Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь
Зауваження:
На стійкість різницевої схеми впливає не тільки апроксимація рівнянь (1) (тобто оператора А), але, і особливо, крайових умов (2).
Якщо змінних у задачі мало, то розглядають безумовну й умовну стійкість;
Збіжність різницевої схеми
Розв’язуючи сіткову задачу (3)-(4) нас цікавить близькість сіткового розв’язку у(х) до розв’язку и(х) задачі (1)-(2). Різницевий розв’язок у(х) збігається до розв’язку и(х), якщо
(10)
Різницевий розв’язок має порядок точності , якщо
(10')
Нагадаємо ще раз, що ми розглядаємо лише коректні різницеві схеми (3)-(4), тобто рішення різницевої схеми існує і єдино при будь-яких вхідних даних и з заданих класів функцій і схема стійка по вхідним даної (її рішення неперервно них залежить).
Теорема: Якщо розв’язок задачі (1)-(2) існує, різницева схема (3)-(4) коректна и апроксимує задачу (1)-(2), то різницевий розв’язок збігається до точного:
("Апроксимація + Стійкість =>Збіжність").
Доведення: Запишемо нев’язку різницевої схеми (3)-(4).
(*)
Функція u(x) задовольняє задачі (*) — збуреній задачі (3)-(4). Так як схема стійка, то :
В силу апроксимації має місце
Таким чином: маємо
тобто і при
Зауваження:
Якщо яка-небудь дана нам умова апроксимується точно, то стійкість по ній можна не вимагати, тому що вона не вносить похибки у розв’язок (окрім помилок округлення, тоді стійкість по цим даним потрібна).
Для умовної апроксимації (чи стійкості) збіжність теж носить умовний характер.
Програмна реалізація(представлена на мові Delphi)
Розв’язати диференційне рівняння:
З крайовими умовами:
Розв’язання з використанням методу Гауса:
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, ExtCtrls, StdCtrls, Buttons;
type
TForm1 = class(TForm)
Panel1: TPanel;
Label1: TLabel;
Image1: TImage;
Image2: TImage;
Label2: TLabel;
LabeledEdit1: TLabeledEdit;
LabeledEdit2: TLabeledEdit;
LabeledEdit3: TLabeledEdit;
LabeledEdit4: TLabeledEdit;
LabeledEdit5: TLabeledEdit;
LabeledEdit6: TLabeledEdit;
LabeledEdit7: TLabeledEdit;
LabeledEdit8: TLabeledEdit;
LabeledEdit9: TLabeledEdit;
LabeledEdit10: TLabeledEdit;
LabeledEdit11: TLabeledEdit;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
SpeedButton1: TSpeedButton;
LabeledEdit12: TLabeledEdit;
Label5: TLabel;
Image3: TImage;
procedure FormCreate(Sender: TObject);
procedure SpeedButton1Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
type Dynmas=array of array of real;
dynvec=array of real;
var a,b,pi,qi,fi,a1,a2,b1,b2,AA,BB:real;
eps,h:real;
c:dynmas;
st,m,i:integer;
x,d,y,memory:dynvec;
t_all,tx,ty,k_i:textfile;
g:boolean;
str:string;
implementation
uses Unit2;
{$R *.dfm}
function Gauss(n:Integer; a:dynmas; b:dynVec; var x:dynVec):Boolean;
Var i,j,k,l:Integer;
q,m,t:real;
Begin
for k:=0 to n-2 do
begin
l:=-1;
m:=0;
for i:=k to n-1 do
if Abs(a[i, k])>m then
begin
m:=Abs(a[i, k]);
l:=i;
end;
if l=-1 then
begin
Gauss:=false;
Exit;
end;
if l<>k then
begin
For j:=0 to n-1 do
begin
t:=a[k,j];
a[k,j]:=a[l,j];
a[l,j]:=t;
end;
t:=b[k];
b[k]:=b[l];
b[l]:=t;
end;
for i:=k+1 to n-1 do
begin
q:=a[i,k]/a[k,k];
for j:=0 to n-1 do
If j=k then
a[i,j]:= 0
else
a[i,j]:= a[i,j]-q*a[k,j];
b[i]:=b[i]-q*b[k];
end;
end;
if a[n-1,n-1]<>0 then
x[n-1]:=b[n-1]/a[n-1,n-1]
else
begin
Gauss:=false;
Exit;
end;
for i:=n-2 downto 0 do
begin
t:=0;
for j:=1 to n-i do
t:=t+a[i,i+j]*x[i+j];
x[i]:=(1/a[i,i])*(b[i]-t);
end;
Gauss := true;
end;
procedure Koef(var s:dynmas; k:integer; h:real; v:dynvec; var z:dynvec);
var i:integer;
begin
s[0,0]:=h*a1-a2; s[0,1]:=a2;
z[0]:=h*AA;
for i:=0 to 2*(k-1) do
begin
s[i+1,i]:=1-(h*pi*ln(v[i]))/2;
s[i+1,i+1]:=h*h*qi-2;
s[i+1,i+2]:=1+(h*pi*ln(v[i]))/2;
z[i+1]:=h*h*fi;
end;
s[2*k,2*k-1]:=-b2; s[2*k,2*k]:=h*b1+b2;
z[2*k]:=h*BB;
end;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
getdir(0,str);
str:=str+'otv';
end;
procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);
begin
if (form1.LabeledEdit1.Text='') and
(form1.LabeledEdit9.Text='') and
(form1.LabeledEdit12.Text='') then
begin
showmessage('так як ви не ввели коефіцієнти, то программа буде задіяна зі стандартним набором данних');
pi:=-1;
qi:=-2;
fi:=1;
a1:=1;
a2:=-1;
a:=0.5;
AA:=1;
b1:=1;
b2:=1;
b:=1.5;
BB:=0;
eps:=0.0001;
end
else
begin
pi:=strtofloat(form1.LabeledEdit1.Text);
qi:=strtofloat(form1.LabeledEdit2.Text);
fi:=strtofloat(form1.LabeledEdit3.Text);
a1:=strtofloat(form1.LabeledEdit4.Text);
a2:=strtofloat(form1.LabeledEdit5.Text);
a:=strtofloat(form1.LabeledEdit6.Text);
AA:=strtofloat(form1.LabeledEdit7.Text);
b1:=strtofloat(form1.LabeledEdit8.Text);
b2:=strtofloat(form1.LabeledEdit9.Text);
b:=strtofloat(form1.LabeledEdit10.Text);
BB:=strtofloat(form1.LabeledEdit11.Text);
eps:=strtofloat(form1.LabeledEdit12.Text);
end;
form2.Series1.Clear;
AssignFile(t_all,str+'otv.txt');
AssignFile(tx,str+'otv_x.txt');
AssignFile(ty,str+'otv_y.txt');
AssignFile(k_i,str+'otv_krok_vuzl.txt');
Rewrite(t_all);
m:=1;
g:=false;
While not g do
begin
h:=(b-a)/(2*m);
SetLength(y,2*m+1);
SetLength(x,2*m+1);
SetLength(d,2*m+1);
for i:=0 to 2*m do
x[i]:=a+i*h;
Setlength(c,2*m+1);
for i:=0 to 2*m do
Setlength(c[i],2*m+1);
Koef(c,m,h,x,d);
if gauss(2*m+1,c,d,y)<>true then
break;
if m<>1 then
for i:=0 to m do
if abs(memory[i]-y[2*i])/15>eps then
begin
g:=false;
break;
end
else
g:=true;
SetLength(memory,2*m+1);
memory:=Copy(y);
if g then
writeln(t_all,'Крайова задача розвязана з точністю eps =',eps:0:4);
for i:=0 to 2*m do
begin
write(t_all,y[i]:0:10);
write(t_all,' ');
writeln(t_all,x[i]:0:10);
end;
Writeln(t_all,'Кількість вузлів - ',2*m+1);
Writeln(t_all,'Крок сітки - ',h:0:10);
Writeln(t_all);
st:=m;
m:=m*2;
end;
rewrite(ty);
rewrite(tx);
rewrite(k_i);
writeln(k_i,h:0:10);
writeln(k_i,2*m+1);
form2.StringGrid1.ColCount:=2*st+2;
for i:=0 to (2*st+1) do
begin
form2.StringGrid1.Cells[i+1,0]:=inttostr(i+1);
form2.StringGrid1.Cells[i+1,1]:=floattostr(x[i]);
form2.StringGrid1.Cells[i+1,2]:=floattostr(y[i]);
writeln(ty,y[i]:0:10);
writeln(tx,x[i]:0:10);
end;
for i:=0 to (2*st) do
form2.Series1.AddXY(x[i],y[i]);
form2.Label1.Caption:='Крок сітки - '+floattostr(h);
form2.Label2.Caption:='Кількість вузлів - '+floattostr(2*st+1);
CloseFile(t_all);
CloseFile(tx);
CloseFile(ty);
CloseFile(k_i);
form2.Show;
end;
end.
Результати записуємо у файл.
Графік отриманий програмою:
Розв’язання з використанням методу прогонки:
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, ExtCtrls, StdCtrls, Buttons;
type
TForm1 = class(TForm)
Panel1: TPanel;
Label1: TLabel;
Image1: TImage;
Image2: TImage;
Label2: TLabel;
LabeledEdit1: TLabeledEdit;
LabeledEdit2: TLabeledEdit;
LabeledEdit3: TLabeledEdit;
LabeledEdit4: TLabeledEdit;
LabeledEdit5: TLabeledEdit;
LabeledEdit6: TLabeledEdit;
LabeledEdit7: TLabeledEdit;
LabeledEdit8: TLabeledEdit;
LabeledEdit9: TLabeledEdit;
LabeledEdit10: TLabeledEdit;
LabeledEdit11: TLabeledEdit;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
SpeedButton1: TSpeedButton;
LabeledEdit12: TLabeledEdit;
Label5: TLabel;
Image3: TImage;
procedure FormCreate(Sender: TObject);
procedure SpeedButton1Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
type Dynmas=array of array of real;
dynvec=array of real;
var a,b,pi,qi,fi,a1,a2,b1,b2,AA,BB:real;
eps,h:real;
c:dynmas;
st,m,i:integer;
w_,v_,x,d,y,memory:dynvec;
t_all,tx,ty,k_i:textfile;
g:boolean;
time1,time2,vremja:longint;
str:string;
implementation
uses Unit2;
{$R *.dfm}
Function Timer:longint;
const c60:longint=60;
var h,m,s,s100:word;
begin
decodetime(now,h,m,s,s100);
timer:=((h*c60+m)*c60+s)*100+s100;
end;
function progonka(n:Integer; a:dynmas; b:dynVec; var x:dynVec):boolean;
Var i,j,k,l:Integer;
q,m,t:real;
ls:integer;
Begin
{прямой ход}
w_[0]:=(-a[0,1]/a[0,0]);
v_[0]:=(d[0]/a[0,0]);
for i:=1 to n-1 do
begin
w_[i]:=-(a[i,i+1]/(a[i,i-1]*w_[i-1]+a[i,i]));
v_[i]:=(d[i]-a[i,i-1]*v_[i-1])/(a[i,i-1]*w_[i-1]+a[i,i]);
end;
{w_[n]:= ;
v_[n]:= ;}
for i:=0 to n-1 do
begin
x[i]:=v_[i]+w_[i]*x[i+1];
end;
x[n-1]:=v_[n-1];
{обратный ход}
x[n-1]:=v_[n-1];
for i:=n-1 downto 0 do
begin
x[i]:=w_[i]*x[i+1]+v_[i];
end;
{for k:=0 to n-2 do
begin
l:=-1;
m:=0;
for i:=k to n-1 do
if Abs(a[i, k])>m then
begin
m:=Abs(a[i, k]);
l:=i;
end;
if l=-1 then
begin
progonka:=false;
Exit;
end;
if l<>k then
begin
For j:=0 to n-1 do
begin
t:=a[k,j];
a[k,j]:=a[l,j];
a[l,j]:=t;
end;
t:=b[k];
b[k]:=b[l];
b[l]:=t;
end;
for i:=k+1 to n-1 do
begin
q:=a[i,k]/a[k,k];
for j:=0 to n-1 do
If j=k then
a[i,j]:= 0
else
a[i,j]:= a[i,j]-q*a[k,j];
b[i]:=b[i]-q*b[k];
end;
end;
if a[n-1,n-1]<>0 then
x[n-1]:=b[n-1]/a[n-1,n-1]
else
begin
progonka:=false;
Exit;
end;
for i:=n-2 downto 0 do
begin
t:=0;
for j:=1 to n-i do
t:=t+a[i,i+j]*x[i+j];
x[i]:=(1/a[i,i])*(b[i]-t);
end;}
progonka := true;
end;
procedure Koef(var s:dynmas; k:integer; h:real; v:dynvec; var z:dynvec);
var i:integer;
begin
s[0,0]:=h*a1-a2; s[0,1]:=a2;
z[0]:=h*AA;
for i:=0 to 2*(k-1) do
begin
s[i+1,i]:=1-(h*pi*ln(v[i]))/2;
s[i+1,i+1]:=h*h*qi-2;
s[i+1,i+2]:=1+(h*pi*ln(v[i]))/2;
z[i+1]:=h*h*fi;
end;
s[2*k,2*k-1]:=-b2; s[2*k,2*k]:=h*b1+b2;
z[2*k]:=h*BB;
end;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
begin
getdir(0,str);
str:=str+'otv';
vremja:=0;
end;
procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);
begin
if (form1.LabeledEdit1.Text='') and
(form1.LabeledEdit9.Text='') and
(form1.LabeledEdit12.Text='') then
begin
showmessage('так як ви не ввели коефіцієнти, то программа буде задіяна зі стандартним набором данних');
pi:=-1;
qi:=-2;
fi:=1;
a1:=1;
a2:=-1;
a:=0.5;
AA:=1;
b1:=1;
b2:=1;
b:=1.5;
BB:=0;
eps:=0.0001;
end
else
begin
pi:=strtofloat(form1.LabeledEdit1.Text);
qi:=strtofloat(form1.LabeledEdit2.Text);
fi:=strtofloat(form1.LabeledEdit3.Text);
a1:=strtofloat(form1.LabeledEdit4.Text);
a2:=strtofloat(form1.LabeledEdit5.Text);
a:=strtofloat(form1.LabeledEdit6.Text);
AA:=strtofloat(form1.LabeledEdit7.Text);
b1:=strtofloat(form1.LabeledEdit8.Text);
b2:=strtofloat(form1.LabeledEdit9.Text);
b:=strtofloat(form1.LabeledEdit10.Text);
BB:=strtofloat(form1.LabeledEdit11.Text);
eps:=strtofloat(form1.LabeledEdit12.Text);
end;
time2:=timer;
form2.Series1.Clear;
AssignFile(t_all,str+'otv.txt');
AssignFile(tx,str+'otv_x.txt');
AssignFile(ty,str+'otv_y.txt');
AssignFile(k_i,str+'otv_krok_vuzl.txt');
Rewrite(t_all);
m:=1;
g:=false;
While not g do
begin
h:=(b-a)/(2*m);
SetLength(y,2*m+1);
SetLength(x,2*m+1);
SetLength(d,2*m+1);
SetLength(w_,2*m+1);
SetLength(v_,2*m+1);
for i:=0 to 2*m do
x[i]:=a+i*h;
Setlength(c,2*m+1);
for i:=0 to 2*m do
Setlength(c[i],2*m+1);
Koef(c,m,h,x,d);
if progonka(2*m+1,c,d,y)<>true then
break;
if m<>1 then
for i:=0 to m do
if abs(memory[i]-y[2*i])/15>eps then
begin
g:=false;
break;
end
else
g:=true;
SetLength(memory,2*m+1);
memory:=Copy(y);
if g then
writeln(t_all,'Крайова задача розвязана з точністю eps =',eps:0:4);
for i:=0 to 2*m do
begin
write(t_all,y[i]:0:10);
write(t_all,' ');
writeln(t_all,x[i]:0:10);
end;
Writeln(t_all,'Кількість вузлів - ',2*m+1);
Writeln(t_all,'Крок сітки - ',h:0:10);
Writeln(t_all);
st:=m;
m:=m*2;
end;
rewrite(ty);
rewrite(tx);
rewrite(k_i);
writeln(k_i,h:0:10);
writeln(k_i,2*m+1);
form2.StringGrid1.ColCount:=2*st+2;
for i:=0 to (2*st+1) do
begin
form2.StringGrid1.Cells[i+1,0]:=inttostr(i+1);
form2.StringGrid1.Cells[i+1,1]:=floattostr(x[i]);
form2.StringGrid1.Cells[i+1,2]:=floattostr(y[i]);
writeln(ty,y[i]:0:10);
writeln(tx,x[i]:0:10);
end;
for i:=0 to (2*st) do
form2.Series1.AddXY(x[i],y[i]);
form2.Label1.Caption:='Крок сітки - '+floattostr(h);
form2.Label2.Caption:='Кількість вузлів - '+floattostr(2*st+1);
time1:=timer;
vremja:=abs(time2-time1);
form2.Label3.Caption:='час роботи: '+floattostr(vremja*0.01)+' секунд(и)';
writeln(k_i,vremja*0.01:0:5);
CloseFile(t_all);
CloseFile(tx);
CloseFile(ty);
CloseFile(k_i);
form2.Show;
end;
end
Результати записуємо у файл.
Графік отриманий програмою:
Якщо проаналізувати ці два приклади програми:
1)з використанням методу Гауса для розв’язання тридіагональної матриці;
2)з використанням методу прогонки для розв’язання тридіагональної матриці.
Ми можемо сказати, що для однієї і тієї ж задачі час розв’язання з використанням 1ого методу складає 2,99 сек., а для 2ого 0.1 сек. Така розбіжність у часі випливає з того, що метод прогону є модифікацією методу Гауса і призначений спеціально для розв’язку матриць з 3и і 5и діагональними структурами.
Розв’язуємо задачу за допомогою пакету Mathematica:
100
0.01
-0.123705
MultipleListPlot[{{0.5,0.154796},{0.51,0.146438},{0.52,0.138265},{0.53,0.130272},{0.54,0.122456},{0.55,0.114812},{0.56,0.107336},{0.57,0.100024},{0.58,0.0928731},{0.59,0.0858792},{0.6,0.079039},{0.61,0.0723491},{0.62,0.0658064},{0.63,0.0594079},{0.64,0.0531504},{0.65,0.0470312},{0.66,0.0410475},{0.67,0.0351966},{0.68,0.0294758},{0.69,0.0238829},{0.7,0.0184152},{0.71,0.0130705},{0.72,0.00784647},{0.73,0.00274101},{0.74,-0.002248},{0.75,-0.00712262},{0.76,-0.0118848},{0.77,-0.0165364},{0.78,-0.0210793},{0.79,-0.0255153},{0.8,-0.029846},{0.81,-0.0340732},{0.82,-0.0381983},{0.83,-0.0422231},{0.84,-0.0461488},{0.85,-0.049977},{0.86,-0.0537091},{0.87,-0.0573463},{0.88,-0.06089},{0.89,-0.0643414},{0.9,-0.0677017},{0.91,-0.0709721},{0.92,-0.0741536},{0.93,-0.0772473},{0.94,-0.0802542},{0.95,-0.0831754},{0.96,-0.0860117},{0.97,-0.0887641},{0.98,-0.0914334},{0.99,-0.0940204},{1.,-0.096526},{1.01,-0.0989509},{1.02,-0.101296},{1.03,-0.103561},{1.04,-0.105748},{1.05,-0.107857},{1.06,-0.109889},{1.07,-0.111844},{1.08,-0.113722},{1.09,-0.115525},{1.1,-0.117252},{1.11,-0.118904},{1.12,-0.120482},{1.13,-0.121985},{1.14,-0.123415},{1.15,-0.124771},{1.16,-0.126054},{1.17,-0.127264},{1.18,-0.128401},{1.19,-0.129466},{1.2,-0.130459},{1.21,-0.131379},{1.22,-0.132228},{1.23,-0.133004},{1.24,-0.133708},{1.25,-0.134341},{1.26,-0.134902},{1.27,-0.135391},{1.28,-0.135808},{1.29,-0.136154},{1.3,-0.136427},{1.31,-0.136628},{1.32,-0.136757},{1.33,-0.136814},{1.34,-0.136798},{1.35,-0.136709},{1.36,-0.136547},{1.37,-0.136312},{1.38,-0.136004},{1.39,-0.135621},{1.4,-0.135164},{1.41,-0.134633},{1.42,-0.134026},{1.43,-0.133344},{1.44,-0.132586},{1.45,-0.131752},{1.46,-0.130841},{1.47,-0.129852},{1.48,-0.128786},{1.49,-0.127641},{1.5,-0.126416}},{{0.5,0.159038},{0.51,0.150628},{0.52,0.142405},{0.53,0.134363},{0.54,0.126498},{0.55,0.118807},{0.56,0.111285},{0.57,0.103929},{0.58,0.0967336},{0.59,0.0896968},{0.6,0.0828146},{0.61,0.0760838},{0.62,0.0695011},{0.63,0.0630634},{0.64,0.0567678},{0.65,0.0506112},{0.66,0.0445911},{0.67,0.0387046},{0.68,0.0329491},{0.69,0.0273222},{0.7,0.0218214},{0.71,0.0164443},{0.72,0.0111888},{0.73,0.00605251},{0.74,0.00103346},{0.75,-0.00387045},{0.76,-0.00866119},{0.77,-0.0133407},{0.78,-0.0179107},{0.79,-0.0223731},{0.8,-0.0267296},{0.81,-0.0309819},{0.82,-0.0351315},{0.83,-0.0391799},{0.84,-0.0431288},{0.85,-0.0469795},{0.86,-0.0507334},{0.87,-0.0543918},{0.88,-0.0579562},{0.89,-0.0614276},{0.9,-0.0648073},{0.91,-0.0680964},{0.92,-0.0712961},{0.93,-0.0744074},{0.94,-0.0774314},{0.95,-0.0803691},{0.96,-0.0832213},{0.97,-0.085989},{0.98,-0.0886731},{0.99,-0.0912744},{1.,-0.0937936},{1.01,-0.0962317},{1.02,-0.0985892},{1.03,-0.100867},{1.04,-0.103065},{1.05,-0.105185},{1.06,-0.107227},{1.07,-0.109192},{1.08,-0.11108},{1.09,-0.112891},{1.1,-0.114627},{1.11,-0.116287},{1.12,-0.117872},{1.13,-0.119382},{1.14,-0.120819},{1.15,-0.122181},{1.16,-0.123469},{1.17,-0.124684},{1.18,-0.125825},{1.19,-0.126894},{1.2,-0.12789},{1.21,-0.128813},{1.22,-0.129664},{1.23,-0.130442},{1.24,-0.131148},{1.25,-0.131781},{1.26,-0.132342},{1.27,-0.132831},{1.28,-0.133248},{1.29,-0.133592},{1.3,-0.133863},{1.31,-0.134062},{1.32,-0.134189},{1.33,-0.134242},{1.34,-0.134222},{1.35,-0.134129},{1.36,-0.133962},{1.37,-0.133722},{1.38,-0.133407},{1.39,-0.133018},{1.4,-0.132554},{1.41,-0.132015},{1.42,-0.1314},{1.43,-0.13071},{1.44,-0.129943},{1.45,-0.129098},{1.46,-0.128177},{1.47,-0.127177},{1.48,-0.126099},{1.49,-0.124942},{1.5,-0.123705}},PlotLegend{Mathematica,Rizn method},PlotJoined{False,True},PlotPosition{0.3,-0.5}]
Отримуємо графіки:
де червона – метод скінченних різниць.
синя – стандартний метод пакету Mathematica
Висновки
Крайова задача для звичайних диференціальних рівнянь є набагато складнішою, ніж задача Коші. Одним із підходів до розв'язання цієї задачі є зведення її до задачі Коші зі змінними початковими умовами. Розв'язок задачі отримують багаторазовим розв'язанням задачі Коші.
У загальному випадку для розв'язання двоточкової крайової задачі (одно- чи багатовимірної, лінійної чи нелінійної) доцільно застосовувати метод прицілювання, а для розв'язання окремих лінійних одновимірних задач — метод композиції двох розв'язків задачі Коші з різними початковими умовами.
Ефективним методом розв'язання лінійної крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку є метод скінченних різниць, у якому використовуються різницеві схеми апроксимації для похідних першого і другого порядків. У результаті крайова задача перетворюється на задачу розв'язання системи лінійних рівнянь із тридіагональною матрицею. Цю систему можна розв'язати методом прогону.
Метод скінченних різниць дозволяє також обчислювати власні значення і власні функції крайової задачі, які визначають нетривіальні розв'язки однорідної крайової задачі.
Метод скінченних різниць можна застосовувати і для розв'язання нелінійних крайових задач, але в цьому випадку необхідно лінеаризовувати нелінійні функції, що входять в умову задачі.
Розв'язок крайової задачі у вигляді апроксимуючого аналітичного виразу отримують методами колокацій, Гальоркіна і найменших квадратів введенням базисних функцій, які враховують граничні умови.
Коефіцієнти для базисних функцій та їх композиції, які апроксимують розв'язок крайової задачі, у методі колокацій вибирають з умови нульової нев'язки в обраних вузлах інтервалу розв'язку, у методі найменших квадратів — з умови мінімуму квадрату нев'язки, а в методі Гальоркіна — з умови ортогональності нев'язки до обраних базисних функцій.
У сучасних математичних пакетах розв'язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними конкуренцію розглянутим методам складає метод скінчених елементів, що базується на концепціях метода Гальоркіна за умови спеціального вибору базисних функцій.
Література
1.Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков «Численные методы»
2.В.А.Буслов, С.Л.Яковлев «Численные методы ІІ.Решение уравнений».-Курс лекций,- СПб, 2001.
3.Н.Н.Калиткин «Численные методы»
4.А.А.Самарский, А.В.Гулин «Численные методы»,- Москва,- «Наука»,-1989г.
5.Б.П.Демидович, И.А.Марон, Э.Э.Шувалов «Численные методы анализа»,-ред. Б.П.Демидовича,- Москва,- «Наука»,- 1967г.