Xreferat.com » Рефераты по математике » Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"


Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии


Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

" " 2005г.


Дипломная работа


Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр


Исполнитель

студентка группы М-51

Шутова И.Н.


Руководитель

Д., ф-м н., профессор Монахов В.С.


Гомель 2005

Содержание


Введение

1. Основные определения и используемые результаты

2. Свойство централизаторов универсальных алгебр

3. Мультикольцо

Заключение

Список использованных источников

Введение


В теории формаций конечных групп, мультиколец и многих других алгебраических систем исключительно важную роль играют такие понятия, как локальные экраны, локальные формации, основанные на определении центральных рядов. Впервые понятие централизуемости конгруэнций было введено Смитом в работе [5]. Возникает задача согласованности определения централизуемости Смита с определением в группах и мультикольцах.Такая задача была решена в указанной работе Смита [5], где было показано:нормальная подгруппа Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр группы Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр централизует подгруппу Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр тогда и только тогда, когда конгруэнции,индуцированные этими нормальными подгруппами, централизуют друг друга в смысле Смита.

Возникает следующий вопрос: справедливо ли аналогичное утверждение для мультиколец, т.е. будут ли выполнятся свойства централизуемости, изложенные в работе [3], для универсальных алгебр.

В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр тогда и только тогда централизуется идеалом Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.

Дипломная работа включает в себя введение, три параграфа и список литературы из 10 наименований.

Перейдем к краткому изложению содержания дипломной работы.

Раздел 1 является вспомогательным и включает в себя все необходимые определения и используемые результаты.

Раздел 2 носит реферативный характер. Здесь приводятся свойства централизаторов конгруэнций, доказательства которых изложены в работах [5, 6, 7].

Раздел 3 является основным. Здесь вводится определение мультикольца, определение идеала мультикольца, определение централизатора идеала и с использованием данных определений доказывается основной результат работы (теоремы 3.4. и 3.5).


1. Основные определения и используемые результаты


Определение 1.1. [1] Универсальной алгеброй, или, короче, алгеброй называется пара Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, где Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - непустое множество, Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - (возможно пустое) множество операций на Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр.

Определение 1.2. [1] Конгруэнцией на универсальной алгебре Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр называется всякое отношение эквивалентности на Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, являющееся подалгеброй алгебры Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр.

Определение 1.3. [1] Если Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр и Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - алгебры сигнатуры Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, то отображение Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр называется гомоморфизмом, если для любой Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр-арной операции Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр и любых элементов Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр выполняется равенство:


Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр


Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.

Теорема 1.1. [1] Пусть Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - гомоморфизм универсальных алгебр, тогда множество


Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр


является конгруэнцией на алгебре Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр и называется ядром гомоморфизма Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

Теорема 1.2. [1] Пусть Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - гомоморфное наложение, тогда Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр.

Теорема 1.3. [1] Пусть Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - конгруэнции на алгебре Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр и Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, тогда Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр.

Определение 1.4. [2] Непустой абстрактный класс алгебр Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр сигнатуры Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр называется многообразием, если Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр замкнут относительно подалгебр и прямых произведений.

Многообразие Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр называется мальцевским, если конгруэнции любой алгебры из Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр попарно перестановочны.

Теорема 1.4. [2] Конгруэнции любой алгебры многообразия Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр попарно перестановочны тогда и только тогда, когда существует термальная операция Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, что во всех алгебрах из Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр справедливы тождества


Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр


Определение 1.5. [3] Пусть Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр и Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - факторы алгебры Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр. Тогда они называются:

1) перспективными, если либо Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр и Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, либо Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр и Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр;

2) проективными, если в Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр найдутся такие факторы Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, что для любого Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр факторы Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр и Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр перспективны.

Теорема 1.5. [4] Между факторами произвольных двух главных рядов алгебры Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, принадлежащей мальцевскому многообразию, можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие факторы проективны и централизаторы в Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр равны.

Теорема 1.6. [2] (Лемма Цорна). Если верхний конус любой цепи частично упорядоченного множества Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр не пуст, то Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр содержит максимальные элементы.


2. Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр


Под термином ``алгебра'' в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр. Используются определения и обозначения из работы [1]. Дополнительно отметим, что конгруэнции произвольной алгебры обозначаются греческими буквами. Если Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - конгруэнция на алгебре Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, то Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - класс эквивалентности алгебры Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр по конгруэнции Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - факторалгебра алгебры Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр по конгруэнции Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр. Если Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр и Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - конгруэнции на алгебре Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, то конгруэнцию Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр на алгебре Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр назовем фактором на Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр. Очевидно, что Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр тогда и только тогда, когда Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр. Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр или Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр и Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр или Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр.

Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6].

Определение 2.1. Пусть Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр и Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - конгруэнции на алгебре Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр. Тогда Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр централизует Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр (записывается: Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр), если на Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр существует такая конгруэнция Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, что:

1) из Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр всегда следует Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр;

2) для любого элемента Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр всегда выполняется


Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр


3) если Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, то Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр.

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1. Пусть Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр. Тогда:

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр существует единственная конгруэнция Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, удовлетворяющая определению 2.1;

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр;

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр если Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, то Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр.

Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр на алгебре Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр существует такая единственная наибольшая конгруэнция Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, что Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр. Эту конгруэнцию Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр будем называть централизатором конгруэнции Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр в Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр и обозначать Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр.

Лемма 2.2. Пусть Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - конгруэнции на алгебре Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр. Тогда справедливы следующие утверждения:

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр;

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, где Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр;

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр если, Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, либо

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, либо

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, то всегда Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр;

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр из Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр всегда следует Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр.

Доказательство. 1). Очевидно, что Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - конгруэнция на Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1 Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр.

2). Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр - конгруэнция на Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, удовлетворяющая определению 2.1. Значит, Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр.

3). Пусть Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр. Тогда


Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр


Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр такой, что Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр, для

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: