Межа послідовності. Теорема Штольца

Курсова робота

Межа послідовності. Теорема Штольца

Зміст

Введення

1.Межа послідовності

2.Властивості збіжних послідовностей

3.Приклади знаходження меж послідовності

4.Теорема «Штольца»

5.Приклади на застосування теореми Штольца

Висновок

Список літератури

Введення

Одним з основних розділів курсу математичного аналізу є розділ, що вивчає теорію межі послідовності й межі функції. Дана теорія є значимою для вивчення багатьох інших розділів математичного аналізу, а також інших дисциплін математики.

Метою даної курсової роботи є доказ теореми Штольца. У роботі докладно розглянуті наступні аспекти: поняття межі послідовності, характерні приклади обчислення меж послідовності з докладним розбором рішення, теорема Штольца й приклади її застосування.

Тема даної курсової роботи «Межа послідовності. Теорема Штольца». Для того щоб поглибитися у вивчення даного питання, для початку, згадаємо деякі визначення, твердження й теореми з початкового вивчення математичного аналізу, впритул дотичні основний проблеми порушеної в курсовій роботі.

У фізику й в інших науках про природу зустрічалася множина різних величин: час, довжина, об'єм, вага й т.п. Кожна з них, залежно від обставин, то приймала різні значення, те лише одне.

У математику, однак, ми відволікаємося від фізичного змісту розглянутої величини, цікавлячись лише числом, яким вона виражається фізичний зміст величини, знову здобуває важливість, лише, коли займаються додатками математики. Таким чином, для нас змінна величина (або коротше – змінна) є відверненою або числовою змінною. Її позначають яким-небудь символом (буквою, наприклад, х), якому приписують числові значення.

Змінна вважається заданої, якщо вказана множина Х={х} Постійну величину (коротше – постійну) зручно розглядати як окремий випадок змінної; він відповідає припущенню, що множина Х={х} складається з одного елемента.

Перейдемо до встановлення поняття числової послідовності.

Визначення: якщо кожному n є N, поставлено у відповідність xn є N, те говорять, що

(1)

утворять числову послідовність.

– члени послідовності

– загальний член послідовності

Уведене визначення має на увазі, що будь-яка числова послідовність повинна бути нескінченна, але не означає, що всі члени повинні бути різні числа.

Числова послідовність уважається заданої, якщо зазначено закон, по якому можна знайти будь-який член послідовності.

Члени або елементи послідовності (1) занумеровані всіма натуральними числами в порядку зростання номерів. При n+1 > n-1 член треба за членом ( передує ), незалежно від того, чи буде саме число більше, менше або навіть дорівнює числу .

Визначення: Змінну x, що приймає деяку послідовність (1) значень, ми – випливаючи Мере (Ch. Meray) – будемо називати варіантою.

У шкільному курсі математики можна зустріти змінні саме такого типу, типу варіанти.

Наприклад, послідовність виду

(арифметична) або виду

(геометрична прогресія)

Змінний член тієї або іншої прогресії є варіанта.

У зв'язку з визначенням довжини окружності звичайно розглядається периметр правильного вписаного в окружність багатокутника, одержуваного із шестикутника послідовним подвоєнням числа сторін. Таким чином, ця варіанта приймає послідовність значень:

Згадаємо ще про десяткове наближення (по недоліку) до , із всі зростаючою точністю. Воно приймає послідовність значень:

і також представляє варіанту.

Змінну x, що пробігає послідовність (1), часто позначають через , ототожнюючи її зі змінним («загальним») членом цієї послідовності.

Іноді варіанта xп задається тим, що вказує безпосередньо вираження для xп; так, у випадку арифметичної або геометричної прогресії маємо, відповідно, xп =а+(n-1) d або xп =aqn-1. Користуючись цим вираженням, можна відразу обчислювати будь-яке значення варіанти по заданому його номері, не обчислюючи попередніх значень.

Для периметра правильного вписаного багатокутника таке загальне вираження можливо лише, якщо ввести число π; взагалі периметр рm правильного вписаного m-косинця дається формулою

1.Межа послідовності

Визначення 1: Числова послідовність {хп} називається обмеженої зверху (знизу), якщо існує таке число М (т), що для будь-якого елемента цієї послідовності має місце нерівність , при цьому число М (т) називають верхньою (нижньої) гранню.

Визначення 2: Числова послідовність {хп} називається обмеженої, якщо вона обмежена й зверху, і знизу, тобто існують М, т, що для будь-якого

Позначимо А = max {|M|, |m|}, тоді очевидно, що числова послідовність буде обмежена, якщо для кожного виконується рівність |xn|≤А, остання нерівність є умова обмеженості числової послідовності.

Визначення 3: числова послідовність називається нескінченно великою послідовністю, якщо для будь-якого А>0, можна вказати такий номер N, що для всіх n>N виконується | |>A.

Визначення 4: числова послідовність {αn} називається нескінченно малою послідовністю, якщо для кожного наперед заданого ε > 0, можна вказати такий номер N(ε), що для будь-якого n > N(ε) буде виконуватися нерівність | αn | < ε.

Визначення 5: числова послідовність {хп} називається збіжної, якщо існує таке число а, що послідовність {хп – а} є нескінченно малою послідовністю. При цьому саме а – межа вихідної числової послідовності.

Із цього визначення треба, що все безконечно малі послідовності є збіжними й межу цих послідовностей = 0.

У зв'язку з тим, що поняття збіжної послідовності вв'язано з поняттям нескінченно малої послідовності, то визначення збіжної послідовності можна дати в іншій формі:

Визначення 6: числова послідовність {хп} називається збіжної до числа а, якщо для будь-якого як завгодно малого найдеться такий , що для всіх n > N виконується нерівність

при ,

а - межа послідовності

Так як рівносильне , а це означає приналежність інтервалу хn є (a – ε; a+ ?) або, що т же саме, належить ? - околиці крапки а. Тоді ми можемо дати ще одне визначення збіжної числової послідовності.

Визначення 7: числова послідовність {хп} називається збіжної, якщо існує така крапка а, що в будь-який досить малої ε - околиці цієї крапки перебуває як завгодно елементів цієї послідовності, починаючи з деякого номера N.

Зауваження: відповідно до визначень (5) і (6), якщо а – межа послідовності {хп}, те xп – а є елементом нескінченно малої послідовності, тобто xп – а = αn, де αn – елемент нескінченно малої послідовності. Отже, xп = а +αn, і тоді ми в праві затверджувати, що якщо числова послідовність {хп} сходиться, то її завжди можна представити у вигляді суми своєї межі й елемента нескінченно малої послідовності.

Вірно й зворотне твердження: якщо будь-який елемент послідовності {хп} можна представити у вигляді суми постійного числа й елемента нескінченно малої послідовності, те це постійна і є межа даної послідовності.

2.Властивості збіжних послідовностей

Теорема 1:

Усяка збіжна послідовність має тільки одну межу.

Доказ:

Припустимо, що послідовність {xn} має дві межі (а ≠ b)

xn → a, отже xn = a + αn, де αn елемент нескінченно малої послідовності;

xn → b, отже xn = b + βn, де βn елемент нескінченно малої послідовності;

Оцінимо різницю даних рівностей 0 = a – b + (αn - βn),

позначимо αn - βn = γn, γn – елемент нескінченно малої послідовності,

отже, γn = b – a,

а це означає, що всі елементи нескінченно малої послідовності рівні тому самому числу b - a, і тоді b - a = 0 по властивості нескінченно малої послідовності,

отже, b = a,

отже, послідовність не може мати двох різних меж.

Теорема 2:

Якщо всі елементи послідовності {xn} рівні З (постійної), то межа послідовності {xn}, теж дорівнює С.

Доказ:

З визначення межі, треба, З = З + 0.

Теорема 3:

Якщо послідовності {xn} і {уn} сходяться, то й послідовність {xn + уn} також сходиться і її межа дорівнює сумі її що складаються (меж).

Доказ:

xn → a, отже xn = a + αn

уn → b, отже уn = b + βn

xn + уn = а + b + (αn + βn)

позначимо αn - βn = γn, отже xn + уn = а + b + γn, γn елемент нескінченно малої послідовності;

отже,

Наслідок: різниця двох збіжних послідовностей є послідовність збіжна, і її межа дорівнює різниці їхніх меж.

Теорема 4:

Якщо послідовності {xn} і {уn} сходяться, то й послідовність {xn * уn} також сходиться і її межа дорівнює добутку її множників (меж).

Доказ:

xn → a, отже xn = a + αn

уn → b, отже уn = b + βn

xn * уn = (а + αn)*(b + βn)=аb+(а βn + bαn + αn βn)

позначимо γn = а βn + bαn + αn βn, де γn елемент нескінченно малої послідовності, виходить

xn * уn = ab+ γn,

отже,

Теорема 5:

Якщо послідовності {xn} і {уn} сходяться до чисел а й b відповідно, і якщо b ≠ 0, межа частки існує, кінцевий і дорівнює частці меж.

Доказ:

Так як послідовність {уn} сходиться до b, те по визначенню збіжної послідовності, для будь-якого ε > 0, найдеться N(ε), такий що для всіх n > N, буде виконаються нерівність |b – yn|< ε.

Тоді поклавши , бачимо, що

,

звідки треба

отже

.

Так як, відповідно до умови b ≠ 0, то з останньої нерівності треба, що для всіх n > N елементи послідовності {уn} не рівні 0, значить саме із цього номера N можна визначити послідовність

xn = a + αn

уn = b + βn, отже

позначимо γn = αпb – aβn, γn елемент нескінченно малої послідовності.

,

а тоді з останньої рівності, треба

,

звідки

3.Приклади знаходження меж послідовності

Числова послідовність задана загальним членом xп, розглянемо його:

при знаходженні такої межі говорять, що будемо розкривати невизначеність виду .

при знаходженні такої межі, говорять, що будемо розкривати невизначеність виду .

Для розкриття невизначеності ділимо чисельник і знаменник на найбільший ступінь n.

Таким чином, має місце правило:

Межа відносини двох багаточленів дорівнює нескінченності, якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника, нулю, якщо ступінь чисельника менше ступеня знаменника й відношенню коефіцієнтів при старших членах, якщо ступеня чисельника й знаменника рівні.

Для спрощення задачі знаходження межі послідовності, вищевказаного виду, ми вдаємося до допомоги теореми Штольца.

4.Теорема Штольца

Для визначення меж невизначених виражень типу часто буває корисна наступна теорема, що належить Штольцу (O. Stolz).

Теорема: Нехай варіанта , причому – хоча б починаючи з деякого місця – зі зростанням п і уп зростає: тобто уп+1 > yn. Тоді

якщо тільки існує межа праворуч (кінцевий або навіть нескінченний).

Доказ: Допустимо спочатку, що ця межа дорівнює кінцевому числу L:

Тоді по будь-якому заданому найдеться такий номер N, що для n > N буде

або

.

Виходить, яке б n > N не взяти, всього дробу

лежать між цими границями. Тому що знаменники їх, через зростання уп разом з номером п, позитивні, то між тими ж границями втримується й дріб

чисельник якої є сума всіх чисельників, написаних вище дробів, а знаменник - сума всіх знаменників. Отже, при n > N

запишемо тотожність

звідки

.

Другий доданок праворуч, як ми бачили вище, при n > N стає < .

Перший же доданок, через те, що, також буде < , скажемо, для n > N’. Якщо при цьому взяти N’ > N, то для n > N’ очевидно

,

що й доводить наше твердження.

Випадок нескінченної межі приводиться до вище розглянутого. Нехай, наприклад,

Звідси, насамперед, випливає, що (для досить більших n)

отже, разом з уn і , причому варіанта хп зростає зі зростанням номера п. У такому випадку, доведену теорему можна застосувати до зворотного відношення :

(тому що тут межа вже кінцева), звідки й треба, що

,

що й було потрібно довести.

5. Приклади на застосування теореми "Штольца"

1. Обчислити

Установимо одну допоміжну нерівність (нерівність Як. Бернуллі):

якщо п - натуральне число, більше одиниці, і ?>1, те

(*)

Дійсно, поклавши ? =1+?, де ? > 0, по формулі Бінома Ньютона будемо мати:

тому що ненаписані члени позитивні, те

,

що рівносильне нерівності (*).

так само й у нашій задачі, поклавши а = 1+?, так що ? > 0, маємо по формулі Бінома Ньютона

.

Тому що для n > 2, мабуть, , те остаточно,

При k = 1, одержуємо відразу

так що

Тому що цей результат вірний при будь-якому а > 1, те, взявши k > 1, можемо затверджувати (принаймні, для досить більших n)

так що

(а > 1).

Доведений, таким чином, для k = 1, цей результат тим більш буде вірний і для k < 1.

Цей результат за допомогою теореми Штольца виходить відразу

2. Застосуємо теорему Штольца до доказу наступної цікавої пропозиції (Коші):

Якщо варіанта ап має межа (кінцева або нескінченний), то та ж межа має й варіанта