Типовой расчет

1. Бросаются 2 кости. Определить вероятность того, что на верхних гранях:

а) сумма очков не превосходит 12; б) произведение числа очков не превосходит 12; в) произведение числа очков делится на 12.


+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

а).Пусть событие А – сумма числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12,то есть указанная сумма меньше или равна 12. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:


Типовой расчет ,


где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.

Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события А:

m = 36. В результате получаем


Типовой расчет


Таким образом, искомая вероятность равна 1 .

б) Пусть событие В – произведение числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12.


Ч 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36

Вероятность события В находим с помощью классического определения вероятности:


Типовой расчет ,


где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.

Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 23. В результате получаем:


Типовой расчет


Таким образом, искомая вероятность равна 0,6389.

в) Пусть событие С – произведение числа очков, выпавших на двух костях, делится на 12.

Вероятность события С находим с помощью классического определения вероятности:


Типовой расчет ,


где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Воспользуемся таблицей, полученной в пункте б).

Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 7. В результате получаем:


Типовой расчет


Таким образом, искомая вероятность равна 0,1944.

Ответ: а) 1; б) 0,6389, в) 0,1944.

2. Имеются n изделий 4-х сортов, причём Типовой расчет, где i= 1, 2, 3, 4. Для контроля берутся m изделий, где Типовой расчет. Определить вероятность того, что среди m изделий m1 – первого сорта, m2 – второго сорта, m3 – третьего сорта, m4 – четвёртого сорта

Дано: n1 = 3, n2 = 3, n3 = 4, n4 = 2, m1 = 2, m2 = 1, m3 = 2, m4 = 2.

Решение.

Пусть событие А – среди m изделий 2 изделия – первого сорта, 2 изделия – второго сорта, 2 изделия – третьего сорта, 1 изделие – четвёртого сорта.

Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:


Типовой расчет ,


где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Находим m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. 2 изделия первого сорта можно выбрать из 3 изделий Типовой расчет способами, 1 изделие второго сорта можно выбрать из 3 изделий Типовой расчет способами, 2 изделие третьего сорта можно выбрать из 4 изделий Типовой расчет способами, 2 изделия четвёртого сорта можно выбрать из 2 изделий Типовой расчет способами. Воспользуемся теоремой умножения, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А равно:


Типовой расчет


Находим n – общее число равновозможных исходов испытания.

Типовой расчет(2+1+2+2)=7 изделий из Типовой расчет изделий можно выбрать Типовой расчет способами, то есть: Типовой расчет

Отсюда, искомая вероятность равна:


Типовой расчет


Ответ: Р(А) = 0,0795.

3. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди m билетов l выигрышных.

Дано: n = 10, l = 5, m =7 , k = 7.

Решение.

Пусть событие А - среди 7 билетов 5 выигрышных. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:


Типовой расчет ,


где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Находим m. Из 7 выигрышных билетов 5 билета можно выбрать Типовой расчет способами, а 2 безвыигрышных билетов из 3 билетов можно выбрать Типовой расчет способами. Тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А, используя теорему умножения, будет равно:


m = Типовой расчетЧТиповой расчет=Типовой расчет


Находим n. . Из 10 билетов 7 билета можно выбрать Типовой расчет способами, тогда


n = Типовой расчет


Отсюда, искомая вероятность равна:


Типовой расчет


Ответ: Р(А) = 0,525.

4. В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n < k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а)все вышли на разных этажах; б) по крайней мере двое сошли на одном этаже.

Дано: k = 7, n = 4.

Решение.

а) Событие А – все пассажиры вышли на разных этажах.

Событие А1 – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.

Событие А2 – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие А3 – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие А4 – четвертый пассажир вышел на любом из оставшихся трех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события А находим по теореме умножения, поскольку события А1, А2, А3, А4 являются зависимыми. Тогда:


Типовой расчет

где: Типовой расчет, Типовой расчет, Типовой расчет, Типовой расчет.


Отсюда:


Типовой расчет.


б) Событие В – по крайней мере двое сошли на одном этаже.

Событие В1 – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.

Событие В2 – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие В3 – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие В4 – четвертый пассажир вышел на любом из трех этаже, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события В находим по теореме умножения, поскольку события В1, В2, В3, В4 являются зависимыми. Тогда:


Типовой расчет

где: Типовой расчет, Типовой расчет, Типовой расчет, Типовой расчет.


Отсюда:


Типовой расчет.


Ответ: а) 0,2778; б) 0,2778.

5. В двух партиях К1 и К2 % доброкачественных изделий на удачу выбирают по одному изделию из каждой партии Какова вероятность того, что среди двух изделий:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно бракованное и одно доброкачественное.

Дано: К1 = 39%, К2 = 78%.

Решение.

Обозначим события:

Событие А – из первой партии наудачу вынули доброкачественное изделие;

Событие B - из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие

Вероятности этих событий соответственно равны: р1 = 0,39 и р2 = 0,78.

а) Пусть событий С – среди двух изделий хотя бы одно бракованное.

Рассмотрим противоположное событие Типовой расчет - среди двух изделий нет бракованных, то есть эти два изделия доброкачественные. Вероятность события Типовой расчет находим, используя теорему умножения:


Р(Типовой расчет) = р1 · р2 = 0,39 · 0,78 = 0,3042


Отсюда, вероятность искомого события Р(С) найдём по формуле:


Р(С) = 1 - Р(Типовой расчет) = 1 – 0,3042 = 0,6958.


б) Пусть событий D – среди двух изделий два бракованных.

Вероятность события D находим, используя теорему умножения:


Р(D) = q1 · q2 = (1 - р1) · (1 - р2) = (1 - 0,39)·(1 - 0,78) = 0,1342.


в) Пусть событий Е - одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события: Событие Типовой расчет - из первой партии вынули доброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие Типовой расчет - из первой партии вынули бракованное изделие, а из второй – доброкачественное.

Тогда:


Е = Типовой расчет+Типовой расчет

или Р(Е) = Р(Типовой расчет) + Р(Типовой расчет)


Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения:


Р(Е) = р1 · q2 + q1 · р2 = 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616


Ответ: а) 0,6958; б) 0,1342; в) 0,5616.

6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле: первым стрелком равна P1 = 0,39, а вторым стрелком - P2 = 0,45. Первый стрелок сделал n1 = 3 выстрелов, а второй стрелок – n2 = 2 выстрелов. Определить Вероятность того, что цель не поражена.

Решение.

Пусть событие А - цель не поражена. Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав 3 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 2 выстрела, тоже ни разу не попал.

Рассмотрим гипотезы:

Событие А1 – первый стрелок промахнулся 3 раза.

Событие А2 - второй стрелок промахнулся 2 раза.

Вероятность того, что первый стрелок промахнется при одном выстреле равна:


q1 = 1 - p1 = 1- 0,39 = 0,61,


а вероятность того, что второй стрелок промахнется при одном выстреле равна: q2 = 1 - p2 = 1- 0,45=0,55.

Тогда вероятность событий А1 и А2 находим по формуле Бернулли:


Типовой расчет


Тогда:


Типовой расчет

Типовой расчет


Тогда искомая вероятность события А, используя теорему умножения, равна:


Р(А) = Р(А1)ЧР(А2) = 0,227 · 0,3025 = 0,0687.


Ответ: 0,0687.

7. Из Типовой расчет ламп ni принадлежат i-й партии (i = 1, 2, 3) бракованные лампы в первой партии составляют 6%, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная.

Дано: n1 = 620, n2 = 190.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают одну лампу.

Пусть событие А - выбранная лампа – бракованная. Рассмотрим гипотезы:

Событие Н1 – выбранная лампа принадлежит 1-й партии,

Событие Н2 – выбранная лампа принадлежит 2-й партии,

Событие Н3 – выбранная лампа принадлежит 3-й партии.

Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:


Типовой расчет


Определяем вероятности гипотез Н1, Н2, Н3 с помощью классического определения вероятности:


Типовой расчет ,


Для события Н1 имеем: m1 = 620 (количество ламп в первой партии), n =1000 (общее количество ламп); тогда вероятность события Н1 равна:


Типовой расчет


Аналогично находим вероятности гипотез Н2 и Н3.

Для события Н2 имеем: m2 = 190, n =1000.


Типовой расчет


Для события Н3 имеем: m3 = 1000 - m1 – m2 = 1000 – 620 –190 = 190, n =1000.


Типовой расчет


Контроль:


Типовой расчет


Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2, Н3 соответственно наступили, то есть вероятности Типовой расчет,Типовой расчет и Типовой расчет, по формуле:


Типовой расчет


где: ki – число процентов бракованных ламп в i-й партии. Тогда


Типовой расчет

Типовой расчет

Типовой расчет


Подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:


Типовой расчет =

= 0,62 · 0,06 + 0,19 · 0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543.


Ответ: Р(А) = 0,0543.

8. В первой урне N1 белых и M1 чёрных шаров, во второй N2 белых и M2 чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.

Дано: N1 = 20, M1 = 1, N2 = 40, M2 = 7, К = 15.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из второй урны шар после перекладывания из первой урны во вторую 15 шаров.

Пусть событие А - выбранный шар – белый.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н1 – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 15 белых и ни одного чёрного;

Событие Н2 – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 14 белых и 1 чёрный; Так как события Н1, Н2 образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:


Типовой расчет


Определяем вероятности гипотез Н1, Н2 с помощью классического определения вероятности:


Типовой расчет ,


где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события Hi, n – общее число равновозможных исходов испытания.

В первой урне находится (N1 + M1) = 20+1 =21 шар, тогда общее число равновозможных исходов испытания равняется числу способов, которыми можно вынуть 15 шаров из 21, то есть


n = Типовой расчет


Находим вероятность гипотезы Н1. 15 белых шаров из 20 можно выбрать Типовой расчет способами, а 0 чёрных из 1 - Типовой расчет способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н1, используя теорему умножения, будет равно:


m = Типовой расчетЧТиповой расчет=Типовой расчет


Отсюда, вероятность события Н1 равна:


Типовой расчет


Аналогично находим вероятности гипотез Н2.

Для события Н2 имеем:


m2=Типовой расчетЧТиповой расчет=Типовой расчет


Отсюда, вероятность события Н2 равна:


Типовой расчет


Контроль:


Типовой расчет


Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1, Н2 соответственно наступили, то есть вероятности Типовой расчет, Типовой расчет с помощью классического определения вероятности:


Типовой расчет ,


где: mi – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Нi соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.

При наступлении события Н1 во второй урне станет (40+15)=55 белых и 7 чёрных шаров, всего в урне 62 шара, тогда для события A | Н1 имеем:

m1 = 55, a n = 62, отсюда


Типовой расчет


При наступлении события Н2 во второй урне станет (40+14)=54 белых и (7+1)=8 чёрных шаров, всего в урне 62 шаров, тогда для события A | Н2 имеем:


m2 = 54, a n = 62, отсюда

Типовой расчет


Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:


Типовой расчет

=0,2857Ч0,8871 + 0,7143Ч0,871 = 0,8756


Ответ: Р(А) = 0,8756.

9. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашенные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марки - чистые.

Дано: k = 7, l = 5, m = 2, n = 2.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из альбома после гашения 2 марки.

Пусть событие А - все 2 марки - чистые.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н1 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 2 чистые и ни одной гашеной марки;

Событие Н2 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 1 чистую и 1 гашеную марки;

Событие Н3 – из альбома извлекли и подвергли спецгашению ни одной чистой и 2 гашеные марки.

Так как события Н1, Н2, Н3 образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:


Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: