Xreferat.com » Рефераты по математике » Потрійний інтеграл

Потрійний інтеграл

Размещено на /


ПОТРІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ


1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості


Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла.

Нехай функція Потрійний інтеграл визначена в обмеженій замкненій області Потрійний інтеграл. Розіб'ємо область Потрійний інтеграл сіткою поверхонь на Потрійний інтеграл частин Потрійний інтеграл, які не мають спільних внутрішніх точок і об'єми яких дорівнюють Потрійний інтеграл. У кожній частині Потрійний інтеграл візьмемо довільну точку Потрійний інтеграл і утворимо суму


Потрійний інтеграл,(1)


яка називається інтегральною сумою для функції Потрійний інтеграл за областю Потрійний інтеграл. Нехай Потрійний інтеграл – найбільший з діаметрів областей Потрійний інтеграл.

Якщо інтегральна сума (1) при Потрійний інтеграл має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області Потрійний інтеграл на частини Потрійний інтеграл, ні від вибору в них точок Потрійний інтеграл, то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним із таких символів:


Потрійний інтеграл або Потрійний інтеграл.


Таким чином, за означенням


Потрійний інтеграл,(2)

де Потрійний інтеграл – функція, інтегровна в області Потрійний інтеграл; Потрійний інтеграл – область інтегрування; Потрійний інтеграл і Потрійний інтеграл– змінні інтегрування; Потрійний інтеграл (або Потрійний інтеграл) – елемент об'єму.

Якщо по тілу Потрійний інтеграл розподілено масу з об'ємною густиною Потрійний інтеграл в точці Потрійний інтеграл, то маса Потрійний інтеграл цього тіла знаходиться за формулою


Потрійний інтеграл. (3)


Формула (3) аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійного інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області Потрійний інтеграл. Якщо всюди в області покласти Потрійний інтеграл, то з формули (2) випливає формула для обчислення об'єму Потрійний інтеграл тіла Потрійний інтеграл:


Потрійний інтеграл.(4)


Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.

Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція Потрійний інтеграл неперервна в обмеженій замкненій області Потрійний інтеграл, то вона в цій області інтегрована.

Властивості потрійних інтегралів.

1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:


Потрійний інтеграл.

Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків:


Потрійний інтеграл.


3. Якщо в області інтегрування Потрійний інтеграл, то


Потрійний інтеграл.


4. Якщо функції Потрійний інтеграл та Потрійний інтеграл визначені в одній і тій самій області Потрійний інтеграл і Потрійний інтеграл, то


Потрійний інтеграл.


5. (Адитивність потрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування Потрійний інтеграл функції Потрійний інтеграл розбити на частини Потрійний інтеграл і Потрійний інтеграл, які не мають спільних внутрішніх точок, то


Потрійний інтеграл.


6. (Оцінка потрійного інтеграла.) Якщо функція Потрійний інтеграл неперервна в обмеженій замкненій області Потрійний інтеграл, яка має об'єм Потрійний інтеграл, то


Потрійний інтеграл,

де Потрійний інтеграл і Потрійний інтеграл відповідно найменше і найбільше значення функції Потрійний інтеграл в області Потрійний інтеграл.

7. (Середнє значення функції.) Якщо функція Потрійний інтеграл неперервна в обмеженій замкненій області Потрійний інтеграл, яка має об'єм Потрійний інтеграл, то в цій області існує така точка Потрійний інтеграл, що


Потрійний інтеграл.


Величина


Потрійний інтеграл


називається середнім значенням функції Потрійний інтеграл в області Потрійний інтеграл.


2. Обчислення потрійного інтеграла


Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній окремо.

Нехай область Потрійний інтеграл обмежена знизу і зверху поверхнями Потрійний інтеграл і Потрійний інтеграл, а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі Потрійний інтеграл. Позначимо проекцію області Потрійний інтеграл на площину Потрійний інтеграл через Потрійний інтеграл (рис. 1) і вважатимемо, що функції Потрійний інтеграл і Потрійний інтеграл неперервні в Потрійний інтеграл.


Потрійний інтеграл

Рисунок 1 – Область Потрійний інтеграл


Якщо при цьому область Потрійний інтеграл є правильною, то область Потрійний інтеграл називається правильною у напрямі осі Потрійний інтеграл. Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку Потрійний інтеграл паралельно осі Потрійний інтеграл, перетинає межу області Потрійний інтеграл у точках Потрійний інтеграл і Потрійний інтеграл. Точку Потрійний інтеграл назвемо точкою входу в область Потрійний інтегралПотрійний інтеграл, а точку Потрійний інтеграл – точкою виходу з області Потрійний інтеграл, а їхні аплікати позначимо відповідно через Потрійний інтеграл і Потрійний інтеграл. Тоді Потрійний інтеграл, Потрійний інтеграл і для будь-якої неперервної в області Потрійний інтеграл функції Потрійний інтеграл має місце формула


Потрійний інтеграл.(5)


Зміст формули (5) такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл Потрійний інтеграл за змінною Потрійний інтеграл, вважаючи Потрійний інтеграл та Потрійний інтеграл сталими. Нижньою межею цього інтеграла є апліката точки Потрійний інтеграл входу Потрійний інтеграл, а верхньою – апліката Потрійний інтегралточки виходу Потрійний інтеграл. Внаслідок інтегрування отримаємо функцію Потрійний інтеграл від змінних Потрійний інтеграл та Потрійний інтеграл.

Якщо область Потрійний інтеграл, наприклад, обмежена кривими Потрійний інтеграл і Потрійний інтеграл Потрійний інтеграл, де Потрійний інтеграл і Потрійний інтеграл – неперервні функції, тобто

Потрійний інтеграл, то, переходячи від подвійного інтеграла Потрійний інтеграл до повторного (п. 1.3), отримаємо формулу


Потрійний інтеграл,(6)


яка зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні Потрійний інтеграл і Потрійний інтеграл у правій частині формули (6) за певних умов можна міняти місцями.

Якщо, наприклад, область Потрійний інтеграл правильна в напрямі осі Потрійний інтеграл:


Потрійний інтеграл,


де Потрійний інтеграл – неперервні функції, то


Потрійний інтеграл.


Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед:


Потрійний інтеграл,


то

Потрійний інтеграл. (7)


У цьому разі інтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область Потрійний інтеграл правильна у напрямі всіх трьох координатних осей Потрійний інтеграл.


3. Заміна змінних в потрійному інтегралі


Заміну змінної в потрійному інтегралі виконують за таким правилом: якщо обмежена замкнена область Потрійний інтеграл взаємно однозначно відображується на область Потрійний інтеграл за допомогою неперервно диференційовних функцій Потрійний інтеграл, Потрійний інтеграл, Потрійний інтеграл, якобіан Потрійний інтеграл в області Потрійний інтеграл не дорівнює нулю:


Потрійний інтеграл


і Потрійний інтеграл – неперервна в Потрійний інтеграл, то справедлива формула


Потрійний інтеграл. (8)


На практиці найуживанішими є циліндричні та сферичні координати. При переході від прямокутних координат Потрійний інтеграл до циліндричних Потрійний інтеграл (рис.4, а), пов'язаних з Потрійний інтегралспіввідношеннями

Потрійний інтеграл;

Потрійний інтеграл,


якобіан перетворення


Потрійний інтеграл.


З формули (8) отримуємо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:


Потрійний інтеграл.(9)


Назва «циліндричні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня Потрійний інтеграл є циліндром, прямолінійні твірні якого паралельні осі Потрійний інтеграл.

При переході від прямокутних координат Потрійний інтеграл до сферичних Потрійний інтеграл

(рис. 4, б), які пов'язані з Потрійний інтеграл формулами


Потрійний інтеграл

Рисунок 4 – Координати: а) циліндричні; б) сферичні

Потрійний інтеграл;

Потрійний інтеграл,


якобіан перетворення


Потрійний інтеграл.


З формули (8) знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:


Потрійний інтеграл. (10)


Назва «сферичні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня Потрійний інтеграл є сферою. При обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних координатах область Потрійний інтеграл, як правило, не будують, а межі інтегрування знаходять безпосередньо за областю Потрійний інтеграл, користуючись геометричним змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь Потрійний інтеграл та Потрійний інтеграл, які обмежують область Потрійний інтеграл, записують у нових координатах.

Зокрема, якщо область Потрійний інтеграл обмежена циліндричною поверхнею Потрійний інтеграл та площинами Потрійний інтеграл, то всі межі інтегрування в циліндричній системі координат сталі:


Потрійний інтеграл


і не змінюються при зміні порядку інтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у випадку, коли Потрійний інтеграл – куля: Потрійний інтеграл або кульове кільце. Наприклад, якщо Потрійний інтеграл – кульове кільце з внутрішньою сферою Потрійний інтеграл, то рівняння цієї сфери в сферичних координатах має вигляд


Потрійний інтеграл


або


Потрійний інтеграл,


звідки Потрійний інтеграл. Аналогічно

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: