Теория вероятностей и математическая статистика

Размещено на /

Элементы комбинаторики

При решении вероятностных задач часто приходится в заданном множестве выбирать подмножества, обладающие определенными свойствами. Поскольку в таких задачах речь идет про те или иные комбинации объектов, то их называют комбинаторными задачами.

Множество наз. Упорядоченным, если в нем указан порядок следования элементов. Например

Основные правила комбинаторики

1.Правило суммы

Пусть из множества А элемент а1 можно выбрать n1 способами, элемент а1-n1 способами, а2-n2 способами,…, аk-nk спосбами. Тогда выбор одного из этих элементов или а1, или а2,…, или аk можно произвести n1+n2+…+nk способами.

2.Правило произведения

Пусть из множества А элемент а1 можно выбрать n1 способами, элемент а1-n1 способами, а2-n2 способами,…, аk-nk спосбами. Тогда одновременный выбор элементов а1,а2,…,аk можно выбрать n1*n2*…*nk способами.

Пример

Из 3-ех классов спорт. школы нужно составить команду для соревнований, взяв по одному ученику из класса. Сколько команд можно составить, если в одном классе 18 учеников, в другом-20, в третьем-22.

Решение:n1=18, n2-20, n3=22

n1*n2*n3=18*20*22=7820 способов.

Основные соединения комбинаторики.

1)Размещения

Пусть множество А состоит из n элементов. Будем выбирать из оттого множества упорядоченные множества, состоящие из k элементов. Такие подмножества будут называться размещениями из n элементов по k. Размещения отличаются друг от друга как элементами, так и порядком.

Например , из множества составим размещения по 2 элемента. ,,,,,

Число размещений из n элементов по k обозначают и вычисляют по формуле: ; (0!=1)

2)Перестановки из n элементов k

Перестановками из n элементов по k называют размещения, у которых n=k. Перестановки отличаются только порядком элементов. ; ; ; ;;

Число перестановок из n элементов по k (n=k):

3)Сочетания из n элементов по k

Пусть мн-во А состоит из n элементов. Из него будем выбирать неупорядоченные подмножества, содержащие k элементов, которые будут называться сочетаниями из n элементов k. Сочетания различаются между собой только элементами. : ,,

Число сочетаний из n элементов по k:

Примеры:

1)Студентам нужно сдать сдать 4-ре экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно составить расписание?

(2,3,7,8) Из множества, содержащего 8 элементов выбираем подмножества по 4 элемента, порядок которых нам не безразличен, следовательно число способов:

2)На 4-ех карточках написаны цифры 0,1,2,3. Сколько различных четырехзначных чисел чисел можно составить из этих карточек?

4!-3!=24-6=18

3)В хоккейном турнире участвует 6 команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. Сколько игр будет сыграно в турнире?

Т.к в выбираемых множествах по 2 элемента из 6, порядок безразличен, то кол-во игр=числу сочетаний из 6 по 2:

4)6 друзей собрались на встречу. Один из них произнес тост: собираться столько лет пока каждый не посидит на новом месте.

Испытания и события. Виды событий

В любой точной науке существуют основные понятия. Если в геометрии это: точка, прямая, плоскость, то в теории вероятности основными понятиями являются испытания, события, вероятность.

Испытание(опыт)-осуществление какого-либо комплекса условий.

Испытанием будет являться бросание игральной кости.

Событие(исход)-результат испытания.

События могут быть достоверными, невозможными, случайными.

Достоверное событие-событие, кот. обязательно произойдет в результате данного испытания. . Например, при бросании игральной кости выпало число от 1 до 6.

Невозможное событие-событие, кот. не может произойти в результате данного испытания. Например, , при бросании

игральной кости выпало 7 очков.

Случайное событие-событие, кот. может произойти, а может не произойти в результате данного испытания. А,В,С,… Например, выпало 6 очков при бросании кости.

Виды случайных событий

Случайные события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого. В противном случае - несовместние.

А - в аудиторию вошел мужчина, В - в аудиторию вошел человек старше 30 лет. А и В - совместные

Стрелок произвел выстрел по цели. А - попадание, В - промах; А и В - несовместные.

Случайное событие называется единственно возможным, если в результате испытания появление одного и только одного из них является достоверным событием. Бросают монету. А - герб, В - надпись.

Случайные события называются равновозможными, если в результате испытания нет оснований считать, что одно из них более возможно, чем другое.

Случайные события называются противоположными, если не появление одного из них влечет появление другого. А,

Совокупность всех единственно возможных событий данного испытания составляет полную группу событий

А1-1 очко

А2-2 очка

А3-3 очка

А4-4 очка Полная группа событий

А5-5 очков

А6-6 очков

Действия над событиями

1)Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в том,

что произошло или событие А, или событие В, или оба вместе, т.е.

произошло хотя бы одно событие. С=А+В “+”-или

Примеры:

1)Соб. А-турист посетил город А

Соб. В-турист посетил город В

Соб. С-турист посетил город С

А+В=С – турист посетил или г. А, или г.В, или оба вместе.

2)При бросании игральной кости:

А-выпало четное число очков

В-выпало число очков, кратное 3-ем

А+В-выпало число очков или четное, или кратное 3-ем

Геометрическая интерпретация суммы событий

Диаграмма Венна

Для совместных

событий

Для несовмест. соб.

Произвольным образом бросаем точку на плоскость. Если она попадет в область А, то произошло событие А, если в область В, то-событие В, если попадет в область с двухсторонней штриховкой, то события А и В произошли одновременно. Тогда сумме событий будет соответствовать область, отмеченная жирной линией. В случае несовместных событий сумме А+В будет соответствовать две непересекающиеся области. 2)Произведением событий А и В называется событие С, которое наступает с совместным наступлением А и В. А*В “ * ”-заменяет союз « И »

Для произведения соб.

Аналогично определяются сумма и произведение для нескольких событий.

Классическая формула вероятности. Свойства вероятности.

Вероятность является одним из основных понятий в теории вероятностей.

При употреблении этого слова мы интуитивно оцениваем возможность появления того или иного события. Можно сказать, что одно событие наступит чаще, чем другое.

В урне содержится 28 шаров, из них 2 белых, 13 красных, 13 черных. На удачу вынимаем 1 шар. Красный или черный шар можно вытянуть с большей возможностью, а белый – с меньшей. Из этого примера видно, что каждое событие обладает определенной степенью возможности , т.е. некоторой числовой оценкой.

Вероятностью события А называется численная мера объективной возможности его появления. Р=Р(А)

Классической схемой или схемой случаев называется испытание, при котором число исходов (событий) конечно и все из них равновозможные.

Исход испытания (события) называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет наступление события А.

Классической вероятностью события А называется отношение числа исходов М, благоприятствующих событию А , к общему числу всех исходов испытания N. Р(А)=M/N

Из определения следуют следующие свойства.

1)Вероятность достоверного события. Р()=1

2)Вероятность невозможного события. Р=0

3) Вероятность случайного события. 0<P(A)<1

4) Вероятность любого события .

5)Сумма вероятностей противоположных событий =1. Р(А)+Р(Д)=1

6)Сумма вероятностей полной группы событий=1.

Примеры:

1)Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными из городов А,В,С. Вероятность получения пакета из г. А 0,7, из В 0,2. Найти вероятность получения пакета из г. С

А-пакет получен из г. А

В-пакет получен из г. В Полная группа событий

С -пакет получен из г. С

Р(А)+Р(В)+Р(С)=1

0,7+0,2+Р(С)=1 ; Р(С)=0,1

2)Брошено 2 игральные кости. Найти вероятность того, что 6 очков появится хотя бы на одной грани.

Событие А – 6 очков появилось хотя бы на одной грани

Событие – появилось число очков не равное 6

Р(А)=1 - Р()

Р()=М/N

N=6*6=36

M=5*5=25

Р()=25/36

Р(А)=1 - Р()=1-25/36=11/36

3)На 5 карточках написаны буквы «а, д ,к, л, о». Карточки тщательно перемешивают, а затем выкладывают по одной на стол. Какова вероятность того, что получится слово «лодка»?

Событие А – получилось слово «лодка»

Р=M/N

Р(А)=1/120

5)Набирая номер телефона абонент забыл 3 последние цифры и помня, что они разные набрал, номер телефона. Какова вероятность того, что номер набран верно?

Р(А)=М/N

М=1

Р(А)=1/720

6)В ящике имеется 10 деталей, среди них 7 стандартных. На удачу берем 6.

Какова вероятность того, что среди 6 деталей окажется ровно 4 стандартных?

Соб. А – среди 6 выбранных деталей 4 стандартные.

Р(А)=M/N

7)В ящике лежит 10 заклепок, изготовленных из разного материала: 5 железных, 3 латунных, 2 медных. Наудачу берем 2 заклепки. Какова вероятность того, что они окажутся сделанными из одного материала?

Соб. А – вытащенные заклепки из одного материала.

Р(А)=M/N

Статистическая и геометрическая вероятность

1) Статистическая вероятность.

Классическая формула вероятности дает непосредственно вычислять вероятность, но она предполагает выполнение некоторых условий. Она относится к событиям, обладающих симметрией и образующих полную группу событий. Многие группы событий не подходят под классическую схему, но каждое событие такой группы обладает некоторой возможностью наступления. Например, если игральная кость изготовлена из неоднородного материала, то вероятность появления некоторого числа очков не равна 1/6.

Иногда не удается выделить полную группу событий. Известно много случаев, когда результаты являются непредсказуемыми, хотя изначально все исходы были учтены. В подобных случаях находят относительную частоту события А

; n-число произведенных опытов

m-число опытов, в результате которых произошло событие А.

Оказывается, что при относительная частота неограниченно близко приближается к определенному постоянному числу. Это число и будет называться статистической вероятностью.

Результаты опытов при бросании монеты.

n – число испытаний

m – число, соответствующее выпадению герба

2) Геометрическая вероятность

N=D ; M=d

Найти вероятность того, что точка, брошенная в треугольник попадет в круг.

Вероятность появления хотя бы одного события.

Задачу из пункта Вероятность суммы событий (Вероятность попадания в цель при стрельбе из

трех орудий: Р1=0,8; Р2=0,7; Р3=0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена.)

Можно решить намного быстрее, если применить теорему о вероятности хотя бы одного события. Пусть в результате опыта может появиться n независимых в совокупности событий,вероятности которых известны.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий А1, А2, …,Аn равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е. 1, 2,…, n.

Р(хотя бы одного события)=1-q1*q2*…*qn

Если

р1=р2=…рn, то Р(хотя бы одн. соб.)=

Вопрос №33.

Вероятность произведения событий.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от появления или не появления другого. В противном случае события называются независимыми.

Произведем 2 испытания.

7 белых 1) Событие А – появился

3 черных белый шар. Р(А)=0,7

шаров Событие В – появился

черный шар. Р(В)=1/3

А и В – зависимые

Р(В) – условная вероятность

2)А-появился белый шар.Р(А)=0,7 (с возвратом)

В – появился черный шар. Р(В)=0,3

В данном случае

События А1, А2,…, Аn называются независимыми в совокупности, если каждое из них не зависит от произведения остальных событий и от каждого в отдельности.

Из попарной независимости не следует независимость в совокупности.

Если событие А1, А2,…, Аn – независимы, то 1, 2,…, n – независимы.

Теорема

Вероятность совместного появления двух зависимых событий = произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

В урне 7 белых, 3 черных шара. На удачу один за другим выбираем по одному шару без возврата. Найти вероятность того, что первый шар оказался белым, а второй черным.

Теорема

Вероятность совместного появления двух независимых событий = произведению вероятностей этих событий.

Вероятность появления только одного события

Пусть даны три независимых события А1, А2, А3; р1, р2, р3 – их вероятности. Найдем вероятность появления только одного из них.

B1=(только А1)=А1* 2* 3

B2=(только А2)= 1* А2*