Xreferat.com » Рефераты по математике » Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів

Міністерство освіти і науки України

Черкаський національний університет

імені Б. Хмельницького

Кафедра геометрії та методики навчання математики


Курсова робота

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів


ІV курс, денна форма навчання, математичний факультет


Глушко Юлія Сергіївна

Науковий керівник:

викладач кафедри геометрії та

методики навчання математики

Воловик Оксана Петрівна


Черкаси 2010

Зміст


Вступ

§ 1. Теоретичні основи дослідження

1.1 Загальні відомості про раціональні нерівності

1.2 Теореми про рівносильність нерівностей

§ 2. Раціональні нерівності вищих степенів та методи їх розв’язування

2.1 Розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів методом інтервалів

2.2 Розв’язування раціональних нерівностей узагальненим методом інтервалів

2.3 Розв’язування дробово-раціональних нерівностей

2.4 Розв’язування раціональних нерівностей методом заміни змінної

Висновки

Список використаних джерел

Вступ


Актуальність теми зумовлена тим, що розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів викликає у багатьох учнів певні труднощі. Розв’язування більшості нерівностей вищих степенів вимагає знання різноманітних теоретичних відомостей, застосування різних теорем та формул. Отримати навички розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів можна лише тоді, коли розв’язати їх достатньо велику кількість, ознайомившись з різними методами та прийомами їх розв’язання.

Все це обумовило обрання теми: «Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів»

Мета роботи полягає в тому, щоб розглянути різні методи раціональних нерівностей вищих степенів

Однією з основних функцій розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів є формування уявлень про ідею і використання раціональних методів і прийомів.

Майстерність розв’язувати раціональних нерівностей вищих степенів ґрунтується на володінні високим рівнем знань теоретичної частини курсу та певним арсеналом методів і прийомів розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів

Тому доцільно розглянути та ознайомитись з різноманітними методами та прийоми розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів. Це дозволить учням розв’язувати, здавалося б, складні нерівностей просто, зрозуміло і красиво, а сформовані уміння і навички знадобляться учням при розв’язуванні ірраціональних, логарифмічних, показникових та тригонометричних. нерівностей

Для досягнення мети було поставлено наступні завдання:

проаналізувати методичну літературу з означеної теми;

ознайомитись з теоретичними відомостями, розглянути основні теореми та методичні факти, що стосуються даної теми;

розглянути різноманітні методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів;

навести низку прикладів розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів різними методами.

§ 1. Теоретичні основи дослідження


1.1 Загальні відомості про раціональні нерівності


Дві функції, що поєднані між собою знаю Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів утворюють нерівність:


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів;

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів.


Розв’язком цих нерівностей називається значення Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, що задовольняє їх. Розв’язати нерівність – значить знайти множину всіх її розв’язків або встановити, що нерівність не має розв’язків.

Областю визначення Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів (областю допустимих значень) нерівності називають множину всіх значень невідомого, на якій існують функції Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів.При визначенні Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів часто вводяться також додаткові умови, які пов’язані з характером нерівності. [2: 137]

Під множиною розв’язків системи нерівностей розуміють перетин множин розв’язків всіх нерівностей, що входять в цю систему.

Говорять, що нерівність еквівалентна системі нерівностей, якщо множина її розв’язків співпадає з множиною розв’язків цієї системи. [1: 136]


1.2 Теореми про рівносильність нерівностей


Дві нерівності з одною змінною Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів називаються рівносильними, якщо їх розв’язки співпадають (в тому числі, якщо обидві нерівності не мають розвязків). Якщо кожен частковий розвязок нерівності Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів являється в той же час частковим розвязком нерівності Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, отримані після перетворення нерівності Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, то нерівність Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів називається наслідком нерівності Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів. В наступних теоремах річ йде про перетвореннях, які ведуть до рівносильних нерівностей.[6:321]

Теорема 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенівдодати (або відняти) будь-яку функцію Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів то дістанемо нерівність, рівносильну початковій за умовою, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються.

Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів помножити (або поділити) на будь-яку функцію Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, яка зберігає сталий знак і відмінну від нуля, то при Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів дістаємо нерівність, рівносильну початковій, а при Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту (передбачається, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються).

Таким чином, можемо записати:


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, якщо Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів;


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, якщо Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів;


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, якщо Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів;


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, якщо Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів;

Зауваження.На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше замість функції Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів береться її окремий випадок – відмінна від нуля константа. [2:143]

§ 2. Приклади розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів різними методими


2.1Розвязування раціональних нерівностей вищих степенів методом інтервалів


Будемо розглядати розв’язання раціональних нерівностей методом інтервалів. Існують різні схеми реалізації цього методу. Розглянемо одну з цих схем, допускаючи, що розв’язується нерівність Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів. У випадку нерівності Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів ця схема аналогічна.

1.Перенести всі члени нерівності вліво:


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів.


2.Ліву частину отриманої нерівності привести до спільного знаменника:


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів.


3.Багаточлени Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів і Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів розкласти на множники. Якщо при цьому з’являються однакові множники, то треба замінити їх відповідним степенем. Наприклад,


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів.


При скороченні треба мати на увазі, що:

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенівМетоди розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів


4. Виключити з розкладення нелінійні множники. Це виключення виконується таким чином.

Якщо в розкладенні є множник, Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, де Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, то його виключення залежить від знака старшого коефіцієнта і виконується за правилом:


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів


Якщо в розкладенні є множник Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, то його виключення здійснюється за правилами


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів


Нелінійний множник Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів виключається за правилом:

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів.


5. На числовій осі відмітимо точки, в яких обертаються в нуль всі множники, що стоять в чисельнику і знаменнику лівої частини нерівності, отриманої в результаті виконання пунктів «1» - «4». При цьому, якщо нерівність нестрога, точки, які відповідають множникам чисельника будемо визначати зафарбованими кружками, а точки, що відповідають множникам знаменника світлими. Якщо нерівність строга, всі точки відмічаються світлими кружками.

6. Поставити знаки в кожному проміжку, на якій числова вісь розбивається відміченими точками.

Спочатку поставити знак у самому правому проміжку на числовій осі за правилом: знак «+» ставиться, якщо число множників виду Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів парне, і знак «-», якщо це число непарне. Знаки в інших проміжках ставляться з урахуванням того, що вони чергуються в сусідніх проміжках.

7. Вибираються проміжки, в яких стоїть знак «+», якщо нерівність, отримана в пункті 4 має вигляд: Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, або «-», якщо ця нерівність має вигляд Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів. Ці проміжки містять у собі крайні точки, відмічені на числовій осі зафарбованими кружками, і не містять точок, відмічених світлими кружками,. Об’єднання цих проміжків і є множиною розв’язків даної нерівності.[4:124]

Приклад 1. Розв’язати методом інтервалів нерівність


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів. (1)


Розв’язування:З нерівності Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів знаходимо ОДЗ:

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів


Далі замість нерівності (1) розв’язуємо рівняння


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів або Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів звідки Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів


Наносимо відповідні точки на числову вісь (див. рисунок).

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів


Розглядаємо кожний з утворених інтервалів окремо.

1. Підставляємо значення Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів з інтервалу Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів у нерівність (1). Дістаємо нерівність Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, яка не виконується. Тому нерівність (1) не виконується в усіх точках інтервалу Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів.

2. Підставляючи в нерівність (1) значення Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів з інтервалу Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, дістаємо правильну нерівність Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів. Отже, нерівність (1) виконується на інтервалі Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів.

3. Підставляючи в (3) значення Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів з інтервалу Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів дістаємо неправильну нерівність Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів. Це означає, що нерівність (1) не виконується ні в одній точці інтервалу Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів.

Остаточно маємо розв’язок нерівності (1) Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів

ВідповідьМетоди розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів.[1:161]

Приклад 2. Розв’язати нерівність Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів

Розв’язування: Для знаходження коренів рівняння Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів необхідно розкласти його на множники. Отже


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів


Отже числаМетоди розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів,Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів,Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів є коренями даного рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів з інтервалу Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів, дістаємо Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів. Провівши «криву знаків», визначаємо знак Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів в кожному з інтервалів.


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенівМетоди розв’язування раціональних нерівностей вищих степенівМетоди розв’язування раціональних нерівностей вищих степенівМетоди розв’язування раціональних нерівностей вищих степенівМетоди розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів + +

1 2 3 x

Відповідь:Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів


2.2 Розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів узагальненним методом інтервалів


Нехай потрібно розв'язати нерівність


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів,

де Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів цілі додатні числа;

Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів— дійсні числа, серед яких немає рівних і такі, що Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів. Нерівності подібного типу розв'язують із застосуванням узагальненого метода інтервалів. В основі цього метода лежить така властивість двочлена Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів точка Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів ділить числову вісь на дві частини, причому якщо Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів (Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів- парне), то вираз Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів праворуч і ліворуч від точки Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів зберігає додатний знак; якщо Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів (Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів- непарне число), то вираз Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів праворуч від точки Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів додатний, а ліворуч від точки Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів від'ємний.

Для розв'язання нерівності


Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів


узагальненим методом інтервалів на числову вісь наносимо числа Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів; в проміжку праворуч від найбільшого з них ставимо знак «плюс», а потім, рухаючись справа наліво, при переході через чергове число Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів змінюємо знак, якщо Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів — непарне число, і зберігаємо знак, якщо. Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів — парне число.

Зауваження 1. Якщо зустрічаються вирази Методи розв’язування раціональних нерівностей вищих степенів

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: