Xreferat.com » Рефераты по математике » Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Міністерство освіти і науки України

Сумський Державний Університет


Кафедра Інформатики


Курсова робота


на тему:

«Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь»

«Метод скінченних різниць»


Суми 2006

Зміст


Вступ

Постановка задачі

Метод скінчених різниць

Дослідження точності

Збіжність різницевої схеми

Програмна реалізація(представлена на мові Delphi

Висновки

Література


Вступ


На сьогоднішній день існує багато чисельних методів розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Але всі вони поділяються на дві групи: наближені методи чисельного розв’язання і наближені аналітичні методи.

Наближені чисельні методи:

1.Розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші:

Припустимо, що розв'язок задачі (11.4), (11.5) будемо шукати у вигляді


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.6)


де Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - деяка константа, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - функція, що задовольняє однорідне рівняння


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.7)


а Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - функція, яка задовольняє неоднорідне рівняння


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.8)


Через те, що рівняння (11.4) є лінійним, функція Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівняньбуде його розв'язком для будь-якого Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Справді,


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


Якщо припустити, що розв’язок (11.6) задовольняє першу граничну умову (11.5) для будь-якого Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, то отримаємо рівняння

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


Ця гранична умова задовольняється, якщо покласти


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.9)

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.10)


Рівність (11.9) справедлива, коли прийняти, наприклад, що


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.11)


Щоб задовольнити рівність (11.10), можна покласти


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, якщо Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.12)

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, якщо Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.13)


Враховуємо, що одночасно Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь на нуль не перетворюються через умову (11.5).

Таким чином, для розв'язання крайової задачі (11.4), (11.5) необхідно знайти розв'язок задач


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.14)

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.15)


з початковими умовами (11.12) чи (11 13). Для цього можна використати будь-який чисельний метод розв'язання задачі Коші для рівнянь другого порядку. Наближений розв'язок цих рівнянь отримуємо на відрізку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, у результаті чого стають відомими значення Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Це дозволяє вибрати таку константу Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. щоб функція (11.6) задовольняла не тільки рівняння (11.12) і першу граничну умову, але і другу граничну умову (11.5). Маємо


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,


звідки


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,

якщо Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. (11.16)


Коли Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, то однорідна крайова задача


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


мас нетривіальний розв'язок Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, який є ознакою виродженості початкової задачі (11.4), (11.5).

2. Метод прицілювання:

Викладений вище метод редукції крайової задачі до задачі Коші має певні недоліки.

Він не дозволяє використовувати методи розв'язання задачі Коші зі змінним порядком і змінним кроком. Розв'язки Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь повинні обчислюватись на сітці з однаковим кроком, інакше знайти їх комбінацію (11.6) буде неможливо.

Використання методу, як правило, обмежується лише одновимірною лінійною задачею. Причина полягає в тому, що під час розв'язання системи рівнянь потрібно обчислювати не одне значення константи А (11.16), а матрицю А, що є далеко не простою задачею.

Метод не придатний для розв'язання нелінійних крайових задач.

Ці недоліки спричинилися до появи нових методів. На практиці двоточкова крайова задача (лінійна чи нелінійна) звичайно розв'язується методом прицілювання (стрільби), назва якого запозичена із теорії артилерійської стрільби. Відповідно до цього методу розв'язок шуканого рівняння другого порядку


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


із заданими граничними умовами


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


знаходять у такий спосіб: ітераційним розв'язанням задачі Коші


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.18)

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


підбирається значення першої похідної Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, для якої виконується друга крайова умова Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

Спочатку вибирається довільне значення Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і розв'язується задача Коші (11.18). Значення Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь бажано вибирати так, щоб наближений розв'язок на кінці інтервалу задовольняв умову Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (рис 1.). Потім вибирається Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, і розв'язання задачі Коші повторюється. Тепер бажано вибрати його так, щоб виконувалась умова Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (рис 1.).

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

рис. 3. Ілюстрація методу стрільби.


Після цього шляхом інтерполяції уточнюється значення Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь для задач Коші з початковими умовами:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

…….. …….. ……..


де Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - наближений розв'язок задачі Коші в точці Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь для вибраного значення Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

Метод прицілювання є універсальним і використовується для розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь-ого порядку. Слід зазначити, що довільний вибір початкового наближення Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь може привести до того, що задача (11.18) виявиться жорсткою навіть у випадку, коли задача (11.1), (11.2) є добре обумовленою.

Наближені аналітичні методи:

3.Метод колокацій:

У методі колокацій розв'язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукається у вигляді функції


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. (11.36)

де Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізкуЧисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Функція Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь повинна задовольняти задані граничні умови (11.5):


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.37,а)


а функціїЧисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - відповідні однорідні граничні умови, тобто


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. (11.37,б)


Через лінійність граничних умов функція Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь у (11.36) задовольняє граничним умовам (11.24) для будь-яких значень Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Наприклад, у точці Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь маємо


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.


Аналогічно для Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь отримаємо


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


Суть методу колокацій полягає в тому, що для заданих Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь точок на відрізку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, названих вузлами колокації, підбирають значення Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь так, щоб отримана при цьому функція Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.36) задовольняла рівняння (11.4) у кожному з вузлів колокації:

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь(11.38)

де

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.


Покладемо


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, (11.39)

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


тоді (11.39) матиме стандартний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.40)


відносно коефіцієнтів Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Якщо розв'язати цю систему і підставити отримані значення коефіцієнтів у вираз (11.36), отримаємо наближений розв'язок Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

Точність розв'язку крайової задачі методом колокацій залежить від типу базисних функцій Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. У конкретних задачах вибір цих функцій слід здійснювати з урахуванням апріорної інформації про розв'язки задачі або на основі емпіричних даних. Нехай Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - це лінійна функція


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, (11.41)


параметри якої визначимо таким чином, щоб вона задовольняла неоднорідні граничні умови (11.5), тобто з системи рівнянь

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. (11.42)


Функції Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: