Преобразования фигур
Малоязовская башкирская гимназия
Геометрия
Реферат
на тему:
“Преобразования фигур”
Выполнил: ученик 10 Б класса
Халиуллин А.Н.
Проверила: Исрафилова Р.Х.
Малояз 2003 год
План:
I. Преобразование.
II. Виды преобразований
Гомотетия
Подобие
Движение
III. Виды движения
1. Симметрия относительно точки
2. Симметрия относительно прямой
3. Симметрия относительно плоскости
4. Поворот
5. Параллельный перенос в пространстве
I. Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.
II. Виды преобразования в пространстве: подобие, гомотетия, движение.
Подобие
Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’, Y’ фигуры F’, в которые он переходят, X’Y’ = k * XY.
Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.
2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми
Подобие переводит плоскости в плоскости.
Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.
Гомотетия
Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX.
Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1).
Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и - любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости . Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A’ на луче OA, а точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA’B’, а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости . Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При рассматриваемой гомотетии плоскость перейдет в плоскость ’, проходящую через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости и ’ параллельны, что и требовалось доказать.
Движение
Движением - преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y
Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A1,B1,C1. То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B1 лежит между точками A1 и C1.
Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A1,B1,C1 лежат на одной прямой.
Если
точка A1,B1,C1
не лежат на
прямой, то они
являются вершинами
треугольника.
Поэтому
A1C1
< A1B1
+ B1C1.
По
определению
движения отсюда
следует, что
AC Мы
пришли к противоречию.
Значит, точка
B1
лежит на прямой
A1C1.
Первое утверждение
теоремы доказано. Покажем
теперь, что
точка B1
лежит между
A1
и
C1.
Допустим, что
точка A1
лежит между
точками B1
и C1.
Тогда A1B1
+
A1C1
= B1C1,
и, следовательно,
AB+AC=BC.
Но это противоречит
неравенству
AB+BC=AC.
Таким образом,
точка A1
не может лежать
между точками
B1
и C1.
Аналогично
доказываем,
что точка C1
не может лежать
между точками
A1
и B1. Так
как из трех
точек A1,B1,C1
одна лежит
между двумя
другими, то
этой точкой
может быть
только B1.
Теорема доказана
полностью.
2. При
движении прямые
переходят в
прямые, полупрямые
– в полупрямые,
отрезки – в
отрезки
3. При
движении сохраняются
углы между
полупрямыми. Доказательство.
Пусть AB
и AC
– две полупрямые,
исходящие из
точки A,
не лежащие на
оной прямой.
При движении
эти полупрямые
переходят в
некоторые
полупрямые
A1B1
и A1C1.
Так как движение
сохраняет
расстояние,
то треугольники
ABC
и A1B1C1
равны по третьему
признаку равенства
треугольников.
Из равенства
треугольников
следует равенство
углов BAC
и B1A1C1,
что и требовалось
доказать.
4. Движение
переводит
плоскость в
плоскость. Докажем
это свойство.
Пусть
- произвольная
плоскость.
Отметим на ней
любые три точки
A,
B,
C,
не лежащие на
одной прямой.
Проведем через
них плоскость
'. Докажем,
что при рассматриваемом
движении плоскость
переходит в
плоскость '. Пусть
X
- произвольная
точка плоскости
.
проведем через
нее какую-нибудь
прямую a
в плоскости
,
пересекающую
треугольник
ABXC
в двух точках
Y
и Z.
Прямая а перейдет
при движении
в некоторую
прямую a'.
Точки Y
и Z
прямой a
перейдут в
точки Y'
и Z',
принадлежащие
треугольнику
A'B'C',
а значит, плоскости
'. Итак
прямая a'
лежит в плоскости
'.
Точка X
при движении
переходит в
точку X'
прямой a',
а значит, и плоскости
',
что и требовалось
доказать.
В
пространстве,
так же как и на
плоскости, две
фигуры называются
равными,
если они совмещаются
движением. III. Виды
движения:
симметрия
относительно
точки, симметрия
относительно
прямой, симметрия
относительно
плоскости,
поворот, движение,
параллельный
перенос. Симметрия
относительно
точки Пусть
О - фиксированная
точка и X
- произвольная
точка плоскости.
Отложим на
продолжении
отрезка OX
за точку O
отрезок OX',
равный OX.
Точка X'
называется
симметричной
точке
X
относительно
точки
O.
Точка, симметричная
точке O,
есть сама точка
O.
Очевидно, что
точка, симметричная
точке X',
есть точка X. Преобразование
фигуры F
в фигуру F',
при котором
каждая ее точка
X
переходит в
точку X',
симметричную
относительно
данной точке
O,
называется
преобразованием
симметрии
относительно
точки
O.
При этом фигуры
F
и F'
называются
симметричными
относительно
точки
O. Если
преобразование
симметрии
относительно
точки O
переводит
фигуру F
в себя, то она
называется
центрально-симметричной,
а точка O
называется
центром
симметрии.
Например,
параллелограмм
является
центрально-симметричной
фигурой. Его
центром симметрии
является точка
пересечения
диагоналей.
Теорема:
Преобразование
симметрии
относительно
точки является
движением. Доказательство.
Пусть X
и Y
- две произвольные
точки фигуры
F.
Преобразование
симметрии
относительно
точки O
переводит их
в точки X'
и Y'.
Рассмотрим
треугольники
XOY
и X'OY'.
Эти треугольники
равны по первому
признаку равенства
треугольника.
У них углы при
вершине O
равны как
вертикальные,
а OX=OX',
OY=OY'
по определению
симметрии
относительно
точки O.
Из равенства
треугольников
следует равенство
сторон: XY=X'Y'.
А значит, что
симметрия
относительно
точки O
есть движение.
Теорема доказана. Симметрия
относительно
прямой Пусть
g
- фиксированная
прямая. Возьмем
произвольную
точку X
и опустим
перпендикуляр
AX
н прямую g.
На продолжении
перпендикуляра
за точку A
отложим отрезок
AX',
равный отрезку
AX.
Точка X'
называется
симметричной
точке
X
относительно
прямой g.
Если точка X
лежит на прямой
g,
то симметричная
ей точка есть
сама точка X.
Очевидно, что
точка, симметричная
точке X',
есть точка X. Преобразование
фигуры F
в фигуру F',
при котором
каждая ее точка
X
переходит в
точку X',
симметричную
относительно
данной прямой
g,
называется
преобразованием
симметрии
относительно
прямой g.
При этом фигуры
F
и F'
называются
симметричными
относительно
прямой
g. Если
преобразование
симметрии
относительно
прямой g
переводит
фигуру F
в себя, то эта
фигура называется
симметричной
относительно
прямой
g,
а прямая g
называется
осью
симметрии
фигуры.
Например,
прямые, проходящие
через точку
пересечения
диагоналей
прямоугольника
параллельно
его сторонам,
является осями
симметрии
прямоугольника.
Прямые на которых
лежат диагонали
ромба, является
его осями симметрии. Теорема:
Преобразование
симметрии
относительно
прямой является
движением. Доказательство.
Примем данную
прямую за ось
у декартовой
системы координат.
Пусть произвольная
точка A
(x;y)
фигуры F
переходит в
точку A'
(x';y')
фигуры F'.
Из определения
симметрии
относительно
прямой следует,
что у точек A
и A'
равные ординаты,
а абсциссы
отличаются
только знаком:
x'
= -x.
Возьмем
две произвольные
точки A
(x;y)
и B
(x;y).
Они перейдут
в точки A'
(-x;y)
и B'
(-x;y).
Имеем:
AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 A'B'2=(-x2+
x1)
2+(y2-y1)2 Отсюда
видно, что AB=A'B'.
А значит, что
преобразование
симметрии
относительно
прямой есть
движение. Теорема
доказана.
Симметрия
относительно
плоскости Пусть
a
- произвольная
фиксированная
плоскость. Из
точки X
фигуры опускаем
перпендикуляр
XA
на плоскость
a
и на его продолжении
за точку Aоткладываем
отрезок AX',
равный XA.
Точка X'
называется
симметричной
точке X
относительно
плоскости a,
а преобразование,
которое переводит
X
в симметричную
ей точку X',
называется
преобразованием
симметрии
относительно
плоскости
a. Если
точка X
лежит в плоскости
a,
то считается,
что точка X
переходит в
себя. Если
преобразование
симметрии
относительно
плоскости a
переводит
фигуру в себя,
то фигура называется
симметричной
относительно
плоскости
a,
а плоскость
a
называется
плоскостью
симметрии
этой фигуры. Поворот Поворот
плоскости около
данной точки
называется
такое движение,
при котором
каждый луч,
исходящий из
точки, поворачивается
на один и тот
же угол в одном
и том же направлении.
Параллельный
перенос в
пространстве Параллельным
переносом
в пространстве
называется
такое преобразование,
при котором
произвольная
точка (x;
y;
z)
фигуры переходит
в точку (x+a;
y+b;
z+c),
где числа a,b,c
одни и те же
для всех точек
(x;
y;
z).
Параллельный
переносов
пространстве
задается формулами
x'=x+a,
y'=y+b, z'=z+c, выражающими
координаты
x',
y',
z'
точки, в которую
переходит точка
(x;
y;
z)
при параллельном
переносе. Так
же, как и на
плоскости,
доказываются
следующие
свойства
параллельного
переноса:
1. Параллельные
перенос есть
движение.
2. При
параллельном
переносе точки
смещаются по
параллельным
(или совпадающим)
прямым на одно
и то же расстояние.
3. При
параллельном
переносе каждая
прямая переходит
в параллельную
ей прямую (или
в себя). 4.
Каковы бы ни
были точки A
и A',
существует
единственный
параллельный
перенос, при
котором точка
A
переходит в
точку A'.
Новым
для параллельного
переноса в
пространстве
является следующее
свойство: 5.
При параллельном
переносе в
пространстве
каждая плоскость
переходит либо
в себя, либо в
параллельную
её плоскость.
Действительно,
пусть
- произвольная
плоскость,
проведем в этой
плоскости две
пересекающиеся
прямые a
и b.
При параллельном
переносе прямые
a
и b
переходят либо
в себя, либо в
параллельные
прямые a'
и b'.
Плоскость
переходит в
некоторую
плоскость ',
проходящую
через прямые
a'
и b'.
Если плоскость
'
не совпадает
с ,
то по теореме
о двух пересекающихся
прямых одной
плоскости
соответственно
параллельными
с пересекающимися
прямыми другой
плоскости, она
параллельна
a,
что и требовалось
доказать.
Список
использованной
литературы:
1.
Учебник Геометрии
7-11 классы. А.В.
Погорелов
2.
Учебник Геометрии
10-11 классы. А.Д.
Александров.
Это
значит, что
если при поворот
около точки
O
точка переходит
в точку X',
то лучи OX
и OX'
образуют один
и тот же угол,
какова бы ни
была точка X.
Этот угол называется
углом
поворота.
Преобразование
фигур при повороте
плоскости также
называется
поворотом.