Xreferat.com » Рефераты по математике » Поверхневі інтеграли

Поверхневі інтеграли

Размещено на /


ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ


1. Поверхневі інтеграли першого роду


Поверхневі інтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів.

Нехай у точках деякої кусково-гладкої поверхні Поверхневі інтеграли визначена обмежена функція Поверхневі інтеграли. (Поверхня називається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина і при переході від точки до точки положення цієї дотичної площини змінюється неперервно. Поверхня, яка складається із скінченного числа неперервно з’єднаних гладких поверхонь, називається кусково-гладкою.) Розіб'ємо поверхню Поверхневі інтеграли на Поверхневі інтеграли довільних частин Поверхневі інтеграли без спільних внутрішніх точок (рис. 1); нехай Поверхневі інтеграли – площа, а Поверхневі інтеграли – діаметр частини поверхні Поверхневі інтеграли. У кожній частині Поверхневі інтеграли виберемо довільну точку Поверхневі інтеграли і складемо суму


Поверхневі інтеграли.(1)


Поверхневі інтеграли

Рисунок 1 – Поверхня Поверхневі інтеграли


Цю суму називають інтегральною сумою для функції Поверхневі інтеграли по поверхні Поверхневі інтеграли.

Якщо при Поверхневі інтеграли інтегральні суми (1) мають скінченну межу, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні Поверхневі інтеграли, ні від вибору точок Поверхневі інтеграли, цю границю називають поверхневим інтегралом першого роду від функції Поверхневі інтеграли по поверхні Поверхневі інтеграли і позначають Поверхневі інтеграли.

Таким чином, за означенням


Поверхневі інтеграли.(2)


У цьому разі функція Поверхневі інтеграли називається інтегровною по поверхні Поверхневі інтеграли, а поверхня Поверхневі інтеграли – областю інтегрування.

Якщо функція Поверхневі інтеграли неперервна на поверхні Поверхневі інтеграли, то вона інтегровна по Поверхневі інтеграли.

Обчислення поверхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла.

Нехай гладка поверхня Поверхневі інтеграли, задана рівнянням Поверхневі інтеграли, проектується на площину Поверхневі інтеграли в область Поверхневі інтеграли. Припустимо, що функція Поверхневі інтеграли неперервна на поверхні Поверхневі інтеграли, а функції Поверхневі інтеграли неперервні в області Поверхневі інтеграли.

Внаслідок розбиття поверхні Поверхневі інтеграли на частини Поверхневі інтеграли область Поверхневі інтеграли розіб'ється на частини Поверхневі інтеграли, які є відповідними проекціями частин Поверхневі інтеграли на площину Поверхневі інтеграли (рис. 2).


Поверхневі інтеграли

Рисунок 2 – Розбиття поверхні Поверхневі інтеграли на частини Поверхневі інтеграли

Якщо Поверхневі інтеграли – площа області Поверхневі інтеграли, Поверхневі інтеграли – площа поверхні Поверхневі інтеграли, то


Поверхневі інтеграли,


тому інтегральну суму (1) можна записати у вигляді


Поверхневі інтеграли.(3)


Права частина цієї рівності є інтегральною сумою для функції


Поверхневі інтеграли,


тому з рівностей (2) і (3) випливає, що


Поверхневі інтеграли.(4)


Формула (4) виражає поверхневий інтеграл першого роду через подвійний інтеграл по проекції поверхні Поверхневі інтеграли на площину Поверхневі інтеграли.

Аналогічно можна отримати формули, що виражають інтеграл по поверхні Поверхневі інтеграли через подвійні інтеграли по її проекціях на площини Поверхневі інтеграли та Поверхневі інтеграли. Якщо поверхня Поверхневі інтеграли задається рівнянням Поверхневі інтеграли або Поверхневі інтеграли, то


Поверхневі інтеграли

Поверхневі інтеграли,

де Поверхневі інтеграли та Поверхневі інтеграли – проекції поверхні Поверхневі інтеграли на координатні площини Поверхневі інтеграли та Поверхневі інтеграли відповідно.

Якщо у формулі (2) покласти Поверхневі інтеграли на поверхні Поверхневі інтеграли, то отримаємо


Поверхневі інтеграли,(5)


де Поверхневі інтеграли – площа поверхні Поверхневі інтеграли, тобто за допомогою поверхневого інтеграла першого роду можна обчислювати площі поверхонь.

Крім того, поверхневі інтеграли першого роду застосовують при обчисленні маси, координат центра маси, моменту інерції матеріальної поверхні з відомою поверхневою густиною розподілу маси. Виведення відповідних формул по суті не відрізняється від виводу аналогічних формул для матеріальної пластинки.

Якщо на кусково-гладкій поверхні Поверхневі інтеграли розподілено масу з поверхневою густиною Поверхневі інтеграли, то:

а) маса матеріальної поверхні


Поверхневі інтеграли;


б) координати центра маси поверхні:


Поверхневі інтеграли,


де Поверхневі інтеграли – статичні моменти поверхні Поверхневі інтеграли відносно осей Поверхневі інтеграли;

в) моменти інерції поверхні відносно осей координат і початку координат:

Поверхневі інтеграли


2. Поверхневі інтеграли другого роду


Введемо поняття сторони поверхні. Візьмемо на гладкій поверхні Поверхневі інтеграли довільну точку Поверхневі інтеграли, проведемо в ній нормаль Поверхневі інтеграли певного напряму і розглянемо на поверхні Поверхневі інтеграли довільний замкнений контур, який виходить з точки Поверхневі інтеграли і повертається в точку Поверхневі інтеграли, не перетинаючи при цьому межі поверхні Поверхневі інтеграли. Переміщатимемо точку Поверхневі інтеграли по замкненому контуру разом з вектором Поверхневі інтеграли так, щоб вектор Поверхневі інтеграли весь час залишався нормальним до Поверхневі інтеграли. При обході заданого контуру ми можемо повернутися в точку Поверхневі інтеграли з тим самим або з протилежним напрямом нормалі.

Якщо у довільну точку Поверхневі інтеграли поверхні Поверхневі інтеграли після обходу довільного замкненого контуру, розміщеного на поверхні Поверхневі інтеграли, який не перетинає її межу, ми повертаємося з початковим напрямом нормалі Поверхневі інтеграли, то поверхню називають двосторонньою.

Якщо при обході деякого контуру напрям нормалі змінюється на протилежний, то поверхню називають односторонньою.

Прикладами двосторонніх поверхонь є площина, сфера, довільна замкнена поверхня без самоперетинів, довільна поверхня, задана рівнянням Поверхневі інтеграли, де Поверхневі інтеграли – функції, неперервні в деякій області Поверхневі інтеграли площини Поверхневі інтеграли.

Прикладом односторонньої поверхні є так званий лист Мебіуса (рис. 3).


Поверхневі інтеграли


Рисунок 3 – Лист Мебіуса


Модель цієї поверхні можна отримати, якщо прямокутну полоску паперуПоверхневі інтеграли, перекрутивши один раз, склеїти так, щоб точка Поверхневі інтеграли збігалася з Поверхневі інтеграли, а точка Поверхневі інтеграли – з Поверхневі інтеграли.

Двосторонню поверхню називають орієнтовною, а вибір певної її сторони орієнтацією поверхні. Направивши в кожній точці замкненої поверхні нормаль всередину об'єму, обмеженого поверхнею, отримаємо внутрішню сторону поверхні, а направивши нормаль зовні поверхні-зовнішню її сторону. Надалі розглядатимемо двосторонні поверхні. Односторонні поверхні неорієнтовні.

Нехай Поверхневі інтеграли – орієнтовна (сторона уже обрана) поверхня, обмежена контуром Поверхневі інтеграли, який не має точок самоперетину. Вважатимемо за додатний той напрям обходу контуру Поверхневі інтеграли, при якому спостерігач, розміщений так, що напрям нормалі збігається з напрямом від ніг до голови при русі, залишає поверхню зліва від себе (рис. 4).


Поверхневі інтеграли

Рисунок 4 – Орієнтовна поверхня Поверхневі інтеграли

Протилежний напрям обходу називається від'ємним. Якщо змінити орієнтацію поверхні на протилежну, то додатний і від'ємний напрями обходу контуру Поверхневі інтеграли поміняються місцями.

З'ясуємо тепер поняття поверхневого інтеграла другого роду.

Нехай Поверхневі інтеграли – гладка поверхня, задана рівнянням Поверхневі інтеграли і Поверхневі інтеграли – обмежена функція, визначена в точках поверхні Поверхневі інтеграли. Зорієнтуємо поверхню Поверхневі інтеграли. Розіб'ємо її довільно на Поверхневі інтеграли частин. Позначимо через Поверхневі інтеграли проекцію Поверхневі інтеграли-ї частини поверхні Поверхневі інтеграли на площину Поверхневі інтеграли, а через Поверхневі інтеграли – площу Поверхневі інтеграли, взяту із знаком плюс, якщо обрана зовнішня сторона поверхні Поверхневі інтеграли, та із знаком мінус, якщо обрана внутрішня сторона поверхні Поверхневі інтеграли. Виберемо в кожній частині Поверхневі інтеграли довільну точку Поверхневі інтеграли і складемо суму


Поверхневі інтеграли.(6)


Вираз (6) називається інтегральною сумою. Нехай Поверхневі інтеграли – максимальний діаметр поверхонь Поверхневі інтеграли.

Якщо при Поверхневі інтеграли інтегральні суми (6) мають скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні Поверхневі інтеграли, ні від вибору точок Поверхневі інтеграли, то цю границю називають поверхневим інтегралом другого роду і позначають так: Поверхневі інтеграли. Отже, за означенням


Поверхневі інтеграли.(7)


З означення поверхневого інтеграла другого роду випливає, що при зміні сторони поверхні на протилежну інтеграл змінює знак, бо змінює знак Поверхневі інтеграли.

Поверхню Поверхневі інтеграли можна також проектувати на координатні площини Поверхневі інтеграли та Поверхневі інтеграли. Тоді матимемо ще два поверхневі інтеграли Поверхневі інтеграли, де Поверхневі інтеграли – функції, визначені в точках поверхні Поверхневі інтеграли.

Оскільки Поверхневі інтеграли (рис. 5),


Поверхневі інтеграли

Рисунок 5 – Проекція поверхні Поверхневі інтеграли на координатну площину Поверхневі інтеграли


де Поверхневі інтеграли – елемент площі поверхні Поверхневі інтеграли – кути між нормаллю до поверхні Поверхневі інтеграли та осями Поверхневі інтеграли відповідно, то справедливі такі формули:


Поверхневі інтеграли


На практиці найпоширенішими є поверхневі інтеграли, які об'єднують усі названі, тобто


Поверхневі інтеграли.(8)


Якщо, наприклад, вектор Поверхневі інтеграли є швидкістю рідини, то кількість Поверхневі інтеграли рідини, яка протікає через поверхню Поверхневі інтеграли за одиницю часу, називається потоком вектора Поверхневі інтеграли через поверхню Поверхневі інтеграли і знаходиться за формулою:


Поверхневі інтеграли.


У цьому полягає фізичний зміст поверхневого інтеграла другого роду. Зрозуміло, коли вектор Поверхневі інтеграли має іншу природу, поверхневий інтеграл має інший фізичний зміст.

Формула (8) виражає загальний поверхневий інтеграл другого роду через поверхневий інтеграл першого роду.

Поверхневі інтеграли другого роду обчислюються за допомогою подвійних інтегралів.

Нехай функція Поверхневі інтеграли неперервна в усіх точках гладкої поверхні Поверхневі інтеграли, яка задана рівнянням Поверхневі інтеграли, де область Поверхневі інтеграли – проекція поверхні Поверхневі інтеграли на площину Поверхневі інтеграли. Виберемо верхню сторону поверхні Поверхневі інтеграли, де нормаль до поверхні утворює з віссю Поверхневі інтеграли гострий кут, тоді Поверхневі інтеграли. Оскільки Поверхневі інтеграли, то суму (6) можна записати

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: