Теоремы Силова

Размещено на /

ВВЕДЕНИЕ

Строение абелевых групп во многом определяется строением максимальных р-подгрупп. В теории конечных групп максимальные подгруппы также играют существенную роль. Теорема, доказанная норвежским математиком Л. Силовом в 1872 году, явилась краеугольным камнем теории конечных групп. Она неоднократно обобщалась в разных направлениях как в нашей стране (С. А. Чунихин и др.), так и за рубежом (Ф. Холл и др.). В связи с этой теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппы конечных (а часто и бесконечных) групп называются силовскими р-подгруппами. Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Говорят, что группа G действует на множестве М, если для каждых элементов, определен элемент , причем и me=m для всех , ; здесь e — единица группы G. Множество называется орбитой элемента m. Очевидно, орбиты любых двух элементов из М либо совпадают, либо не пересекаются, так что множество М разбивается на непересекающиеся орбиты. Людвиг Силов (норв. Peter Ludvig Mejdell Sylow — фонетически правильней транслитерация «Сюлов»; 1832—1918) — норвежский математик. Автор нескольких работ по теории эллиптических функций и по теории групп. С 1858 по 1898 годы был учителем в школе в городе Фредериксхальд. В 1862 году Силов заменил профессора по теории Галуа в университете Христиании, где он поставил задачу, которая привела к наиболее важному результату его жизни — так называемым теоремам Силова, опубликованным в 1872 году.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕМЫ СИЛОВА

Пусть G – конечная группа, а р – простое число, которое делит порядок G. Подгруппы порядка pt называются р-подгруппами. Выделим из порядка группы G примарный делитель по р, то есть | G | = pns , где s не делится на р. Тогда силовской р-подгруппой называется подгруппа G, имеющая порядок pn. Под N(P) понимается нормализатор подгруппы Р в G.

Теорема 1.(первая теорема Силова).

Силовские р-подгруппы существуют.

Доказательство.

Докажем теорему индукцией по порядку G. При |G| = p теорема верна. Пусть теперь |G| > p. Пусть Z(G) - центр группы G. Возможны два случая:

а) p делит |Z|. Тогда в центре существует циклическая группа (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в G. Факторгруппа G по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем G, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская p-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в G. Он и будет нужной нам силовской p-подгруппой G.

б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы сопряжённости: (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делится на p, значит, должен найтись класс Ka, порядок которого не делится на p. Соответствующий ему нормализатор имеет порядок pnr, r < s. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская p-подгруппа — она и будет искомой.

Теорема 2.(вторая теорема Силова).

Всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе. Все силовские p-подгруппы сопряжены (т.е. каждая представляется в виде gPg − 1, где g — элемент группы, а P — силовская подгруппа из теоремы 1).

Доказательство

Итак, пусть силовские р-подгруппы в G существуют и Р — одна из них. Пусть, далее, — произвольная р-подгруппа группы G, не обязательно силовская. Заставим действовать левыми сдвигами на множестве левых смежных классов G по Р. Длина любой орбиты относительно делит порядок ,. Таким образом,

где,... — длины орбит. Так как НОД(m,p) = 1, то хотя бы одна орбита имеет длину pki = 1, т. е.

(1)

для некоторого элемента. Переписав соотношение (1) в виде, мы приходим к заключению, что

(2)

(поскольку — группа). В частности, если — силовская р-подгруппа, то | | = |Р|, и из (2) следует, что =.

Теорема 3(третья теорема Силова).

Количество силовских p-подгрупп сравнимо с единицей по модулю p и делит порядок G.

Доказательство.

Рассмотрим несколько более общую ситуацию. Именно, пусть , где , t может делится на p, и пусть - число всех подгрупп порядка в G. Оказывается, что имеет место сравнение , в частности, G содержит подгруппы любого порядка , s=1,2,…,n и .

Рассуждаем следующим образом. Действие левыми сдвигами группы G на себе индуцирует действие G на множестве

всех -элементных подмножеств . Причём . Множество разбивается на G-орбиты , так что

,

где - стационарная подгруппа некоторого представителя .

Так как , то - объединение нескольких правых смежных классов G по . Поэтому , откуда . В случае имеем . Равенства и эквивалентны. Получаем

(- некоторый элемент из G) и, стало быть, - подгруппа порядка . Орбита исчерпывается некоторым числом левых смежных классов группы G по .

Обратно: каждая подгруппа порядка приводит к орбите длины t. Различные подгруппы с приводят к различным орбитам , поскольку из следует , откуда и . Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между подгруппами порядка и орбитами длины t. Тогда сравнение записывается как

Где следовало бы написать , чтобы подчеркнуть зависимость от G.

Если взять за G циклическую группу порядка , то для неё и поэтому

Так как левые часть сравнений по одному и тому же модулю совпадают, то имеем

А это и даёт искомое сравнение

Получим полезное уточнение теорем Силова.

Теорема 4.

Справедливы следующие утверждения:

1).силовская p-подгруппа P группы G нормальна в G тогда и только тогда, когда

2).конечная группа G порядка является прямым произведением своих силовских - подгрупп в точности тогда, когда все эти подгруппы нормальны в G.

Доказательство.

1).Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю р порядка , по второй теореме Силова сопряжены, и если P–одна из них, то

нормальна в G

2).Если - прямое произведение своих силовских подгрупп, то нормальна в G как любой прямой множитель. Значит условие нормальности необходимо.

Пусть теперь нормальна в G, , т.е. . Заметим, что . Стало быть, , а отсюда для любых имеем

Т.е. элементы и перестановочны.

Представим, что единичный элемент записан в виде , где - элемент порядка . Положив и воспользовавшись перестановочностью получим

Но так как а и взаимно просты, то . Это верно при любом j, и, стало быть, равенство возможно лишь при

С другой стороны, каждый элемент порядка , записывается в виде , , . Достаточно положить , где показатели определяются условиями

теорема силов конечная группа

,

Если теперь - другая запись x в виде произведения -элементов, то в силу перестановочности , с различными нижними индексами будем иметь

,

что, как было показано выше, влечёт равенства

, т.е. .

Итак, каждый элемент группы G записывается, и притом единственным образом в виде .

Замечание

Нормальная силовская p-подгруппа P группы G характеристична в G, т.е. инвариантна при действии любого автоморфизма . Действительно, , поэтому - силовская р-подгруппа, и, стало быть, , если . Аналоги силовских подгрупп прослеживаются в алгебраических структурах, далёких от конечных групп.

Следствие

Если все делители | G | , кроме 1, после деления на p дают остаток, отличный от единицы, то в G есть единственная силовская p-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Примеры силовских подгрупп.

Пример 1.

Аддитивная группа кольца вычетов разлагается в прямое произведение своих силовских p-подгрупп, которые являются циклическими подгруппами порядков , если n имеет каноническое разложение n=.

Пример 2.

Силовские p-подгруппы симметрических групп. Как мы знаем, Каков максимальный показатель e(n), при котором делит n!? В последовательности 1,2,…,n кратными p будут числа p,2p,…,kp, где , поэтому . Так как , то Удобно разложить n по основанию p: , тогда

Рассмотрим сначала группы , когда n степень p. Пусть в уже найдена силовская p-подгруппа, т.е. подгруппа порядка . Построим по ней в подгруппу порядка . Для этого разобьём переставляемые символы 1,2,…, на последовательные отрезки длины . Если и x – подстановка на символах i-го отрезка, то легко сообразить, что