Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп

Курсовая работа

"Решетки субнормальных и -субнормальных подгрупп"

Введение

В теории конечных групп одним из центральных понятий является понятие -субнормальной подгруппы. Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г. известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всей теории конечных групп в последующие годы.

В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.

Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления – теории формаций.

В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие -субнормальных подгрупп, которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому, конечно, возникает задача о построении теории -субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.

Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не -группы.

В третьем разделе приводится описание локальных наследственных формаций, обладающих решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

1. Субнормальные подгпруппы и их свойства

Определение. Пусть – подгруппа группы . Цепь подгрупп

в которой для любого , ,…, , называется субнормальной -цепью, а число – длиной этой цепи. Наименьшее , при котором существует хотя бы одна субнормальная -цепь длины , называется дефектом подгруппы в и обозначается через .

Определение. Пусть – подгруппа группы . Если существует хотя бы одна субнормальная -цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается .

Лемма. Если субнормальна в , и субнормальна в , то субнормальна в .

субнормальна в , следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная -цепь

субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Таким образом, мы получили субнормальную -цепь

то есть субнормальна в по определению. Лемма доказана.

Теорема. Если подгруппа субнормальна, но не нормальна в , то существует такой элемент , что

Доказательство. Пусть – дефект подгруппы в группе . Рассмотрим субнормальную -цепь длины :

Из того, что не нормальна в , следует, что . не нормальна и в , иначе мы получаем противоречие с тем, что – дефект подгруппы в группе , так как в этом случае подгруппу в цепи можно было опустить. Поэтому существует элемент такой, что . Теперь имеем

Так как , то . С другой стороны, и , откуда получаем . Теорема доказана.

Определение. Пусть – субнормальная подгруппа дефекта в . Субнормальная -цепь

называется канонической, если для любой субнормальной -цепи

имеет место , , ,…, .

Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.

Теорема. Если субнормальна в , то существует единственная каноническая субнормальная -цепь.

Доказательство. Пусть – дефект подгруппы в группе . Будем рассматривать все возможные субнормальные -цепи длины .

все субнормальные -цепи длины ( – второй индекс). Положим . Так как , то для любого , ,…, мы имеем

Таким образом, цепь

является субнормальной -цепью длины и, следовательно, не имеет повторений. Так как при любых и , то теорема доказана.

Теорема. Если субнормальна в и – подгруппа , то пересечение есть субнормальная подгруппа .

Доказательство. Рассмотрим субнормальную -цепь минимальной длины :

Положим . Получаем цепь

Ясно, что она будет субнормальной, так как . Действительно, пусть , значит, и . Тогда для любого , так как и .

Мы получили субнормальную -цепь. Теорема доказана.

Следствие. Пусть и – подгруппы группы . Если субнормальна в и – подгруппа , то субнормальна в .

Доказательство. Пусть и цепь

является субнормальной -цепью.

Положив , получим субнормальную -цепь

что и требовалось.

Теорема. Пусть субнормальна в и субнормальна в . Тогда пересечение