Типовой расчет
1. Бросаются 2 кости. Определить вероятность того, что на верхних гранях:
а) сумма очков не превосходит 12; б) произведение числа очков не превосходит 12; в) произведение числа очков делится на 12.
+ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
а).Пусть событие А – сумма числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12,то есть указанная сумма меньше или равна 12. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:
,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.
Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события А:
m = 36. В результате получаем
Таким образом, искомая вероятность равна 1 .
б) Пусть событие В – произведение числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12.
Ч | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
Вероятность события В находим с помощью классического определения вероятности:
,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.
Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 23. В результате получаем:
Таким образом, искомая вероятность равна 0,6389.
в) Пусть событие С – произведение числа очков, выпавших на двух костях, делится на 12.
Вероятность события С находим с помощью классического определения вероятности:
,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Воспользуемся таблицей, полученной в пункте б).
Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 7. В результате получаем:
Таким образом, искомая вероятность равна 0,1944.
Ответ: а) 1; б) 0,6389, в) 0,1944.
2. Имеются n изделий 4-х сортов, причём , где i= 1, 2, 3, 4. Для контроля берутся m изделий, где . Определить вероятность того, что среди m изделий m1 – первого сорта, m2 – второго сорта, m3 – третьего сорта, m4 – четвёртого сорта
Дано: n1 = 3, n2 = 3, n3 = 4, n4 = 2, m1 = 2, m2 = 1, m3 = 2, m4 = 2.
Решение.
Пусть событие А – среди m изделий 2 изделия – первого сорта, 2 изделия – второго сорта, 2 изделия – третьего сорта, 1 изделие – четвёртого сорта.
Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:
,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.
Находим m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. 2 изделия первого сорта можно выбрать из 3 изделий способами, 1 изделие второго сорта можно выбрать из 3 изделий способами, 2 изделие третьего сорта можно выбрать из 4 изделий способами, 2 изделия четвёртого сорта можно выбрать из 2 изделий способами. Воспользуемся теоремой умножения, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А равно:
Находим n – общее число равновозможных исходов испытания.
(2+1+2+2)=7 изделий из изделий можно выбрать способами, то есть:
Отсюда, искомая вероятность равна:
Ответ: Р(А) = 0,0795.
3. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди m билетов l выигрышных.
Дано: n = 10, l = 5, m =7 , k = 7.
Решение.
Пусть событие А - среди 7 билетов 5 выигрышных. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:
,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.
Находим m. Из 7 выигрышных билетов 5 билета можно выбрать способами, а 2 безвыигрышных билетов из 3 билетов можно выбрать способами. Тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А, используя теорему умножения, будет равно:
m = Ч=
Находим n. . Из 10 билетов 7 билета можно выбрать способами, тогда
n =
Отсюда, искомая вероятность равна:
Ответ: Р(А) = 0,525.
4. В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n < k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а)все вышли на разных этажах; б) по крайней мере двое сошли на одном этаже.
Дано: k = 7, n = 4.
Решение.
а) Событие А – все пассажиры вышли на разных этажах.
Событие А1 – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.
Событие А2 – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.
Событие А3 – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.
Событие А4 – четвертый пассажир вышел на любом из оставшихся трех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.
Вероятность события А находим по теореме умножения, поскольку события А1, А2, А3, А4 являются зависимыми. Тогда:
где: , , , .
Отсюда:
.
б) Событие В – по крайней мере двое сошли на одном этаже.
Событие В1 – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.
Событие В2 – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.
Событие В3 – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.
Событие В4 – четвертый пассажир вышел на любом из трех этаже, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.
Вероятность события В находим по теореме умножения, поскольку события В1, В2, В3, В4 являются зависимыми. Тогда:
где: , , , .
Отсюда:
.
Ответ: а) 0,2778; б) 0,2778.
5. В двух партиях К1 и К2 % доброкачественных изделий на удачу выбирают по одному изделию из каждой партии Какова вероятность того, что среди двух изделий:
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно бракованное и одно доброкачественное.
Дано: К1 = 39%, К2 = 78%.
Решение.
Обозначим события:
Событие А – из первой партии наудачу вынули доброкачественное изделие;
Событие B - из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие
Вероятности этих событий соответственно равны: р1 = 0,39 и р2 = 0,78.
а) Пусть событий С – среди двух изделий хотя бы одно бракованное.
Рассмотрим противоположное событие - среди двух изделий нет бракованных, то есть эти два изделия доброкачественные. Вероятность события находим, используя теорему умножения:
Р() = р1 · р2 = 0,39 · 0,78 = 0,3042
Отсюда, вероятность искомого события Р(С) найдём по формуле:
Р(С) = 1 - Р() = 1 – 0,3042 = 0,6958.
б) Пусть событий D – среди двух изделий два бракованных.
Вероятность события D находим, используя теорему умножения:
Р(D) = q1 · q2 = (1 - р1) · (1 - р2) = (1 - 0,39)·(1 - 0,78) = 0,1342.
в) Пусть событий Е - одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события: Событие - из первой партии вынули доброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие - из первой партии вынули бракованное изделие, а из второй – доброкачественное.
Тогда:
Е = +
или Р(Е) = Р() + Р()
Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения:
Р(Е) = р1 · q2 + q1 · р2 = 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616
Ответ: а) 0,6958; б) 0,1342; в) 0,5616.
6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле: первым стрелком равна P1 = 0,39, а вторым стрелком - P2 = 0,45. Первый стрелок сделал n1 = 3 выстрелов, а второй стрелок – n2 = 2 выстрелов. Определить Вероятность того, что цель не поражена.
Решение.
Пусть событие А - цель не поражена. Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав 3 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 2 выстрела, тоже ни разу не попал.
Рассмотрим гипотезы:
Событие А1 – первый стрелок промахнулся 3 раза.
Событие А2 - второй стрелок промахнулся 2 раза.
Вероятность того, что первый стрелок промахнется при одном выстреле равна:
q1 = 1 - p1 = 1- 0,39 = 0,61,
а вероятность того, что второй стрелок промахнется при одном выстреле равна: q2 = 1 - p2 = 1- 0,45=0,55.
Тогда вероятность событий А1 и А2 находим по формуле Бернулли:
Тогда:
Тогда искомая вероятность события А, используя теорему умножения, равна:
Р(А) = Р(А1)ЧР(А2) = 0,227 · 0,3025 = 0,0687.
Ответ: 0,0687.
7. Из ламп ni принадлежат i-й партии (i = 1, 2, 3) бракованные лампы в первой партии составляют 6%, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная.
Дано: n1 = 620, n2 = 190.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу выбирают одну лампу.
Пусть событие А - выбранная лампа – бракованная. Рассмотрим гипотезы:
Событие Н1 – выбранная лампа принадлежит 1-й партии,
Событие Н2 – выбранная лампа принадлежит 2-й партии,
Событие Н3 – выбранная лампа принадлежит 3-й партии.
Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:
Определяем вероятности гипотез Н1, Н2, Н3 с помощью классического определения вероятности:
,
Для события Н1 имеем: m1 = 620 (количество ламп в первой партии), n =1000 (общее количество ламп); тогда вероятность события Н1 равна:
Аналогично находим вероятности гипотез Н2 и Н3.
Для события Н2 имеем: m2 = 190, n =1000.
Для события Н3 имеем: m3 = 1000 - m1 – m2 = 1000 – 620 –190 = 190, n =1000.
Контроль:
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3 соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле:
где: ki – число процентов бракованных ламп в i-й партии. Тогда
Подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
=
= 0,62 · 0,06 + 0,19 · 0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543.
Ответ: Р(А) = 0,0543.
8. В первой урне N1 белых и M1 чёрных шаров, во второй N2 белых и M2 чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.
Дано: N1 = 20, M1 = 1, N2 = 40, M2 = 7, К = 15.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из второй урны шар после перекладывания из первой урны во вторую 15 шаров.
Пусть событие А - выбранный шар – белый.
Рассмотрим гипотезы:
Событие Н1 – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 15 белых и ни одного чёрного;
Событие Н2 – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 14 белых и 1 чёрный; Так как события Н1, Н2 образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:
Определяем вероятности гипотез Н1, Н2 с помощью классического определения вероятности:
,
где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi, n – общее число равновозможных исходов испытания.
В первой урне находится (N1 + M1) = 20+1 =21 шар, тогда общее число равновозможных исходов испытания равняется числу способов, которыми можно вынуть 15 шаров из 21, то есть
n =
Находим вероятность гипотезы Н1. 15 белых шаров из 20 можно выбрать способами, а 0 чёрных из 1 - способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н1, используя теорему умножения, будет равно:
m = Ч=
Отсюда, вероятность события Н1 равна:
Аналогично находим вероятности гипотез Н2.
Для события Н2 имеем:
m2=Ч=
Отсюда, вероятность события Н2 равна:
Контроль:
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2 соответственно наступили, то есть вероятности , с помощью классического определения вероятности:
,
где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Нi соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.
При наступлении события Н1 во второй урне станет (40+15)=55 белых и 7 чёрных шаров, всего в урне 62 шара, тогда для события A | Н1 имеем:
m1 = 55, a n = 62, отсюда
При наступлении события Н2 во второй урне станет (40+14)=54 белых и (7+1)=8 чёрных шаров, всего в урне 62 шаров, тогда для события A | Н2 имеем:
m2 = 54, a n = 62, отсюда
Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
=0,2857Ч0,8871 + 0,7143Ч0,871 = 0,8756
Ответ: Р(А) = 0,8756.
9. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашенные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марки - чистые.
Дано: k = 7, l = 5, m = 2, n = 2.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из альбома после гашения 2 марки.
Пусть событие А - все 2 марки - чистые.
Рассмотрим гипотезы:
Событие Н1 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 2 чистые и ни одной гашеной марки;
Событие Н2 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 1 чистую и 1 гашеную марки;
Событие Н3 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению ни одной чистой и 2 гашеные марки.
Так как события Н1, Н2, Н3 образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности: