Xreferat.com » Рефераты по математике » Произведения конечных групп, близких к нильпотентным

Произведения конечных групп, близких к нильпотентным

Введение


Изучение групп, представимых в произведение своих подгрупп является классической задачей алгебры.

Изучение факторизуемых групп началось с изучения групп, разложимых в прямое произведение некоторого множества своих истинных подгрупп, т.е. при условиях, когда факторизующие подгруппы инвариантны в факторизуемой группе и пересечение любой из них с произведением остальных равно единице. Еще в XIX веке было установлено, что любая конечная абелева группа разложима в произведение некоторого множества циклических подгрупп (Фробениус и Штикельбергер [1]). В связи с этой теоремой в теорию групп пришел вопрос о конечных неабелевых группах, факторизуемых некоторым множеством своих попарно перестановочных циклических подгрупп. При этом не предлагается ни нормальность факторизующих множителей, ни единичность пересечения каждого из них с произведением остальных. Был установлен ряд свойств конечных групп, имеющих факторизацию такого рода, в частности их сверхразрешимость (теорема Хупперта [2]).

Как известно, конечная нильпотентная группа – это прямое произведение Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-подгрупп по разным простым Произведения конечных групп, близких к нильпотентным В связи с этим возник вопрос характеризации конечных групп, разложимых в произведение попарно перестановочных Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-подгрупп по разным простым Произведения конечных групп, близких к нильпотентным

Случай, когда группа является произведением своих двух силовских подгрупп, т.е. бипримарной, был рассмотрен еще Берсайдом, который установил их разрешимость. В 1938 году Ф. Холл[28] доказал свою знаменитую теорему о том, что конечная группа тогда и только тогда разложима в произведение попарно перестановочных Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-подгрупп по разным простым Произведения конечных групп, близких к нильпотентным, когда она разрешима.

В связи с этими результатами возник вопрос о строении конечных групп, представимых в произведение своих нильпотентных подгрупп. Ответ на этот вопрос был получен Виландтом[4] и Кегелем[19], которые установили разрешимость таких групп.

Класс конечных групп, представимых в произведение своих двух некоторых нильпотентных подгрупп (кратко, динильпотентных групп) достаточно сложен. Он включает в себя сверхразрешимые группы, бипримарные, метанильпотентные и т.д. и этими примерами он далеко не исчерпывается.

Даже для таких групп связь группы со свойствами подгрупп-множителей достаточно сложная и исследование ее становится весьма непростой задачей.

В последние пятнадцать лет эта связь изучалась в работах многих авторов. Получено немало интересных глубоких результатов и разработаны методы исследования. Естественно, что это направление далеко не исчерпало себя и имеет широкие перспективы.

Настоящая дипломная работа посвящена изучению некоторых свойств конечных разрешимых групп, представимых в виде произведения своих двух Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимых подгрупп. В дальнейшем, для краткости, группы с таким свойством буем называть ди-Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимые. Рассматриваются только конечные разрешимые группы.

Работа состоит из перечня условных обозначений, реферата, введения, основной части, включающей три раздела, заключения и списка цитируемой литературы.

Первый раздел носит справочный характер. Здесь приведены обозначения, определения и некоторые известные результаты, существенно используемые в работе.

Второй раздел посвящен изложению некоторых результатов о строении групп ди-Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимых групп. Здесь собраны из различных источников и систематизированы основные результаты о ди-Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимых группах и получен один новый результат.

Напомним следующее определение:

2.2.1 О п р е д е л е н и е. Пусть Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – непустая формация. Подгруппа Произведения конечных групп, близких к нильпотентным группы Произведения конечных групп, близких к нильпотентным называется:

1) Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-субнормальной в Произведения конечных групп, близких к нильпотентным, если либо Произведения конечных групп, близких к нильпотентным, либо существует максимальная цепь подгрупп Произведения конечных групп, близких к нильпотентным такая, что Произведения конечных групп, близких к нильпотентным для всех Произведения конечных групп, близких к нильпотентным (обозначается Произведения конечных групп, близких к нильпотентным);

2) Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-достижимой в Произведения конечных групп, близких к нильпотентным, если существует цепь подгрупп Произведения конечных групп, близких к нильпотентным такая, что либо подгруппа Произведения конечных групп, близких к нильпотентным субнормальна в Произведения конечных групп, близких к нильпотентным, либо Произведения конечных групп, близких к нильпотентным для любого Произведения конечных групп, близких к нильпотентным (oбозначается Произведения конечных групп, близких к нильпотентным).

2.2.6 Т е о р е м а. Пусть Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – наслественная насыщенная формация, причем Произведения конечных групп, близких к нильпотентным и Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – ди-Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разожимая группа. Тога справиливы следующие утверждения:

1) если Произведения конечных групп, близких к нильпотентным Произведения конечных групп, близких к нильпотентным и Произведения конечных групп, близких к нильпотентным то Произведения конечных групп, близких к нильпотентным

2) если Произведения конечных групп, близких к нильпотентным Произведения конечных групп, близких к нильпотентным и Произведения конечных групп, близких к нильпотентным то Произведения конечных групп, близких к нильпотентным

Основные результаты и выводы работы сосредоточены в третьем разделе, в котором изучаются свойства подгрупп ди-Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимых групп.

В 1958 году Виландт [4] ввел следующее понятие. Подгруппа Произведения конечных групп, близких к нильпотентным группы Произведения конечных групп, близких к нильпотентным называется факторизуемой относительно Произведения конечных групп, близких к нильпотентным если Произведения конечных групп, близких к нильпотентным и Произведения конечных групп, близких к нильпотентным Хайнекен Н. [4] в 1990 году исследовал факторизуемые Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-проекторы в динильпотентных конечных группах для случая, когда Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – насыщенная формация. Группа Произведения конечных групп, близких к нильпотентным называется динильпотентной, если Произведения конечных групп, близких к нильпотентным, где Произведения конечных групп, близких к нильпотентным и Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – нильпотентные подгруппы группы Произведения конечных групп, близких к нильпотентным Подробнее в 1994 году Амберг В. и Хёфлинг В. [3] распространили основной результат Хайнекена на классы Шунка.

В третьем разделе нами исследуются факторизуемые проекторы в ди-Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-нильпотентных группах. В классе всех конечных разрешимых групп получены следующие результаты.

3.2.1 Т е о р е м а. Пусть Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – некоторое множество простых чисел, Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – класс Шунка и Произведения конечных групп, близких к нильпотентным. Если Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – ди-Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимая группа, причем Произведения конечных групп, близких к нильпотентным, то в Произведения конечных групп, близких к нильпотентным имеется хотя бы один факторизуемый относительно Произведения конечных групп, близких к нильпотентным Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-проектор.

Так как всякая насыщенная формация является классом Шунка, то справедливо следующее:

3.2.2 С л е д с т в и е. Пусть Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – насыщенная формация, причем Произведения конечных групп, близких к нильпотентным Если Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – ди-Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимая группа, причем Произведения конечных групп, близких к нильпотентным, то в Произведения конечных групп, близких к нильпотентным имеется хотя бы один факторизуемый относительно Произведения конечных групп, близких к нильпотентным Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-проектор.

Следуя [], подгруппу Произведения конечных групп, близких к нильпотентным группы Произведения конечных групп, близких к нильпотентным назовем Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-картеровой подгруппой, если Произведения конечных групп, близких к нильпотентным Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-нильпотентна, Произведения конечных групп, близких к нильпотентным и Произведения конечных групп, близких к нильпотентным содержит некоторую Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-холловскую подгруппу группы Произведения конечных групп, близких к нильпотентным.

3.2.4 С л е д с т в и е. Пусть Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – ди-Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимая группа. Тогда в Произведения конечных групп, близких к нильпотентным имеется хотя бы одна факторизуемая относительно Произведения конечных групп, близких к нильпотентным Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-картерова подгруппа.

Следуя, [] подгруппу Произведения конечных групп, близких к нильпотентным группы Произведения конечных групп, близких к нильпотентным назовем Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-гашюцевой подгруппой, если Произведения конечных групп, близких к нильпотентным Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-сверхразрешима, содержит некоторую Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-холловскую подгруппу группы Произведения конечных групп, близких к нильпотентным и для Произведения конечных групп, близких к нильпотентным индекс Произведения конечных групп, близких к нильпотентным есть составное число.

3.2.6 С л е д с т в и е. Пусть Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – ди-Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимая группа. Тогда в Произведения конечных групп, близких к нильпотентным имеется хотя бы одна факторизуемая относительно Произведения конечных групп, близких к нильпотентным Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-гашюцева подгруппа.

Цель дипломной работы – изучение основных свойств конечных разрешимых произведений Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимых групп и их факторизуемых подгрупп. В работе решены следующие задачи: – изучены свойства примитивных конечных разрешимых произведений Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимых групп; – найдены условия факторизуемости Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-проекторов конечных разрешимых произведений Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимых групп для случая, когда Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – класс Шунка конечных разрешимых групп; – найдены приложения полученных результатов для классических формаций.

Объектом исследования являются конечные разрешимые произведения Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимых групп и их подгрупп. Предметом исследования – свойства конечных разрешимых произведений Произведения конечных групп, близких к нильпотентным-разложимых групп и их подгрупп.

Методология и методы исследования. В дипломной работе используются методы доказательств абстрактной теории конечных групп, а также методы теории классов конечных групп.

Новизна полученных результатов: Результаты первых двух разделов носят в основном реферативный характер. Теорема 2.2.6 является новой. Параграф 3.1 раздела 3 взят из работы Васильевой Т.И. [36]. Параграф 3.2 содержит новые результаты.

Практическое применение и экономическая значимость работы: Результаты дипломной работы могут быть использованы в научно-исследовательской работе студентов, аспирантов, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов на математических специальностях в высших учебных заведениях.


Необходимые сведения


Перечень определений и условных обозначений

Рассматриваются только конечные группы. Ниже мы приводим известные определения и понятия, которые существенно используются в работе.

Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – простое число;

Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – группа;

Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – класс групп;

Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – некоторое множество простых чисел;

Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – дополнение к Произведения конечных групп, близких к нильпотентным во множестве всех простых чисел;

Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – множество всех различных простых делителей порядка группы G;

Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – множество всех различных простых делителей порядков групп, которые принадлежат Произведения конечных групп, близких к нильпотентным;

Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – формация;

Произведения конечных групп, близких к нильпотентным – класс всех нильпотентных групп;

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: