Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента

Реферат по математическому анализу выполнил:  студент  МГТУ им. Баумана группа Э2 –11 Тимофеев Дмитрий

Москва 2004.

Введение

Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функции скалярного аргумента.

Определение 1.  Если каждому значению независимого переменного tÎTÍR , называемого далее скалярным аргументом, поставить  в соответствие единственный вектор r(t), то r(t) называют вектор-функцией скалярного аргумента.  Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называют радиус-векторм.

Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k. Тогда представление

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

является разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t), y(t), z(t) – действительные  функции одного действительного переменного t с общей областью определения TÍR , называемые координатными функциями вектор-функции r(t).

Понятие кривой

Введём теперь термин «кривой». Его строге определение связано с понятием вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a, b] . Пусть в трёхмерном пространстве R3 задана  прямоугольная декартова система координат Oxyz с  ртонормированным базисом {i,  j, k}.

Определение 2. Множество ГÌR3 точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, tÎ[a, b]  соответствующим непрерывной на отрезке [a, b]  вектор-функции r(t) называют непрерывной кривой, или просто кривой, а аргумент t - параметром кривой.

При фиксированном значении t = t0 Î [a, b]  параметра значения x(t0), y(t0), z(t0)  являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представление

Г = {r Î R3 : r = r(t), tÎ[a, b] },

Г = {(x; y; z) Î R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), tÎ[a, b] }

Заданную таким образом кривую называют годографом вектор-функции r(t), поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве конец вектора  при изменении параметра t.

Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну из координат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать

Г = {(x; y; z) Î R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t),  tÎ[c, d] }.

Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения параметра t. Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной и конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r(a) и r(b) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при tÎ(a, b)  называют простым замкнутым контуром.

Определение 3.  Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.

Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy, то координатное представление плоской кривой Г имеет вид:

Г = {(x; y; z) Î R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t),  tÎ[a, b] }.

причём равенство z=0 обычно опускают и пишут

Г = {(x; y) Î R2 : x = x(t), y = y(t), tÎ[a, b] }.

График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой с координатным представлением Г = {(x; y) Î R2 : x = x, y = f(x), xÎ[c, d] }.

В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . Плоская кривая является годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j  или  r(x) = xi + f(x)j   соответсвенно.

Кривизна плоской кривой.

Длина дуги иеё производная.

В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгое определение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данном пункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал.

Пусть дуга кривой M0M  (рис. 1) есть график функции  y=f(x), определённой на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.

 Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, … , Mi-1, Mi…, Mn-1,  M.

Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этой ломаной линии через Pn.

Длиной дуги M0M  называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной Mi-1 Mi , если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M .

Найдём выражение дифференциала дуги.

Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M0(x0, y0)- некотрая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину дуги M0M (рис.3).  При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция x. Найдём производную s по x.

Дадим x приращение Dx. Тогда дуга  s  получит приращение Ds = дл. ÈMM1. Пусть  - хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти  ,  поступим  следующим  образом:                                                         

 Из  DMM1Q  находим = (Dx)2 +(Dy)2.       Умножим и разделим левую часть наDs2:

Разделим все члены равенства на Dx2:

Найдём предел левой и правой частей при Dx®0. Учитывая, что  и ,  получим    

Для дифференциала дуги получим следующее выражение:

  или  

Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически:

и выражение принимает вид: .

Кривизна

Первая производная функции  даёт нам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.

Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначим через  a  угол, образованный этими касательными, или – точнее - угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис. 5,4).

рис. 4                      рис. 5

Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.

Определение 4.  Средней кривизной Кср дуги ÈАВ называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги:

Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 6)   средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги А1В1 , хотя длины этих дуг равны между собой.

 Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введём понятие кривизны в данной точке.

Определение5.  Кривизной Ка линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:

Вычисление кривизны

Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M(x, y).  При этом  будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида  y=f(x)  и что функция имеет непрерывную вторую производную.

Проведём касательные к кривой в точках  M и M1 с абсциссами   x  и  x+Dx и  обозначим через  j и j+Dj  углы наклона этих касательных (рис.7).

Длину дуги ÈM0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0, обозначим через s; тогда Ds = ÈM0M1 -  ÈM0M, а½Ds½ = ÈMM1.   Как видно из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге  ÈMM1   равен абсолютной величине  разности углов  j   и  j+Dj, то есть равен ½Dj½.

Согласно определению средней кривизны кривой на участке  ÈMM1  имеем .

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги ÈMM1 стремится к нулю:

Так как величины j и s зависят от x, то, следовательно, j  можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда

Для вычисления  воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически:    .

Чтобы выразить производную   через функцию  y=f(x),  заметим,  что   и, следовательно  .

Дифференцируя по x последнее равенство,  получаем        .

И так как             , то

,  и окончательно, так как , получаем

.

Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.

Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.

Пусть кривая задана параметрически: x=j(t),  y=y(t).  Тогда

Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем

.

Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

Пусть кривая задана уравнением вида r = f(q). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = r cos q, y = r sin q .

Если в эти формулы подставить вместо r его выражение через q, то есть f(q), то получим

x = f(q) cos q, y = f(q) sin q

Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является q.

Тогда,       

 ,         

Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах:

Радиус и круг кривизны

Определение 7.   Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке:  R = 1/K,   или 

Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М.

Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.

Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.

Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты  a  и b   центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:

Так как точка C(a, b) лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению    .

Далее, точка  C(a, b)  находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:

Решив совместно уравнения * определим a, b:

и так как   ,   то

Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0  и y!!<0. Если y!!>0 , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, b>y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае ½y!!½= y!!, формулы координат центра запишем в следующем виде: