Предел последовательности. Теорема Штольца

Курсовая работа

"Предел последовательности. Теорема Штольца"

Содержание

Введение

Предел последовательности

Свойства сходящихся последовательностей

Примеры нахождения пределов последовательности

Теорема «Штольца»

Примеры на применение теоремы Штольца

Заключение

Список литературы

Введение

Одним из основополагающих разделов курса математического анализа является раздел, изучающий теорию предела последовательности и предела функции. Данная теория является значимой для изучения многих других разделов математического анализа, а также других дисциплин математики.

Целью данной курсовой работы является доказательство теоремы Штольца. В работе подробно рассмотрены следующие аспекты: понятие предела последовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательности с подробным разбором решения, теорема Штольца и примеры её применения.

Введение

Тема данной курсовой работы «Предел последовательности. Теорема Штольца». Для того чтобы углубиться в изучение данного вопроса, для начала, вспомним некоторые определения, утверждения и теоремы из начального изучения математического анализа, вплотную касающиеся основной проблемы затронутой в курсовой работе.

В физике и в других науках о природе встречалось множество различных величин: время, длина, объём, вес и т.п. Любая из них, смотря по обстоятельствам, то принимала различные значения, то лишь одно.

В математике, однако, мы отвлекаемся от физического смысла рассматриваемой величины, интересуясь лишь числом, которым она выражается физический смысл величины, снова приобретает важность, лишь, когда занимаются приложениями математики. Таким образом, для нас переменная величина (или короче – переменная) является отвлечённой или числовой переменной. Её обозначают каким-либо символом (буквой, например, х), которому приписывают числовые значения.

Переменная считается заданной, если указанно множество Х={х} Постоянную величину (короче – постоянную) удобно рассматривать как частный случай переменной; он отвечает предположению, что множество Х={х} состоит из одного элемента.

Перейдём к установлению понятия числовой последовательности.

Определение: если каждому n є N, поставлено в соответствие xn є N, то говорят, что

(1)

образуют числовую последовательность.

– члены последовательности

– общий член последовательности

Введённое определение подразумевает, что любая числовая последовательность должна быть бесконечна, но не означает, что все члены должны быть различные числа.

Числовая последовательность считается заданной, если указан закон, по которому можно найти любой член последовательности.

Члены или элементы последовательности (1) занумерованы всеми натуральными числами в порядке возрастания номеров. При n+1 > n-1 член следует за членом ( предшествует ), независимо от того, будет ли само число больше, меньше или даже равно числу .

Определение: Переменную x, принимающую некоторую последовательность (1) значений, мы – следуя Мерэ (Ch. Meray) – будем называть вариантой.

В школьном курсе математики можно встретить переменные именно такого типа, типа варианты.

Например, последовательность вида

(арифметическая) или вида

(геометрическая прогрессия)

Переменный член той или другой прогрессии есть варианта.

В связи с определением длины окружности обычно рассматривается периметр правильного вписанного в окружность многоугольника, получаемого из шестиугольника последовательным удвоением числа сторон. Таким образом, эта варианта принимает последовательность значений:

Упомянем ещё о десятичном приближении (по недостатку) к , со всё возрастающей точностью. Оно принимает последовательность значений:

и также представляет варианту.

Переменную x, пробегающую последовательность (1), часто обозначают через , отождествляя её с переменным («общим») членом этой последовательности.

Иногда варианта xп задаётся тем, что указывает непосредственно выражение для xп; так, в случае арифметической или геометрической прогрессии имеем, соответственно, xп =а+(n-1) d или xп =aqn-1. Пользуясь этим выражением, можно сразу вычислять любое значение варианты по заданному его номеру, не вычисляя предыдущих значений.

Для периметра правильного вписанного многоугольника такое общее выражение возможно лишь, если ввести число π; вообще периметр рm правильного вписанного m-угольника даётся формулой

Предел последовательности

Определение 1: Числовая последовательность {хп} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (т), что для любого элемента этой последовательности имеет место неравенство , при этом число М (т) называют верхней (нижней) гранью.

Определение 2: Числовая последовательность {хп} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. существуют М, т, что для любого

Обозначим А = max {|M|, |m|}, тогда очевидно, что числовая последовательность будет ограничена, если для любого выполняется равенство |xn|≤А, последнее неравенство есть условие ограниченности числовой последовательности.

Определение 3: числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если для любого А>0, можно указать такой номер N, что для всех n>N выполняется ||>A.

Определение 4: числовая последовательность {αn} называется бесконечно малой последовательностью, если для любого наперёд заданного ε > 0, можно указать такой номер N(ε), что для любого n > N(ε) будет выполняться неравенство | αn | < ε.

Определение 5: числовая последовательность {хп} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {хп – а} является бесконечно малой последовательностью. При этом само а – предел исходной числовой последовательности.

Из этого определения следует, что все бесконечно малые последовательности являются сходящимися и предел этих последовательностей = 0.

В связи с тем, что понятие сходящейся последовательности увязано с понятием бесконечно малой последовательности, то определение сходящейся последовательности можно дать в другой форме:

Определение 6: числовая последовательность {хп} называется сходящейся к числу а, если для любого сколь угодно малого найдётся такой , что для всех n > N выполняется неравенство

при ,

а – предел последовательности

Т.к. равносильно , а это означает принадлежность интервалу хn є (a – ε; a+ ε) или, что то же самое, принадлежит ε – окрестности точки а. Тогда мы можем дать ещё одно определение сходящейся числовой последовательности.

Определение 7: числовая последовательность {хп} называется сходящейся, если существует такая точка а, что в любой достаточно малой ε – окрестности этой точки находится сколь угодно элементов этой последовательности, начиная с некоторого номера N.

Замечание: согласно определениям (5) и (6), если а – предел последовательности {хп}, то xп – а является элементом бесконечно малой последовательности, т.е. xп – а = αn, где αn – элемент бесконечно малой последовательности. Следовательно, xп = а +αn, и тогда мы в праве утверждать, что если числовая последовательность {хп} сходится, то её всегда можно представить в виде суммы своего предела и элемента бесконечно малой последовательности.

Верно и обратное утверждение: если любой элемент последовательности {хп} можно представить в виде суммы постоянного числа и элемента бесконечно малой последовательности, то это постоянная и есть предел данной последовательности.

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1:

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство:

Предположим, что последовательность {xn} имеет два предела (а ≠ b)

xn → a, следовательно xn = a + αn, где αn элемент бесконечно малой последовательности;

xn → b, следовательно xn = b + βn, где βn элемент бесконечно малой последовательности;

Оценим разность данных равенств 0 = a – b + (αn - βn),

обозначим αn - βn = γn, γn – элемент бесконечно малой последовательности,

следовательно, γn = b – a,

а это означает, что все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу b – a, и тогда b – a = 0 по свойству бесконечно малой последовательности,

следовательно, b = a,

следовательно, последовательность не может иметь двух различных пределов.

Теорема 2:

Если все элементы последовательности {xn} равны С (постоянной), то предел последовательности {xn}, тоже равен С.

Доказательство:

Из определения предела, следует, С = С + 0.

Теорема 3:

Если последовательности {xn} и {уn} сходятся, то и последовательность {xn + уn} также сходится и её предел равен сумме её слагаемых (пределов).

Доказательство:

xn → a, следовательно xn = a + αn

уn → b, следовательно уn = b + βn

xn + уn = а + b + (αn + βn)

обозначим αn - βn = γn, следовательно xn + уn = а + b + γn, γn элемент бесконечно малой последовательности;

следовательно,

Следствие: разность двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, и её предел равен разности их пределов.

Теорема 4:

Если последовательности {xn} и {уn} сходятся, то и последовательность {xn * уn} также сходится и её предел равен произведению её множителей (пределов).

Доказательство:

xn → a, следовательно xn = a + αn

уn → b, следовательно уn = b + βn

xn * уn = (а + αn)*(b + βn)=аb+(а βn + bαn + αn βn)

обозначим γn = а βn + bαn + αn βn, где γn элемент бесконечно малой последовательности, получается

xn * уn = ab+ γn,

следовательно,

Теорема 5:

Если последовательности {xn} и {уn} сходятся к числам а и b соответственно, и если b ≠ 0, предел частного существует, конечен и равен частному пределов.

Доказательство:

Т.к. последовательность {уn} сходится к b, то по определению сходящейся последовательности, для любого ε > 0, найдётся N(ε), такой что для всех n > N, будет выполнятся неравенство |b – yn|< ε.

Тогда положив , видим, что

,

откуда следует

следовательно

.

Т.к., согласно условию b ≠ 0, то из последнего неравенства следует, что для всех n > N элементы последовательности {уn} не равны 0, значит именно с этого номера N можно определить последовательность

xn = a + αn

уn = b + βn, следовательно

обозначим γn = αпb – aβn, γn элемент бесконечно малой последовательности.

,

а тогда из последнего равенства, следует

, откуда

Характерные примеры нахождения пределов последовательности

Числовая последовательность задана общим членом xп, рассмотрим его:

при нахождении такого предела говорят, что будем раскрывать неопределённость вида .

при нахождении такого предела, говорят, что будем раскрывать неопределенность вида .

Для раскрытия неопределённости доделим числитель и знаменатель на наибольшую степень n.

Таким образом, имеет место правило:

Предел отношения двух многочленов равен бесконечности, если степень числителя больше степени знаменателя, нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя и отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны.

Для упрощения задачи нахождения предела последовательности, вышеуказанного вида, мы прибегаем к помощи теоремы Штольца.

Теорема Штольца

Для определения пределов неопределённых выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz).

Теорема: Пусть варианта , причём – хотя бы начиная с некоторого места – с возрастанием п и уп возрастает: т.е. уп+1 > yn. Тогда

если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Доказательство: Допустим сначала, что этот предел равен конечному числу L:

Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n > N будет

или

.

Значит, какое бы n > N ни взять, все дроби

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания уп вместе с номером п, положительны, то между теми же границами содержится и дробь

числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n > N

запишем тождество

откуда

.

Второе слагаемое справа, как мы видели выше, при n > N становится < .

Первое же слагаемое, ввиду того, что, также будет < , скажем, для n > N’. Если при этом взять N’ > N, то для n > N’ очевидно

,

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела приводится к выше рассмотренному. Пусть, например,

Отсюда, прежде всего, вытекает, что (для достаточно больших n)

следовательно, вместе с уn и , причем варианта хп возрастает с возрастанием номера п. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению :

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что

,

что и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров на применение данной теоремы

1. Вычислить

Установим одно вспомогательное неравенство (неравенство Як. Бернулли):

если п – натуральное число, большее единицы, и γ>1, то

(*)

Действительно, положив γ =1+λ, где λ > 0, по формуле Бинома Ньютона будем иметь:

так как ненаписанные члены положительны, то

,

что равносильно неравенству (*).

так же и в нашей задаче, положив а = 1+λ, так что λ > 0, имеем по формуле Бинома Ньютона

.

Так как для n > 2, очевидно, , то окончательно,

При k = 1, получаем сразу

так что

Так как этот результат верен при любом а > 1, то, взяв k > 1, можем утверждать (по крайней мере, для достаточно больших n)

так что

(а > 1).

Доказанный, таким образом, для k = 1, этот результат тем долее будет верен и для k < 1.

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу

2. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения (Коши):

Если варианта ап имеет предел (конечный или бесконечный), то тот же предел имеет и варианта

(«среднее арифметическое» первых п значений варианты ап).

Действительно, полагая по теореме Штольца

имеем:

Например, если мы знаем, что , то и

3. Рассмотрим теперь варианту (считая к – натуральным)

,

которая представляет неопределённость вида .

Полагая в теореме Штольца

будем иметь

НО

так что

используя следующее утверждение

,