Xreferat.com » Рефераты по математике » Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин

Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин

Введение


Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Датой рождение метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «Метод Монте-Карло» (Н. Метрополис, С. Улам). Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В нашей стране первые статьи были опубликованы в 1955–56 гг. (В.В. Чавчанидзе, Ю.А. Шрейдер, В.С. Владимиров)

Однако теоретическая основа метода была известна давно. Кроме того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т.е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, так как моделировать случайные величины вручную – очень трудоёмкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом, а одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является рулетка.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на широкий круг задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. К разделам науки, где всё в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественность получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

В подавляющем большинстве задач, решаемых методами Монте-Карло, вычисляют математические ожидания некоторых случайных величин. Так как чаще всего математические ожидания представляют собой обычные интегралы, в том числе и кратные, то центральное положение в теории методов Монте-Карло занимают методы вычисления интегралов.


1. Теоретическая часть


1.1 Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин


Предположим, что нам необходимо вычислить площадь плоской фигуры Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. Это может быть произвольная фигура, заданная графически или аналитически (связная или состоящая из нескольких частей). Пусть это будет фигура, заданная на рис. 1.1.


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин

Рис. 1.1


Предположим, что эта фигура расположена внутри единичного квадрата.

Выберем внутри квадрата Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин случайных точек. Обозначим через Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величинчисло точек, попавших внутрь фигуры Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. Геометрически видно, что площадь фигуры Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин приближенно равна отношению Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. Причем, чем больше число Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, тем больше точность этой оценки.

Для того чтобы выбирать точки случайно, необходимо перейти к понятию случайная величина. Случайная величина Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величиннепрерывная, если она может принимать любое значение из некоторого интервала Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин.

Непрерывная случайная величина Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин определяется заданием интервала Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, содержащего возможные значения этой величины, и функции Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, которая называется плотностью вероятностей случайной величины Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин(плотностью распределения Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин). Физический смысл Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин следующий: пусть Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин- произвольный интервал, такой что Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, тогда вероятность того, что Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин окажется в интервале Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, равна интегралу


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин (1.1)


Множество значений Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величинможет быть любым интервалом (возможен случай Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин). Однако плотность Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин должна удовлетворять двум условиям:

плотность Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величинположительна:


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин; (1.2)


интеграл от плотности Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин по всему интервалу Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин равен 1:


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин (1.3)


Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин (1.4)


Дисперсией непрерывной случайной величины называется число:

Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин


Нормальной случайной величиной называется случайная величина Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, определённая на всей оси Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин и имеющая плотность


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин (1.5)


где Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин- числовые параметры

Любые вероятности вида Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин легко вычисляются с помощью таблицы, в которой приведены значения функции


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, называемой обычно интегралом вероятностей.


Согласно (1.1)


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин


В интеграле сделаем замену переменной Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, тогда получим


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин,


где Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин Отсюда следует, что Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин Также Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин

Нормальные случайные величины очень часто встречаются при исследовании самых различных по своей природе вопросов.

Выбрав Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, найдём Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. Следовательно,


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин (1.6)


Вероятность Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин настолько близка к 1, что иногда последнюю формулу интерпретируют так: при одном испытании практически невозможно получить значение Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, отличающееся от Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величинбольше чем на Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин.

Проводя большое количество опытов, и получая большое количество случайных величин можно воспользоваться центральной предельной теоремой теории вероятностей. Эта теорема впервые была сформулирована П. Лапласом. Обобщением этой теоремы занимались многие выдающиеся математики, в том числе П.Л. Чебышёв, А.А. Марков, А.М. Ляпунов. Её доказательство достаточно сложно.

Рассмотрим Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин одинаковых независимых случайных величин Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, так что распределения вероятностей этих величин совпадают. Следовательно, их математические ожидания и дисперсии также совпадают. Величины эти могут быть как непрерывными, так и дискретными.

Обозначим


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин


Сумму всех этих величин обозначим через Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин


Используя соотношения


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин


получаем

Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин


Рассмотрим теперь нормальную случайную величину Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин с такими же параметрами: Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин.

В центральной предельной теореме утверждается, что для любого интервала Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин при больших Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин


Смысл этой теоремы в том, что сумма Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин большого числа одинаковых случайных величин приближенно нормальна. На самом деле эта теорема справедлива при гораздо более широких условиях: все слагаемые не обязаны быть одинаковыми и независимыми; существенно только, чтобы отдельные слагаемые не играли большой роли в сумме. Эта теорема оправдывает часто встречающиеся нормальные случайные величины. В самом деле, когда встречается суммарное воздействие большого числа незначительных случайных факторов, результирующая случайная величина оказывается нормальной.

Используя эти данные из теории вероятностей можно перейти к описанию общей схемы метода Монте-Карло. Допустим, что требуется вычислить какую-то неизвестную величину Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. Попытаемся придумать такую случайную величину Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, чтобы Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. Пусть при этом Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин.

Рассмотрим Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин независимых случайных величин Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин распределения которых совпадают с распределением Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. Если Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин достаточно велико, то, согласно центральной предельной теореме, распределение суммы Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин будет приблизительно нормальным с параметрами Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. Из (1.6) следует, что Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин.

Последнее соотношение перепишем в виде:


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин (1.7)


Это соотношение даёт и метод расчёта Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, и оценку погрешности.

В самом деле, найдём Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин значений случайной величины Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. Из (1.7) видно, что среднеарифметическое этих значений будет приближенно равно Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. С большой вероятностью погрешность приближения не превосходит величины Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. Эта погрешность стремится к нулю с ростом Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. На практике часто используют не оценку сверху Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, а на вероятную ошибку, которая приближенно равна Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин Именно такой обычно порядок фактической погрешности расчёта, которая равна


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин.


Для получения случайных чисел используют обычно три способа: таблицы случайных величин, генераторы случайных чисел и метод псевдослучайных чисел.

Таблицы случайных чисел используют предпочтительно при расчётах вручную. Определяющую роль в этом играют два факта: 1) при использовании ЭВМ легче и удобней воспользоваться генератором случайных чисел, получаемых тут же, чем загружать из памяти значения таблицы, которая к тому же, будет занимать там место. 2) При подсчёте вручную нет необходимости использовать ЭВМ, так как часто необходимо выяснить лишь порядок искомой величины.

Генераторы случайных чисел анализируют какой-либо процесс, доступный для них (шумы в электронных лампах, скачки напряжения) и составляют последовательность из 0 и 1, из которых составляются числа с определёнными разрядами, однако такой метод получения случайных величин имеет свои недостатки. Во-первых, трудно проверить вырабатываемые числа. Проверки приходится делать периодически, так как из-за каких-либо неисправностей может возникнуть так называемый дрейф распределения (нули и единицы в каком-либо из разрядов станут появляться не одинаково часто). Во-вторых, обычно все расчёты на ЭВМ проводятся несколько раз, чтобы исключить возможность сбоя. Но воспроизвести те же самые случайные числа невозможно, если их только не запоминать по ходу счёта. А если запоминать, то снова появляется случай таблиц.

Таким образом, самым эффективным способом получения случайных чисел – это использование псевдослучайных чисел.

Числа, получаемые по какой-либо формуле и имитирующие значения случайной величины Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, называются псевдослучайными числами.

Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел был предложен Дж. Нейманом. Он называется методом середины квадратов.

Пусть задано 4-значное число Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. Возведём его квадрат. Получим 8-значное число Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин. Выберем 4 средние цифры этого числа и положим Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин.Далее Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величини т.д.

Но этот алгоритм не оправдал себя, так как получается слишком много малых значений. Поэтому были разработаны другие алгоритмы. Наибольшее распространение получил алгоритм, называемый методом сравнений (Д. Лемер): определяется последовательность целых чисел Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, в которой начальное число Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин задано, а все последующие числа Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин вычисляются по одной и той же формуле


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин при Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин (1.8)


По числам Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин вычисляются псевдослучайные числа


Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин (1.9)


Формула (1.8) означает, что число Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин равно остатку, полученному при делении Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин на Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин, такой остаток называют наименьшим положительным вычетом по модулю Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин Формулы (1.8), (1.9) легко реализовать на ЭВМ.

Достоинства метода псевдослучайных чисел довольно очевидны. Во-первых, на получение каждого числа затрачивается всего несколько простых операций, так что скорость генерирования случайных чисел имеет тот же порядок, что и скорость работы ЭВМ. Во-вторых, программа занимает не так много места в памяти. В-третьих, любое из чисел Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величинможет быть легко воспроизведено. В-четвёртых, необходимо лишь один раз проверить «качество» такой последовательности, затем её можно много раз безбоязненно использовать при расчёте однотипных задач.

Единственный недостаток метода – ограниченность количества псевдослучайных чисел, так как если последовательность чисел Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин вычисляется на ЭВМ по формуле вида


Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: