Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь
, . (11.43)
Очевидно, що за будь-яких функція (11.43) задовольняє умову (11.37, а). Значення , за якого буде задовольнятися друга умова (11.37, б), таке:
. (11.44)
Якщо в умовах (11.37, а, б) , то можливий інший вибір, а саме:
,
. (11.45)
4.Метод Гальоркіна
Як і в методі колокацій, у методі Гальоркіна наближений розв'язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукаємо у вигляді
(11.48)
де , - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку . Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції , - відповідні однорідні граничні умови (11.37, 6).
Необхідно, щоб система базисних функцій , була ортогональною на відрізку , тобто
при і ,
і повною. Остання вимога означає, що не повинно існувати ніякої іншої відмінної від нуля функції, яка ортогональна до всіх функцій , .
Використовуючи наближений розв'язок (11.48) знайдемо нев'язку:
(11.49)
Коефіцієнти мають бути такими, щоб значення інтеграла від квадрата нев'язки
було найменшим.
Це досягається лише в тому випадку, коли нев'язка ортогональна до всіх базисних функцій . Умову ортогональності запишемо у вигляді:
,
або
, (11.50)
Таким чином, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для обчислення коефіцієнтів
5.Метод найменших квадратів
У методі найменших квадратів наближений розв'язок крайової задачі (11.4) і (11.5) задасться у вигляді:
, (11.54)
де , - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку . Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції , - відповідні однорідні граничні умови (11.38, б).
Підставимо наближений розв'язок (11.54) у рівняння (11.4) і знайдемо нев'язку:
, (11.55)
абсолютна величина якої для повинна бути якомога меншою. Тому вимагатимемо, щоб виконувалася умова
(11.56)
Значення інтегралу будуть мінімальними за умов:
,
,
,
… … … …
.
На основі цих умов формується система лінійних рівнянь для обчислення коефіцієнтів .
6.Метод скінченних елементів
Метод Гальоркіна накладає певні обмеження на вибір системи базисних функцій, які залежать від граничних умов крайової задачі. Це обмеження значно ускладнює реалізацію методу, особливо під час розв'язання задач математичної фізики. Це обмеження можна подолати, якщо для апроксимації розв'язку використовувати систему простих базисних функцій, які залежать від координат вузлів на відрізку . У цьому випадку розв'язання крайової задачі зводиться до формування і розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тому метод отримав назву методу скінченних елементів. Його часто використовують для розв'язання дво- та тривимірних диференціальних рівнянь із частинними похідними.
Шукатимемо наближений розв'язок задачі
, (11.59)
як лінійну комбінацію простих однотипних функцій
, (11.60)
що мають вигляд
(11.61)
і, як правило, називаються фінітними. Графік однієї з таких функцій наведено на рис. 2, де видно, що функція не дорівнює нулю тільки на інтервалі . Щодо множини фінітних функцій, які задаються на відрізку відомо, що вони лінійно незалежні (більш того, ортогональні в спеціальній енергетичній нормі) і утворюють повну систему в просторі .Це дає підставу використати їх як базисні функції в методі Гальоркіна.
рис. 3. Графік фінітної функції.
Запишемо умову ортогональності (11.50):
, (11.62)
і отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих .Праві частини цих рівнянь позначимо через і отримаємо для їх обчислення вираз
(11.63)
Коефіцієнти системи рівнянь (11.62) позначимо через
Знайдемо вирази для коефіцієнтів системи рівнянь з невідомими . Підставляючи в останній вираз , отримаємо
Перший з інтегралів у цьому виразі обчислимо по частинах:
Оскільки за граничних умов (11.60) використовуються , базисних функцій від до і всі вони в точках і дорівнюють 0, то
Тоді вираз для обчислення набуває вигляду:
(11.64)
Для обчислення треба знайти значення похідних від фінітних функцій. Із цією метою диференціюємо (11.61) і отримуємо:
(11.65)
Функція відмінна від нуля тільки на інтервалі . Крім того, на одному і тому ж інтервалі ненульовими є дві базисні функції і їх похідні з сусідніми індексами (рис. 3), тобто на інтервалі відмінні від нуля , , , і т. д.
рис. 3. Система фінітних функцій.
У виразі для (11.64) добутки , , можна вважати відмінними від нуля тому, що на елементарному інтервалі не дорівнюють нулю фінітні функції та їх похідні, які мають сусідні індекси у випадках, коли . А це означає, що
для , (11.66)
тобто матриця системи (11.62) є тридіагональною матрицею. її ненульові елементи обчислюються таким чином. Формули для діагональних елементів отримаємо, приймаючи у виразі (11.64):
(11.67)
Для , отримаємо формули для елементів правої бічної діагоналі матриці :
, (11.68)
а для - лівої;
Три останні вирази визначають систему алгебраїчних рівнянь (11.62) для невідомих коефіцієнтів .
Розглянемо розв’язання задачі (11.59) у випадку неоднорідних граничних умов
, (11.70)
і зведемо її до розв'язання задачі з однорідними граничними умовами. Для цього введемо заміну:
, де