Xreferat.com » Рефераты по математике » Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

рівнянь" width="40" height="25" align="BOTTOM" border="0" /> можна задати у вигляді:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. (11.43)


Очевидно, що за будь-яких Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь функція (11.43) задовольняє умову (11.37, а). Значення Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, за якого буде задовольнятися друга умова (11.37, б), таке:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. (11.44)


Якщо в умовах (11.37, а, б) Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, то можливий інший вибір, а саме:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. (11.45)


4.Метод Гальоркіна

Як і в методі колокацій, у методі Гальоркіна наближений розв'язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукаємо у вигляді


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.48)


де Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Функція Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - відповідні однорідні граничні умови (11.37, 6).

Необхідно, щоб система базисних функцій Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь була ортогональною на відрізку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, тобто


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь при Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,


і повною. Остання вимога означає, що не повинно існувати ніякої іншої відмінної від нуля функції, яка ортогональна до всіх функцій Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

Використовуючи наближений розв'язок (11.48) знайдемо нев'язку:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.49)


Коефіцієнти Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь мають бути такими, щоб значення інтеграла від квадрата нев'язкиЧисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

було найменшим.

Це досягається лише в тому випадку, коли нев'язка Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь ортогональна до всіх базисних функцій Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Умову ортогональності запишемо у вигляді:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


або

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.50)


Таким чином, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для обчислення коефіцієнтів Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

5.Метод найменших квадратів

У методі найменших квадратів наближений розв'язок крайової задачі (11.4) і (11.5) задасться у вигляді:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, (11.54)


де Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Функція Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - відповідні однорідні граничні умови (11.38, б).

Підставимо наближений розв'язок (11.54) у рівняння (11.4) і знайдемо нев'язку:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, (11.55)


абсолютна величина якої для Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь повинна бути якомога меншою. Тому вимагатимемо, щоб виконувалася умова


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.56)


Значення інтегралу будуть мінімальними за умов:

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь,

… … … …

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.


На основі цих умов формується система лінійних рівнянь для обчислення коефіцієнтів Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

6.Метод скінченних елементів

Метод Гальоркіна накладає певні обмеження на вибір системи базисних функцій, які залежать від граничних умов крайової задачі. Це обмеження значно ускладнює реалізацію методу, особливо під час розв'язання задач математичної фізики. Це обмеження можна подолати, якщо для апроксимації розв'язку використовувати систему простих базисних функцій, які залежать від координат вузлів на відрізку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. У цьому випадку розв'язання крайової задачі зводиться до формування і розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тому метод отримав назву методу скінченних елементів. Його часто використовують для розв'язання дво- та тривимірних диференціальних рівнянь із частинними похідними.

Шукатимемо наближений розв'язок задачі


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.59)


як лінійну комбінацію простих однотипних функцій

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, (11.60)


що мають вигляд


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.61)


і, як правило, називаються фінітними. Графік однієї з таких функцій наведено на рис. 2, де видно, що функція не дорівнює нулю тільки на інтервалі Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Щодо множини фінітних функцій, які задаються на відрізку Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь відомо, що вони лінійно незалежні (більш того, ортогональні в спеціальній енергетичній нормі) і утворюють повну систему в просторі Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.Це дає підставу використати їх як базисні функції в методі Гальоркіна.


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

рис. 3. Графік фінітної функції.


Запишемо умову ортогональності (11.50):


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.62)

і отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.Праві частини цих рівнянь позначимо через Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і отримаємо для їх обчислення вираз


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь(11.63)


Коефіцієнти системи рівнянь (11.62) позначимо через


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


Знайдемо вирази для коефіцієнтів системи рівнянь Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з невідомими Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Підставляючи в останній вираз Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, отримаємо


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


Перший з інтегралів у цьому виразі обчислимо по частинах:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


Оскільки за граничних умов (11.60) використовуються Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, базисних функцій від Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь до Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і всі вони в точках Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь дорівнюють 0, то

Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


Тоді вираз для обчислення набуває вигляду:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь(11.64)


Для обчислення Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь треба знайти значення похідних від фінітних функцій. Із цією метою диференціюємо (11.61) і отримуємо:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.65)


Функція відмінна від нуля тільки на інтервалі Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Крім того, на одному і тому ж інтервалі ненульовими є дві базисні функції і їх похідні з сусідніми індексами (рис. 3), тобто на інтервалі Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь відмінні від нуля Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і т. д.


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

рис. 3. Система фінітних функцій.

У виразі для Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.64) добутки Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь можна вважати відмінними від нуля тому, що на елементарному інтервалі не дорівнюють нулю фінітні функції та їх похідні, які мають сусідні індекси у випадках, коли Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. А це означає, що


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь для Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, (11.66)


тобто матриця системи Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.62) є тридіагональною матрицею. її ненульові елементи обчислюються таким чином. Формули для діагональних елементів отримаємо, приймаючи Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь у виразі (11.64):


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.67)


Для Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, отримаємо формули для елементів правої бічної діагоналі матриці Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, (11.68)


а для Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь - лівої;


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь


Три останні вирази визначають систему алгебраїчних рівнянь (11.62) для невідомих коефіцієнтів Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

Розглянемо розв’язання задачі (11.59) у випадку неоднорідних граничних умов


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (11.70)


і зведемо її до розв'язання задачі з однорідними граничними умовами. Для цього введемо заміну:


Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, де Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: