Xreferat.com » Рефераты по математике » Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

Автор работы Андреева Елена Валерьевна, ученица 11 «б» класса

Общеобразовательная муниципальная средняя школа №5

Город Кузнецк, 2004 год

І. Объект  исследования

В работе впервые вводится понятие «Прямоугольный тетраэдр». Тетраэдр- многогранник, содержащий 4 грани. Тетраэдр является треугольной пирамидой и содержит 4 трёхгранных угла (рис. 1)  Трёхгранный угол- фигура, образованная тремя плоскостями (гранями), имеющими общую точку (вершину) (рис 2) [1,2].

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра 

  О         О

  А         В

      А     В

  С         С

              Рис. 1  Тетраэдр.                           Рис. 2   Трёхгранный угол.

Трёхгранный угол содержит три плоских угла, образованных рёбрами, лежащими на одной грани. Введем понятие прямого трехгранного угла. Назовем прямым трёхгранным углом трехгранный угол, содержащий три прямых плоских угла (рис3), т.е. рёбра трёхгранного угла взаимно перпендикулярны. Введем также понятие прямоугольного тетраэдра. Тетраэдр называется прямоугольным, если содержит прямой трёхгранный угол (рис 4).

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра  А                                                                                 А

                  

  В                                                                                                       В

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра  О                                    О    

                                                                                                                                                С

  Рис. 3 Схема прямого                                                 Рис. 4    Схема прямоугольного

               трёхгранного угла,                                                                          тетраэдра.                     

Введем также понятия катетных граней, гипотенузной грани,  катетов и гипотенуз прямоугольного тетраэдра.   Прямоугольный тетраэдр содержит три катетные грани (грани, содержащие прямой плоский угол) и гипотенузную грань (не содержащую прямой угол). Прямоугольный тетраэдр содержит три катета (рёбра прямого трёхгранного угла) и три гипотенузы (рёбра, лежащие на гипотенузной грани). Тетраэдр,  катеты которого равны,  назовем равнокатет-ным.

Іі. Цель исследования

Установление или доказательство свойств прямоугольного тетраэдра

Актуальность темы:  прямоугольный тетраэдр является простейшей геометрической фигурой, обладающей уникальными свойствами. Изучение этих свойств в школьном курсе математики должно способствовать развитию абстрактного и логического мышления у учащихся.

ІІІ. Доказательства свойств прямоугольного тетраэдра.

I.  Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме квадратов площадей катетных граней.    

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра  А

       Дано:

        ОАВС -  прямоугольный тетраэдр          

        SОАВ= S1      SABC= S

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра        SOBC= S2      SOAC= S3           В

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра  Доказать:        О

                                                                                    D

         S²=S1²+S2²+S3² 

              С

Доказательство.                                                          

Пусть AD- высота гипотенузной грани АВС, проведённая к ребру ВС из вершины А, ОD- проекция AD на катетной грани ОВС, OD перпендикулярно ВС, т.к. AD перпендикулярно ВС и АО перпендикулярно ОВС (обратная теорема о трёх перпендикулярах). SABC= 1/2 BC×AD

SOBC=1/2 BC×OD

SOAB =1/2 OA×OB

SOAC=1/2OA×OC                                                                                                                                

    S² OBC+S ²OAB +S ²AOC= 1/4(BC²×OD²+OA²×OB²+OA²×OC²)=

    =1/4(BC²×OD²+OA²(OB²+OC²))=1/4(BC²×OD²+OA²×BC²), т.к.

                    ОВ²+ОС²=ВС² (по теореме Пифагора)

    S²OBC+S²OAB+S²OAC=1/4 BC²(OD²+OA²)=1/4 BC²×AD² , т.к.

                     OD²+OA²=AD² (по теореме Пифагора)

     т.е. S²OBC+S²OAB+S²OAC=S²ABC

            S²1+S²2+S²3=S², что и требовалось доказать.

II. Сумма квадратов гипотенуз равна  удвоенной сумме квадратов катетов.

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра               Дано:             А

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра   ОАВС- прямоугольный тетраэдр

           где  а , b , с   - катеты.         В  

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра   АВ, ВС и АС- гипотенузы                                              а

                   Доказать:   b

   АВ²+ВС²+АС²=2(а² + b ² +с²)                    

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра                   Доказательство.                                                          О

           АВ² = а² + b ²                                                                                 с               С

           ВС² = b ² + с²                  (по теореме Пифагора)                 

           АС² = а² + с²

АВ² + ВС² + АС² =2а² + 2 b ² +2с² , что и требовалось доказать.

III.  Объём прямоугольного тетраэдра равен 1/6 произведения катетов.

                                                                         А

                    Дано:       

       ОАВС - прямоугольный тетраэдр                    

     а , b , с  - катеты.    В

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра                    Доказать:                                                       а    b

        V=(1/6)  а · b · с   

                    Доказательство.  О                       С

              с

Поскольку тетраэдр является треугольной пирамидой, его объём

V=(1/3 )Sосн · h

Выберем в качестве основания катетную грань ОВС, тогда катет  а   будет высотой тетраэдра, т.к. а перпендикулярен ОВС, т.е.

V=(1/3) SOBC· а ,   т.к.SOBC=(1/2) b ·.с 

Имеем  V=(1/6) а · b · с, что и требовалось доказать.

Расстояние от вершины прямого трёхгранного угла до гипотенузной грани определяется по формуле:                     

h =   (a۰b۰c)/√a²·b² + b²·c² + a²·c²

где  a, b, c – катеты тетраэдра

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраДано:     А

      ОАВС- прямоугольный тетраэдр

      ОА = а,  ОВ =  b,  ОС = с    катеты         Д

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра      ОД =  h – перпендикуляр к грани                           

       АВС           а

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра  h                   В

  Доказать:        b

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

                        ____________ О

 h =  (a·b·c) / √a²b²+b²c²+a²c²   с          С

        Доказательство. 

   Объем тетраэдра:

          V = (1/3)SАВС·h

  C другой стороны:  V = (1/6)abc  (свойство 3 прямоугольного тетраэдра).

  Следовательно,

                                h = (abc) / (2SАВС)

 Из первого свойства прямоугольного тетраэдра:

                                      ___________________

                       SАВС  =  √Ѕ²ОАВ + S²ОВС   +   S² ОАС

  ____________

      т.е.     SАВС  =  (1/2)√a²b²+b²c²+a²c²

      Следовательно,

                            ____________

                   h =  (abc) / √a²b²+b²c²+a²c²   , что и требовалось доказать.

Косинусы направляющих углов нормали к гипотенузной грани определяются по формулам:

               ____________

cos α  = h  / a=  (bc) / √a²b²+b²c²+a²c²

                 ____________

сos β  =  h  / b = (ac) / √a²b²+b²c²+a²c²

               ____________

cos γ  = h  /  c= (ab) / √a²b²+b²c²+a²c²

где  a, b, c – катеты тетраэдра;

α – угол между катетом а и нормалью

β – угол между катетом b и нормалью

γ – угол между катетом с и нормалью.

h – нормаль

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр.

 ОА = а, ОВ = b, ОС = с  -  катеты   

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра ОД  =  h – нормаль к грани АВС            А   

Доказать:                Д

   ____________ 

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраcos α =  (bc) / √a²b² +b²c² +a²c²                                h

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра    ____________         а                      В

cos β = (ac) / √a²b² +b²c² +a²c²                           α               b

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра    ____________                                     β 

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра           cos γ = (ab) / √a²b² +b²c² +a²c²                                      γ

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра  С

  О         с         

Доказательство.         

Соединим точку Д с точкой А и получим прямоугольный треугольник ОАД

           cos α  =  ОД/ОА  =  h/a

    ____________

Поскольку     h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c²

  ____________

cos α = (bc)/√a²b²+b²c²+a²c²   , что и требовалось доказать.

Аналогично:

  ____________

cos β = ОД/ОВ =  d/b  =  (ac)/√a²b²+b²c²+a²c²

____________

cos γ =  ОД/ОС =  d/c  =  (ab)/√a²b²+b²c²+a²c²

Радиус сферы, описывающей прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

                                                     ________

                                 R  =  ( ½) · √a²+b²+c²

  где   a, b, c – катеты тетраэдра

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра                                                                         К                                          L

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра      Дано:

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра      ОАВС- прямоугольный тетраэдр           А         М

   ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты

   R – радиус сферы, описывающей

   тетраэдр.

      Доказать:    а

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра                    _______                В                     Д        

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра   R = (1/2)√a²+b²+c²                                                b

                                                                         О

     Доказательство.     с          С

     На базе прямоугольного тетраэдра         

 ОАВС достраиваем прямоугольный параллелепипед ОВДСАКЛМ. Диагонали прямоугольного параллелепипеда являются диаметрами описывающей его сферы, т.к. центр симметрии прямоугольного параллелепипеда совпадает с центром описанной сферы т.е.:              

                              _______                  _____                                ________                                 

          КС =  D = √a²+b²+c²     (ВС = √b²+c² ,   ВК = а,    КС = √ВС²+ВК² )      

Поскольку данная сфера одновременно описывает прямоугольный

тетраэдр, имеем:

                                                       _______

                        R = (1/2)D = (1/2)√a²+b²+c²,

    что и требовалось доказать.

VII.  Радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

                                     abc

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра          r =         ____________                         ,

                      √a²b²+b²c²+a²c²  + ab + bc + ac

где  a, b, c  - катеты тетраэдра.         

  Дано: ОАВС - прямоугольный тетраэдр

                                                                                                                                                                                                                                                                                         

ОА = а, ОВ = b, ОС = с –  катеты.    О1 – центр вписанной сферы                                                                                                      

r -  радиус вписанной сферы

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

Доказать:

                          r = h / (1 + cosα  + cosβ  + cosγ)

 

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

Доказательство:  Пусть вписанная сфера касается гипотенузной грани в точке Д. Тогда О1Д перпендикулярна гипотенузной грани и О1Д = r.

             _           _

Пусть do  - единичный вектор нормали к гипотенузной грани, т.е. |dо| = 1

Координаты этого единичного вектора (cos α; cos β; cos γ) являются направляющими косинусами нормали к гипотенузной грани.

  __

 Найдем проекцию вектора ОО1 с координатами (r; r; r) на вектор нормали:

            ___                                                                   __

ОК =  |ОО1|cosδ ,  где δ – угол между вектором ОО1 и вектором нормали.

       ___                 __    _           __   _

      |OO1|cosδ  =  (OO1·do) =  r·cosα + r·cosβ + r·cosγ ,  где (ОО1·dо) – скалярное произведение двух векторов.

Пусть перпендикуляр к гипотенузной грани ОН = h,

тогда   h = OK + KH, т.е.

h  =  |OO1|cosδ  +  r,      т.к. КН = r

 (поскольку КНДО1 является прямоугольником).

Имеем

                        h = r cosα  +  r cosβ  +  r cosγ    +   r

т.е.

                          r = h / (1 + cosα  + cosβ  + cosγ)

С учетом 4-го и 5-го свойств прямоугольного тетраэдра имеем полную формулу:

          (abc)/√a²b²+b²c²+a²c²    abc

        1 + (bc + ac + ab) / √a²b²+b²c²+a²c²            √a²b²+b²c²+a²c²  + ab + bc + ac

Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра.

  А

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдра 

Дано:

ОАВС -прямоугольный тетраэдр

ОА = ОВ = ОС = а –   а

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдракатеты   В

  Доказать, что гипотенузная а

 грань является правильным

Исследование свойств прямоугольного тетраэдраИсследование свойств прямоугольного тетраэдратреугольником и косинусы    О         Д

двугранных углов между

гипотенузной гранью и катетными  а

гранями равны            С

                   ___

                 √1/3

Доказательство.

Стороны гипотенузной грани находим по теореме Пифагора:

  _________           __

 АС = √ ОА² +OC²     =   √2  а

   _________            __

           АВ = √ ОА² +OB²     =   √2  а

  _________            __

           ВС = √ ОВ² + ОС²     =   √2  а

т.е.  треугольник АВС равносторонний или правильный, что и требовалось доказать.

Проведем отрезок АД перпендикулярно ВС. Отрезок ОД является проекцией отрезка АД на грань ОВС и поэтому ОД будет перпендикулярен ВС по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол ОДА является линейным углом двугранного угла между гранями ОВС и АВС

Поскольку АД является высотой правильного треугольника АВС:

  _                 _       _            ___

АД = (√3/2)АВ = (√3/2)√2  а  =  √3/2  а

ОД является высотой равнобедренного прямоугольного треугольника ОВС, опущенной с вершины прямого угла. Следовательно:

ОД =  а/√2

Косинус двугранного угла:

сos _ОДА 

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: