа решения задач сводится к следующему алгоритму:

Анализ условия задачи, выделение движущихся тел. Краткая запись условия задачи. Определение неподвижной и подвижной системы отсчета (НСО и ПСО), движущегося тела.

Записать закон сложения скоростей или перемещений в векторной форме.

Изобразить графически параметры заданных движений, при этом выбрать начальный момент времени и совместить начало НСО и ПСО.

Отобразить на графике, который строится под первоначальным, изменение величин,  описанных в задаче  со временем.

Сравнение закона сложения скоростей (перемещений) и графика.

Записать закон сложения скоростей (перемещений) в проекциях на оси координат, объединив их в систему (или найти геометрическую сумму путем сложения векторов).

Решить полученную систему уравнений. Подставить в решение общего вида значения величин и произвести вычисления.

На примерах решения типовых задач на относительность движения покажем применение данного способа решения.

Задача № 1.

Два поезда движутся равномерно друг за другом. Скорость первого 80 км/ч, а второго 60 км/ч. Какова скорость второго поезда относительно первого ?

1. Первый и второй поезда движутся относительно Земли с некоторыми скоростями. Скорость первого поезда V, скорость второго V2 (жирным шрифтом обозначены векторные величины).

Дано:                              Решение:

V = 80 км/ч      За НСО примем Землю, за ПСО – первый поезд.

V2 = 60 км/ч      Скорость ПСО относительно НСО – V.

V1 - ?                  Движущимся телом является второй поезд.

                     Скорость движущегося тела относительно НСО – V2.

                     Неизвестная скорость второго поезда относительно первого (ПСО) – V1.

2. Закон сложения скоростей V2 = V + V1. Скорость второго поезда относительно НСО равна геометрической сумме скорости второго поезда  относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО.

3. Систему координат XY свяжем с Землей (НСО).

 Систему координат X¢ Y¢  параллельную XY свяжем с первым поездом (ПСО)

 В начальный момент времени (t = 0) совместим НСО и ПСО.         

             4. Через t = 1 час положение ПСО (первого поезда) изменится на расстояние, равное 80 км, а второго поезда, относительно НСО окажется на расстоянии 60 км.

            5. Соотнесем график и формулу закона сложения скоростей V2 = V + V1. Убеждаемся в том, что обе формы отражения закона совпадают.

            6. Для вычисления скорости второго поезда относительно первого найдем проекции и запишем:    

                                                       V2x = Vx + V1x

                                                                                 V2y = Vy + V1y 

                                                     V2 = V - V1

                                                    -V1 = V2 – V

                                                      V1 = V – V2

                                                      V1 = 80 км/ч -  60 км/ч = 20 км/ч

                          Ответ: скорость второго относительно первого поезда равна 20 км/ч.

Задача №2

Скорость течения реки V= 1,5 м/с. Каков модуль скорости V1 катера относительно воды, если катер движется перпендикулярно к берегу со скоростью V2 = 2 м/с относительно него.

  1.    Дано:

 V= 1,5 м/с           За НСО примем берег реки,

V2  = 2 м/с             за ПСО – реку (скорость течения реки V),

V - ?                      движущееся тело – катер.

                  2. Закон сложения скоростей V2 = V + V1. Скорость катера относительно НСО (берега реки) равна геометрической сумме скорости катера относительно ПСО (течения реки) и скорости течения реки.

                   3. Свяжем НСО с системой координат  XY, а  ПСО с системой координат X`Y`. Ось OX направим вдоль берега, а ось OY поперек реки (O`X` и O`Y` соответственно).

                    4.

                     5. Сравним закон сложения скоростей и графика. Для простоты решения найдем геометрическую сумму векторов скорости.

                     6. Так как полученный треугольник прямоугольный, то

Ответ: модуль скорости катера относительно реки  2,5 м/с.

Задача № 3

Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 72 и 54 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 14 с. Какова длина второго поезда ?

1.    Дано: 

V1 =72 км/ч =20 м/с            Так как движение поездов можно считать равномерным,       

V2  = 54 км/ч = 15 м/с          то длину второго поезда можно найти по формуле

l - ?                                        l = V21× t, где V21 – скорость второго поезда относительно                                          первого поезда.    Значит,  для  определения  l  необходимо  найти  V21.

             Примем за НСО Землю, а за ПСО – первый поезд,  движущееся тело – второй поезд.  V2  скорость второго поезда относительно НСО. Скорость ПСО - V1.    

           2. Закон сложения скоростей V2 = V2 1 + V1. Скорость второго поезда относительно НСО равна геометрической сумме скорости второго поезда относительно ПСО (первого поезда) и скорости ПСО (первого поезда).

           3.      4.

          5. На графике V2  и  V2 1  направлены в одну сторону, а V1 в противоположную,

               тогда                      -V2 = V1 - V21

         6  V2 1 = V1 + V2

l = (V1 + V2)× t

l = (20 м/с + 15 м/с)× 14 с = 490 м.

Ответ: длина второго поезда 490 м.

Задача  № 4

Катер, двигаясь против течения реки, проплывает около стоящего на якоре буя и встречает там плот. Через 12 минут после встречи катер повернул обратно и догнал плот на расстоянии 800м ниже буя. Найти скорость течения реки.

   Дано:

t = 12 мин = 720с           НСО свяжем с буем, ПСО – плот (движущийся со скоростью

  S = 800 м                         течения реки  V0), движущееся тело – катер.

V0 - ?                                Скорость катера относительно НСО – V, 

                                         а относительно ПСО – V1.

 Закон сложения скоростей для катера, движущегося по течению и против течения реки, в геометрической форме совпадает: V =  V0  +  V1. Скорость катера относительно НСО равна геометрической сумме скорости ПСО (течения реки) и скорости катера относительно ПСО.

 Найдем скорость катера, двигающегося против течения реки

V =  V0  +  V1

- V  = V0  - V1

V =  V1  - V0

Аналогично найдем скорость катера, двигающегося по течению реки

V =  V0  +  V1

V =  V0  +  V1

         Запишем уравнения движения плота и катера:

                          Sпл. = V0 × t

                  Sк= S1 - S2 , где S1 – расстояние, пройденное катером по течению,

                                              S2 – расстояние, пройденное катером против течения.

                       Sпл. = V0×t

                     Sк = -( V1  - V0 ) × t1 + (V0  +  V1) × (t – t1)

Расстояние, пройденное катером от буя до того места, где катер догнал плот,  равно расстоянию пройденному плотом,  то есть  Sпл  = Sк, то

                       V0 × t  =  -( V1  - V0 ) × t1 + (V0  +  V1) × (t – t1)

                       V0 × t = -- V1× t1 + V0 × t1 + V0 × t + V1 × t – V0  × t1  -  V1× t1

                       V1× t = 2 V1× t1    

                       t = 2 t1

Ответ: скорость течения реки  0,55 м/с.

Задача  №  5

Автоколонна длиной 2 км движется со скоростью 40 км/ч. Мотоциклист выехал из хвоста колонны со скоростью 60 км/ч. За какое время он достигнет головной машины ? Какой путь за это время пройдет мотоциклист относительно Земли ?

Дано:

l = 2 км.                     Примем за НСО  землю,

           V1 = 40км/ч                 за ПСО – колонну, движущееся тело – мотоциклиста.

          V2  = 60 км/ч                Время, за которое мотоциклист догонит головную

t` - ? Sм.з. - ?               машину , где V2 1 – скорость  мотоциклиста

относительно ПСО (колонны)..

           2. Закон сложения скоростей для данной задачи запишем в                                                 виде:  V2 = V1 + V2 1. Скорость мотоциклиста относительно НСО равна геометрической сумме скорости колонны и скорости мотоциклиста относительно колонны.

3. Отразим на рисунке – чертеже процесс, описанный в условии задачи.

 Обозначим колонну прямоугольником, и совместим её конец (начало ПСО) с началом НСО в начальный момент времени  (t = 0). 

Укажем скорости V1 и V2 (рис. а).

4. Отразим геометрически закон сложения скоростей, выяснив, что произойдет через 1 час.

5. Сравним чертеж и формулу закона. Убедимся, что V2 = V1 + V2 1 соответствует геометрическому чертежу (рис. б).

6. Найдем проекции скоростей и вычислим время t` .

V2 = V1 + V2 1

V2 1 = V2 - V 1

Определить путь можно алгебраически по известной формуле ( S.=V× t) и проиллюстрировать чертежом (рис. в, г ) при t = t1=0,1 ч.

По закону сложения перемещений Sм.з = Sк.з. + Sм.к

где Sм.з – перемещение мотоциклиста за 0,1 часа относительно Земли

Sм.к. -  перемещение мотоциклиста за 0,1 часа относительно колонны,

Sк.з. – перемещение колонны за 0,1 часа относительно Земли.

Произведя вычисления  Sм.з = 6 км.

Ответ: через 0,1 часа мотоциклист достигнет головной машины колонны, при этом пройдет путь 6 км.

Задача № 6 

Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий вверх пассажир по движущемуся эскалатору ?

Дано:

        tэ.з. = 1 мин. =60 с.         Примем за НСО – Землю, за ПСО – эскалатор,

        tч.э. = 3 мин. = 180 с       движущееся тело – человек.

        tч.з. – ?                             tэ.з. – время движения эскалатора относительно НСО,

                                           tч.э. – время движения пассажира относительно ПСО,

                                              tч.з. – время движения пассажира относительно НСО.

2. Запишем закон сложения скоростей  Vч.з. = Vэ.з.. + Vч.э..  Скорость человека относительно НСО (идущего вверх по движущемуся эскалатору) равна геометрической сумме скорости эскалатора относительно НСО и скорости человека относительно ПСО ( неподвижному эскалатору).

3.

4.                   

 5.  Vч.з. = Vэ.з.. + Vч.э.        

                 Vч.з. = Vэ.з.. + Vч.э.

  - скорость движения человека относительно эскалатора,     - скорость движения эскалатора относительно Земли,  - скорость движения человека относительно Земли. Подставив в полученную формулу,  получим:

Так как путь, пройденный человеком один и тот же, то

,      ,