Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)
Кольцом
называется
числ. множ. На
котором выполняются
три опер-ии:
слож, умнож,
вычит.
Полем
наз.
Числ множ. На
котором выполняются
4 операции: слож,
умнож, вычит,
деление(кроме
деления на 0).
Впопрос
1.
Система натуральных
чисел. Принцип
мат. Индукции.
Аксиомы Пиано: 1.В N cущ. ! элем. a’ непосредст. следующий за а. 2.Для люб-го числа а из N сущ-т ! эл-т а’ непосредственно следующий за а. 3. Для люб. элем-та из N сущ. не более 1 эл-та за которым непосредственно следует данный эл-т. 4. Пусть М ċ N и выполн-ся: 1. 1? М 2. если а?М след-но а’?M тогда М=N
опр: Любое множество N для эл-тов которого установлено отношение ‘непосредственно следовать за’ удавлет-щее аксиомама Пиано наз-ся множеством натуральных чисел.
Алгебр-ие операц-и на N: 1. Сложение – это алг. опер-я определенная на N и обладающая свойствами: 1.(для люб. а) а+1=а’ 2. (для люб. а,b) a+b’= (a+b)’ (a+b-сумма, а,b -слогаемые) Т.Сложение нат. чисел сущ и !. 2. Умножение: 1. для люб а а*1=а 2. для люб а,b a*b’=ab+a T/ Умножение нат чисел сущ. и !.
Свойства сложения: 1. для люб. а,bˆN a+b=b+a (комут-ть) 2. Длб люб. a,b,cˆN (a+b)+c=a+(b+c) (ассац-ть)
Свойства умнож-я: 1.(Для люб. а,bˆN) ab=ba 2. (для люб. a,b,c ˆN) (ab)c=a(bc) 3.(a,b,cˆN) a(b+c)=ab+ac
Операции вычитания и деления лишь частично выполняются на N. Отношение порядка на N: На N введем отношение ‘<’ cледующим образом: a
Принцип мат. индукции и его формулировки: 1. Если некоторое утвержд. А(n) с натураль. переменной n справедливо при n=1 и из справедливости при n=k следует справедливость при n=k+1 , то даное утверждение справедливо при любом nˆN.
2.
Если некоторое
утвер-е А(n)
справедлино
при n=1
и из справедливости
его для всех
n
3.
Если А(n)
справедливо
при n=a
и из справ-ти
при n=k
следует его
справ-ть при
n=k+1,
то данное утверж-е
будет справедл-во
при na.
Cвойства
N:
1. N-упорядоченное.
2. N
линейно упорядоченное
(т.е.вероно только
одно ab.)
3Сложение монотонно
на N
4. Умножение
монотонно. 5. N
бесконечное
и ограниченное
снизу еденицей.
6. Любое непустое
подмножество
множ. N
содержит наименьший
эл-т. 7. N
дискретно 8
Выполняется
принцип Архимда
(Va,bˆN)
(сущ. nˆN)
a*n>b Вопрос
2.
Простые
числа. Беск-ть
мн-ва простых
чисел. Канонич.
разложение
составного
числа и его !.
Всякое
число р?N,
р>1 не имеющее
др. натур-х делит-й,
кроме 1 и р, наз-ся
простым.
Всякое число
р?N≠1
и не явл-ся простым,
наз-ся составным.
Число 1 не явл-ся
ни простым, ни
сост-м. Мн-во N
можно разбить
на: простые,
сост-е и 1. Св-ва:
1. Наим-й делитель
всякого нат-го
числа есть
число простое.
2. Нат-е число
n
и простое число
р либо взаимнопростые,
либо р|n.
3. Если р-простое
и р|a1*a2*…*an
, то р|a1
или
р|a2
…или
р|an.
4. Если р|р1*р2*…*рn
и р, р1,
р2…
рn
– простые числа,
то р=р1
или р=р2
или… р=рn.
Наим-й
простой делитель
нат-го числа
n
не превос-т √n.
Док-во: пусть
р-наим-й простой
дел-ль n.
Покажем р≤√n.
р|n
=> n=р*q
(1), р≤q.
Заменим в (1) q
на р: n≥р2,
т.к. р2≤n,
р≤√n.
■
Всякое
нат-е число n>1
либо явл-ся
простым, либо
м.б. предст-а в
виде произв-я
простых множ-й
n=р1*р2*…*рr,
r≥1
(1) и (1) явл-ся ! с
точностью до
порядка следования
множ-й.
(1) наз-ся разл-м
числа n
на простые
множ-ли. Док-во:
1. док-во сущ-я
предст-я (1): Если
n
–число простое,
то ■. Пусть n-сост-е
и р1
его натур-й
дел-ль. Как было
док-но р1
число простое
и можно записать:
n=р*n1,
где р≤n1.
Если n1
число простое,
то ■; если n1
сост-е, то р2
– его наименьший
простой делитель.
n1=р2*n2,
n=р1*р2*n2.
Если n2
сост-е, то рассуждаем
аналог. Это
можно прод-ть
пока не придем
к какому-либо
ns=1.
То, что после
конечного числа
шагов такое
ns
должно получ-ся
=> из того, что
n>n1>n2>…>ns
мн-во
нат-х чисел,
т.е. все эти числа
меньше n.
Итак, через
конеч-е число
шагов число
n
можно пред-ть
в виде (1). 2. Док-во
!: Предпол-м, что
сущ-т 2 разлож-я
числа n
на простые
множ-ли n=p1*p2*…*pr
и n=q1*q1*…*qs,
где р1,
…рr,
q1,…qs
простые числа.
p1*p2*…*pr=
q1*q2*…*qs.
Нужно показ-ть
r=s.
Левая часть
делит-ся на р1
=> на р1
делит-ся и правая
часть. Учит-я,
что в правой
части стоят
также простые
числа, то по
свойству простых
чисел р совпадает
с одним из них.
Пусть р1=q1,
тогда после
сокращ-я: p2*…*pr=
q2*…*qs.
Аналог. рассуж-я,
убеждаемся,
что р2
совп-т с одним
из множ-й q.
Пусть р2=q2,
после сокр-я:
p3*…*pr=
q3*…*qs
и т.д. Предпол-м,
что r≠s.
Пусть r
N=p1
α1*
p2
α2*…
*pk
αk
– каноническое
разлож-е числа
n
на простые
множ-ли. Показ-т,
что все делители
числа n
исчерпыв-ся
числами вида
p1
β1*
p2
β2*…
*pk
βk,
где 0≤β1
≤α1,
…0≤βк
≤αк.
Теорема
Евклида:
мн-во сех простых
чисел бесконечно.
Решето
Эратосферна.
Выписать все
нат-е числа от
2 до m
из них вычеркивают
каждое второе
после простого
числа 2. Первым
не зачеркнутым
числом остается
простое число
3. Теперь выч-т
каждое 3-е число,
причем считают
и те числа, кот.
выч-ты ранее
и т.д. После выч-я
всех чисел
кратных простому
числу рn
первое не зач-е
число будет
простым – рn+1.
рn+1-
простое число,
т.к. иначе оно
имело бы простой
делит-ль ≤рn,
но все числа
кратные простым
≤рn
уже вычеркнуты.
Поэтому выч-е
кратные простому
числу рn+1
следует начинать
с (рn+1)2
и состав-е таблиц
простых чисел
≤m
=> считать закон-м
как только
найдено число
>√m. Вопрос
3. Кольцо
целых чисел.
Теорема о делении
с остатком. НОД
и НОК двух чисел.
На
N
вып-ы опер-и
“+” и “*”, но опер-я
“-” вып-ся частично,
т.е. ур-е а+х=в в
N
не всегда разреш-о.
Это одна из
причин разширения
N.
При расщ-и одной
с-ы чисел до
др-й должны
вып-ся несколько
треб-й: 1) NЄZ.
2) +,* должны вып-ся
в Z,
причем рез-ы
опер-й для чисел
из N
в N
и Z
должны совп-ть.
3) +,* - комут-ы, ассоц-ы
и связ. дистр-м
законом. 4) в Z
должна вып-ся
опер-я “-”. т.е.
ур-е а+х=в одноз-о
разрешимо в
Z
для люб-х а,вЄZ.
5) Z
должно быть
миним. расш-м
из всех расш-й
мн-ва N
облад-е св-ми
1-4.
Число
в делит а, если
сущ-т qЄZ,
что а=b*q.
Отношение “b
делит а” наз-ют
отношением
делимости и
зап-т b|а. Св-ва:
1) (Ґа)(а|a).
2) (Ґa,b,c)(a|b^b|c=>a|c).
3) (Ґа)(а|0). 4) (Ґа)(0ła).
5) (Ґа)(1|a^-1|a).
6) a|b^b|a=>
b=±a.
7) (Ґx)(а|b=>a|b*x).
8)
(Ґx1,x2,…xr)(b|a1^b|a2…^b|ar=>b|(x1a1+x2a2+…+xrar)).9)(Ґа,b)(b|a=>|b|0^b>0=>bb|(-a)=>(-b)|a.
Теорема
о делении с
остатком.
Разделить целое
число a
на bЄZ,
это значит
найти 2 таких
q
и rЄZ,
что a=b*q+r
(1) 0≤r<|b|,
q-
неполное частное,
r-остаток.
(Ґa,bЄZ^b#0
сущ-т !q,
r,
что a=b*q+r,
0≤r<|b|).
Док-во: 1) Возм-ть
дел-я с ост-м.
2 случая: 1. aЄZ,
b>0,
т.е. bЄN.
Рассм. всевоз-е
кратные числа
b.Пусть
b*q
наиб. кратные
числа b
не превыш-е a,
т.е. b*q≤a0,
т.е. –bЄN
и имеем случай
1. т.е. сущ-т q,rЄZ,
что a=(-b)*q+r,
0≤r<|-b|
=> a=b*(-q)+r,
0≤r<|b|.
2) !-ть дел-я. Пусть
деление a
на b
не !, т.е. сущ-ют
2 неполных частных
q1,
q2
и два остатка
r1,
r2,
тогда a=b*q1+r1,
0≤r1<|b|,
a=b*q2+r2,
0≤r2<|b|.
b*q1+r1=b*q2+r2;
b*(q1-q2)=r2-r1
=> b|(r2-r1).
Но т.к. 0≤r1<|b|
и 0≤r2<|b|
=> |r2-r1|<|b|.
b|(r2-r1)^
|b|>|r2-r1|
=> r2-r1=0.
т.е. r1=r2,
но и тогда q1=q2.■
Следствие.
ҐaЄZ^bЄN
сущ-т !q,
r,
что a=b*q+r,
0≤r
Общим
делителем чисел
a1,a2,…ar
наз-ся такое
число c,
что с|a1^
с|a2^…с|ar.
c=ОД(а1,а2,…аr).
НОД (а1,а2,…аr)
наз-ся такой
их общий дел-ль
d,
кот делится
на всякий др.
общ дел-ль. чисел
а1,а2,…аr.
Обозн. d=НОД(а1,а2,…аr).
Итак, d=НОД(а1,а2,…аr)
1. d|
а1^d|а2^…d|аr.
2. c=ОД(а1,а2,…аr)
=> с|d.
Алгоритм
Евклида.
Пусть Ґa,bЄZ,
b#0.
т.к. отнош-е
делимости
сохр-ся при
измен-и знаков
чисел, то
НОД(a,b)=НОД(a,-b).
Поэтому огран-ся
случ-м aЄZ,
bЄN.
Делим a
на b
c
остатком a=b*q+r1.
Если r1=0,
т.е. a=b*q,
то НОД(a,b)=b.
Пусть r#0,
0
Нахождение
НОД и НОК Чтобы
найти НОД нужно
взять произведение
общих простых
множ-й, вход-х
в канонич-е
разлож-е этих
чисел, причем
каждый такой
простой множ-ль
нужно взять
с наим. показ-м.
НОК тоже самое,
но каждый множ-ль
взять с наиб.
показ-м. Вопрос
4. Система
рацион-х чисел.
Если
рассм. мн-во Z,
то в Z
ур-е a*x=b
не всегда разрешимо.
=> расшир-е кольца
целых чисел
до поля Q-рац-х
чисел. (Др. причина
– измерение
отрезков не
всегда выр-ся
целым числом).
При этом должны
вып-ся усл-я:
1. Z
подкольцо
кольца Q.
2. ур-е a*x=b,
a#0
одноз-но разреш.
Ґa,bЄQ.
3. Q
должно быть
миним. расш.
с-ы Z.
С-а Q
явл-ся полем,
кот. наз-ся поле
рац-х чисел.
Рассм.
мн-во Q={p/q|
pЄZ,qЄN}.
на мн-ве дробей
рассм. отнош.
равносильности
“~”: p/q~k/l
p*l=k*q.
Покажем, что
это отнош-е
эквивал-ти. 1.
a/b~a/b. т.к.
a*b=a*b (рефл-ть).
2. a/b~c/d => c/d~a/b (сим-ть).
Проверим a/b~c/d
a*b=b*c => c*b=d*a
c/d~a/b. 3. a/b~c/d ^ c/d~e/f => a/b~e/f (тран-ть).
a/b~c/d ^ c/d~e/f => a*d=c*b ^ c*f=d*e => a*d*c*f=c*b*d*e.
a*f=b*e =>a/b~e/f. Если
с=0,
то
все
3 др.
0, т.е.
равн-ы.
Отнош-е
равн-ти дроби
на Q
явл-ся отнош-м
экв-ти => равнос-е
дроби также
явл-ся эквив-ми.
Св-во
экв-х дробей:
1. a/b~(a*c)/(b*c)
c#0.
Всякому отнош-ю
эквивл-ти соот-т
разбиение на
классы экв-ти.
Класс эквив-х
дробей наз-ся
рац-м
числом.
Рац-е число
хар-ся Ґ из своих
представителей.
Дроби, вход-е
в один и тот же
класс пред-т
! рац-е число
=> считаются
равными. p/q,
где q≠0
наз-ся несократ-й
записью, если
НОД(a,b)=1.
Для Ґ положит-го
q
сущ-т ! запись
в виде несократ-й
дроби. Введем
на Q
отнош-е «меньше»
так, что q
При
обращ-и обыкнов-й
несокр-й a/b
в десят-ю возм-ы
случаи: 1) Если
в разлож. знамен.
b
на простые
множ-ли встреч-ся
только 2 или 5,
то несокр. дробь
a/b
обращ-ся в конеч.
дес-ю. 2) Если
НОД(b,10)=1,
то a/b
представима
в виде бескон-й
чисто период-й
десят-й дроби.
3) Если в разлож-и
b
на простые
множ-ли кроме
2 и 5 встреч-ся
другие числа,
то дробь обращся
в смешан-ю период-ю
десят-ю дробь. Вопрос
5. Поле
комплексных
чисел(к.ч.). Геом-е
предс-е к.ч. и
операции над
ними. Тригон-я
форма к.ч.
Х1+1=0
(1) не разрешимо
в R
– причина расширения
с-ы R
до с-ы чисел, в
кот-й (1) имело
бы реш-е. В кач-ве
строит-го матер-ла
можно взять
точки плоск-ти:
M={(a,b)|a,bЄR}.
Т.к. точки плос-т
нам не приход-сь
умн-ть и склад-ть,
то опер-ции над
ними можно
задать так,
чтобы мн-во
было полем,
содерж-е поле
R
и в кот-м (1) имело
бы реш-е: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);
(a,b)*(c,d)=(a*c-b*d,a*d+b*c)
и (a,b)=(c,d)
a=c
^ b=d.
Можно док-ть,
что слож-е и
умнож-е комут-ы,
ассоц-ы и связ-ы
дист-м законом.
Для них вып-ся
обратные опер-ции:
вычит-е, делен-е,
кроме дел-я на
0,т.е. ур-я (c,d)+(x,Y)=(a,b)
и (c,d)*(x,y)=(a,b),
где (c,d)≠(0,0)
одноз-но разр-мы.
Нейтр-й Эл-т
относ-о слож-я:
0=(0;0).
Нейтр-й Эл-т
отн-о умнож-я:
1=(1;0).
1) С-а M=(M,0,1,+,-,*)
поле. 2) M
явл-ся расш-м
поля R,
т.е. R’
содер-ся
в M
изоморф-е
полю R.
R’={(a,0)|aЄR}.
R’-подполе
поля M,
т.е.R’
замкнуто относ-о
всех опер-й
кольца и Ґ эл-а
≠0
из R’
обратный Эл-т
также ЄR’.
3) R
изоморфно
R’.
Можно уст-ть
биект-е отобр-е:
φ:R
R’;
φ: a
(a,0)
и вып-ся 2 усл-я:
образ суммы
двух эл-в = сумме
образов, образ
произв-я 2 эл-в
= произв-ю образов.
С
– поле к.ч. Покажем,
что (1) разреш.
Возьмем точку
i=(0,1):
(0,1)*(0,1)=(-1,0)≡-1. i
– корень ур-я
(1), мнимая единица,
расп-я на ОУ.
Запись: (a,b)=a+b*i
алгеб-я, α=|α|*(cosφ+i*sinφ)
триг-я, где |α|=;
cosφ=a/|α|;
sinφ=b/|α|.
1. Чтобы умнож-ть
2 к.ч. в триг-м виде,
нужно переем-ть
их модули и
сложить аргументы
(углы). 2. Разд-ть
2 к.ч.: разд-ть их
модули и вычесть
аргум-ы. 3. Чтобы
возвести к.ч.
в целую полож-ю
степень, нужно
воз-ти в эту
степень модуль
и аргумент
умнож-ть на
показ-ль степени.
4. Чтобы извлечь
из к.ч. корень
n
степени нужно
извлечь корень
из модуля и
(аргумент +2Пк)/n,
где кЄZ.
Придавая к
разл-е знач-я,
получ-т серии
повтор-ся знач-й,
т.е. к=0,1,…n-1. Вопрос
6. Мн-ны
от одной переменной.
Пусть
А=(А,0,1,+,-,*) – обл-ть
целостности.
Построим с
пом-ю его новое
комут-е кольцо
A[x],
основанное
на мн-ве,, которое
есть мн-во
бесконечных
послед-й, облад-х
св-м: в них лишь
конечное число
коэф-в ≠0,
т.е. A[x]={(a0,a1,…)|a0,a1,…ЄA},
ai≠0
конеч-е число.
Такие посл-ти
наз-ся полиномами
от 1 неиз-го.
Равенство
полиномов и
операции над
ними опре-ся
так: 1. (a0,a1,…)=(b0,b1,…)
a0=b0
и
a1=b1
и….
2. (a0,a1,…)+(b0,b1,…)=(a0+b0,
a1+b1…).
3. (a0,a1,…)*(b0,b1,…)=(a0b0,
a1b1…).
4.
0=(0,0,0,…).
5. 1=(1,0,0,…).
6. -(a0,a1,…)=(-a0,
-a1…).
Нетрудно проверить:
1) с-а (A[x],0,+,-)
аддитивная
абелева группа,
2) с-а A[x],1,*)
– мультипликативный
моноид, 3) + и * связаны
дистрибутивным
законом. С-а
A[x]=(A[x],0,1,+,-,*)
– комут-е кольцо.
Другой вид
записи полинома:
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm.
Слагаемые в
записи f(x)
наз-ся одночлекнами,
а f(x)
наз-ся мн-м
от 1 неизв-го.
Эл-ы аЄА наз-ся
мн-ми нулевой
степени. Св-ва.
Пусть А – обл-ть
целостности.
Кольцо полиномов
от 1 неизв-го
A[x]=(A[x],у,
1,+, -,*) – обл-ть целостности.
=> Если степень
f(x)=n
и степень g(x)=m
=> степень f(x)g(x)=n+m.
Пусть А – обл-ть
целостности.
Делителем
единицы кольца
полиномов A[x]
явл-ся делители
единицы кольца
А. В обл-ти цел-ти
A[x]
других делителей
единицы нет.
Рассм-м
кольцо мн-на
Р[x]
над полем Р. Мы
знаем, что Ґ
числов-е поле
явл-ся обл-ю
целостности
с бескон-м числом
эл-в. В кольце
полиномов Р[х]
теорема о делении
с остатком
имеет место
для Ґf(x),
g(x)ЄP[x],
что g(x)≠0.
Мн-н f(x)
делится
на мн-н
g(x)≠0,
если сущ-т мн-н
n(x)ЄP[x],
что f(x)=g(x)n(x).
Деление не
всегда будет
выполнимо в
кольце Р[x].
Св-ва.
1. Ґf(x)ЄP[x],
f(x)|f(x).
2. f(x),
g(x)ЄP[x],
g(x)|f(x)
и f(x)|g(x)
=> f(x)
и g(x)
ассоц-ы, f(x)=cg(x),
cЄP[x].
3. g(x)|f(x)
и φ(x)|g(x)
=> g(x)|(f(x)±φ(x)).
4. Если f1(x),
f2(x),…,
fk(x)
делятся на
g(x),
для Ґc1,
c2,…ckЄР,
то сумма
[c1f1(x)+c2f2(x),…,ckfk(x)]
делится на
g(x).
5. Если g(x)|f1(x)
=> f1(x)f2(x)…fk(x)
делится на
g(x).
6. Если f1(x)|g(x),
f2(x)|g(x),…fk(x)|g(x)
=> g(x)|[
n1(x)f1(x)+
n2(x)f2(x)+…+nk(x)fk(x)],
ni(x),
fi(x),
gi(x)ЄP[x],
i=1,2,…k.
7. Если n(x),
f(x),
g(x)ЄP[x]
и n(x)|f(x)
и g(x)|n(x),
то g(x)|f(x).
8. Мн-ны нулевой
степени из Р[х]
явл-ся делителями
Ґf(x)ЄP[x].
9. Мн-ны cf(x),
где с≠0 и только
они будут делителями
мн-на f(x)
имеюш-ми такую
же степень, что
и f(x).
10. ҐДелитель
f(x),
cf(x),
c≠0
будут делителями
и для другого
мн-на. Пусть
Ґf(x),
g(x)ЄP[x].
Общим
делителем
мн-в f(x),
g(x)
явл-ся такой
мн-н d(x)ЄP[x],
что d(x)|f(x)
и d(x)|g(x).
Нод(f(x),
g(x))
наз-ся мн-н D(x)
такой, что 1.
D(x)=ОД(f(x),
g(x)),
2. d(x)|D(x),
где d(x)=ҐОД(f(x),
g(x)).
Покажем, что
НОД сущ-т для
Ґмн-в f(x),
g(x)ЄP[x]≠0.
пусть степень
f(x)
≥ степени g(x).
Делим f(x)
на g(x)
с остатком
f(x)=g(x)q(x)+r1(x).
Если r1(x)=0,
тогда НОД(f(x),
g(x))=q(x).
Если r1(x)≠0,
то степень
r1(x)<
степени g(x),
но >0. Делим g(x)
на r1(x)
с остатком
g(x)=r1(x)q1(x)+r2(x).
Если r2(x)≠0,
0< степень r2(x)
< степень r1(x),
делим r1(x)
на r2(x)
с ост-м r1(x)=r2(x)q2(x)+r3(x).
и т.д. Т.к. степень
остатков понижается
оставаясь не
отриц-й, то через
конечное число
шагов мы придем
к остатку rk(x),
на который
разделится
предыд-й остаток.
Этот процесс
наз-ся Алгоритмом
Евклида.
Итак, применяя
алгор-м Евкл-а
для мн-в f(x)
и g(x)
мы получили
совокупность
f(x)
= g(x)q(x)+r1(x),
g(x)
= r1(x)q1(x)+r2(x),
r1(x)
= r2(x)q2(x)+r3(x)
… rk-2(x)
= rk-1(x)qk-1(x)+rk(x),
rk-1(x)
= rk(x)qk(x)
(1). Док-м, что послед-й
≠0 остаток rk(x)
в алгоритме
Евк-а явл-ся
НОД. Будем рассм-ть
(1) снизу вверх:
rk(x)|σk-1(x),
rk(x)|σk(x)
и σk(x)|σk-1(x)
=> rk(x)|rk-2(x)…,
rk(x)|rk-2(x)
и rk(x)|r1(x)
=> rk(x)|g(x),
rk(x)|r1(x)
и rk(x)|g(x)
=> rk(x)|f(x).
Получим, что
rk(x)|f(x)
и σk(x)|g(x)
=> σk(x)=
ОД(f(x),g(x)).
Покажем, что
rk(x)=НОД(f(x),
g(x)).
Пусть n(x)
- Ґдругой ОД(f(x),
g(x)).
Рассм-м (1) сверху
вниз: n(x)|f(x)
и n(x)|g(x)
=> n(x)|r1(x),
n(x)|g(x)
и n(x)|r1(x)
=> n(x)|r2(x),
n(x)|r1(x)
и n(x)|r2(x)
=> n(x)|r3(x)…
n(x)|rk-2(x)
и n(x)|rk-1(x)
=> n(x)|rk(x).
Получили:
n(x)|rk(x)=ОД(f(x),
g(x))
=> rk(x)=НОД(f(x),
g(x)).
Итак, мы док-ли,
что последний
≠0 остаток в
алгор-е Евклида
явл-ся НОД для
мн-в f(x)
и g(x).
Нетрудно убелиться,
что НОД мн-в
f(x)
и g(x)
явл-ся ! с точностью
до мн-ля нулевой
степени. Действительно,
пердположим,
что D1(x)=НОД(f(x),
g(x))
и D2(x)=НОД(f(x),
g(x)).
Т.к. D1(x)=НОД(f(x),
g(x))
=> D2(x)|D1(x),
а т.к. D2(x)=НОД(f(x),
g(x)),
то имеем D1(x)|D2(x).
Получим: D2(x)|D1(x)
и D1(x)|D2(x)
=> св-во 2 D1(x)=cD2(x).
Алгоритм Евклида
показываем,
что если f(x)
и g(x)
имеют оба рац-е
коэф-ы или оба
действ-е коэф-ы,
то и коэф-ы их
НОД будут соотв-о
или рац-ми, или
дейст-ми.
Если D(x)=НОД(f(x),
g(x)),
где f(x),
g(x)ЄP[x],
то сущ-т φ(x),
ψ(x)ЄP[x],
что f(x)φ(x)+g(x)ψ(x)=D(x).
Обратимся к
алгор-у Евклида
для мн-на f(x)
и g(x):
f(x)
= g(x)q(x)+r1(x),
g(x)
= r1(x)q1(x)+r2(x),
r1(x)
= r2(x)q2(x)+r3(x)
… rk-2(x)
= rk-1(x)qk-1(x)+rk(x),
rk-1(x)
= rk(x)qk(x).
Перепишем все
рав-ва алго-а
Евклида, кроме
послед-го (1).
Выразим остаток
из каждого
равенства
r1(x)=f(x)-g(x)q(x),
r2(x)=g(x)-r1(x)q1(x),
r3(x)=r1(x)-r2(x)q2(x)…rk(x)=rk-2(x)-rk-1(x)qk-1(x)
(1). Перепишем
первое рав-во
(1): r1(x)=f(x)*1+g(x)(-q(x)).
Обозначим
φ1(x)=1,
ψ1(x)=-q(x),
тогда имеем
r1(x)=f(x)φ1(x)+g(x)ψ1(x).
Теперь второе
из (1): r2(x)
= g(x)-r1(x)q1(x)
= g(x)-(f(x),φ1(x)
+ g(x)ψ1(x))
q1(x)
= g(x)-f(x)φ1(x)q1(x)-g(x)ψ1(x)q1(x)
= f(x)(-φ1(x)q1(x))
+ g(x)(1-ψ1(x)q1(x))
= f(x)φ2(x)+g(x)ψ2(x).
r2(x)
= f(x)φ2(x)+g(x)ψ2(x).
Подставим
полученное
выражение для
r1(x)
и r2(x)
в выражение
для r3(x)
из (1). Получим,
проделывая
аналогичные
преобразования
r3(x)=
f(x)φ3(x)+g(x)ψ3(x).
и т.д. опускаясь
ниже получим
rk(x)=
f(x)φk(x)+g(x)ψk(x).
Как было док-но
выше rk(x)
явл-ся НОД мн-в
f(x)
и g(x)
, причем НОД
определен с
точностью до
множ-ля нулевой
сиепени. Умножая
обе части последнего
равенства на
с: crk(x)=
f(x)(cφk(x))+g(x)(cψk(x)). Вопрос
7. Неприводимые
над полем многочлены.
Мн-н
f(x)ЄP[x]
наз-ся неприводимым
над полем Р,
если он не
разлагается
в произведение
многоч-в положительной
степени над
полем Р. Мн-н
наз-ся приводимым
над полем Р,
если он разлагается
в произведение
мн-в положит-й
степени. Вопрос
приводимости
зависит от того
поля, над которым
мы его рассматриваем.
Н-р, 1)f(x)=x2-2
неприводим
над полем Q,
но приводим
над полем R.
2) f(x)=x2+1
неприводим
над R,
приводим над
C.
3)φ(x)=x+1
непривд-м ни
над одним числовым
полем. Над полем
ком-х чисел
неприво-м только
мн-ы 1-й степени.
Над полем дейст-х
чисел неприводимы
мн-ны 1-й степени
и квадратный
трехчлен, у
которого дискр-т
<0. Иначе в поле
рац-х чисел.
Здесь Ґ n
нат-го можно
подобрать мн-н
n-й
степени неприводимого
над полем Q
рац-х чисел.
Критерий
Эйзенштейна.
Если для
f(x)=a0xn+a1xn-1+…an-1x+an,
f(x)ЄQ[x]
можно подобрать
р – простое
число, что 1)
р|a0(черта)
– не делится
на р, 2) все остальные
коэф-ы делятся
на р: p|a1,
p|a2,…p|an
3) p|an,
но
p2|an(с
чертой) – не
делится на р,
то f(x)
неприводима
над полем Q.
Если для мн-на
f(x)
нельзя подобрать
р простое число,
чтобы вып-сь
требование
Эйз-на, то мн-н
может быть как
приводимым,
так и не приводимым
над полем Q.
Св-ва.
1. p1(x),
p2(x)ЄP[x]
неприводимы
над полем P
и p2(x)|p1(x)
=> эти мн-ны отлич-ся
друг от друга
множ-м нулевой
степени. (Док-во.
Т.к. p1(x)
- неприводим,
то в p1(x)
= p2(x)g(x)
один из множ-й
есть мног-н
нулевой степени
g(x)=c-const.
Т.о. p1(x)
= p2(x)c.
Мног-ны p1(x),
p2(x)
явл-ся ассоциированными.)
2. Ґf(x)ЄP[x],
p(x)ЄP[x]
– непривомн-н
=> либо f(x),
p(x)
взаимно просты,
либо p(x)|f(x).
(Док-во. Т.к. p(x)
неприводимый
мн-н, то возм-ы
2 случая:1)
НОД(f(x),p(x))=c-const,
тогда f(x),
p(x)
– взаимно просты.
2) НОД(f(x),p(x))=D(x),
где D(x)=cp(x),
но тогда т.к.
D(x)|f(x)
=> cp(x)|f(x)
=> p(x)|f(x)).
3) Если произ-е
p(x)|f(x)g(x),
где p(x),
f(x),
g(x)ЄP[x]
и p(x)
– непривод-м
над полем P,
р(x)|f(x)
или p(x)|g(x).
Это св-во можно
распрост-ть
и на случай
произвольного
числа множ-й.
Теорема.
Ґ мн-н f(x)ЄP
выше нулевой
степени явл-ся
неприводимым
над полем Р или
разлагается
в произведение
неприводимых
мн-в. f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x)
(*), где pi(x)
– неприводимые
мн-ны над полем
Р, i=1,2,…n,
причем это
разложение
явл-ся ! с точностью
до порядка.
Док-во. 1) Док-м
возможность
представления
(*). Пусть мн-н f(x)
выше нулевой
степени. Если
f(x)
неприводим,
то теорема
док-на. Если
f(x)
приводим, то
f(x)=f1(x)f2(x).
Если оба мн-на
f1(x)
и f2(x)
неприводимы
над полем Р, то
теорема док-на,
если хотя бы
1 из них приводим
над полем Р, то
его разлагают
в произведение
множ-й положит-й
степени. и т.д.
Этот процесс
конечен, т.к.
степень мн-й
в разложении
f(x)
уменьшается,
оставаясь
положит-ми и
их может быть
лишь конечное
число. Итак, в
конце концов
мн-н f(x)
будет предст-н
в виде произвед-я
непривод-х
мн-й, т.е. в виде
(*). 2) Док-м ! разложения
мн-на f(x)
на непривод-е
мн-ли. Пусть
f(x)
допускает 2
разложения:
f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x)
(1) и f(x)=
q1(x)q2(x)…qn(x)
(2). p1(x),
…pn(x),
q1(x),…,qn(x)
неприводимые
над полем Р
мн-ны. Левые
части равны
=> равны и правые
части.
p1(x)p2(x)…pn(x)=q1(x)q2(x)…qn(x)
(3). Левая часть
делится на
р1(х)
=> и правая часть
делится. Т.к.
р1(х)
неприводим,
то на р1(х)
разделится
хотя бы один
мн-ль правой
части. Пусть
р1(х)|q1(x).
А т.к. р1(х)
и q1(x)
неприво-ы и
один из них
дел-ся на другой,
то они ассоциированы,
т.е. q1(x)=ср1(х).
Подставляя
это выр-е в (3) и
сокращая обе
части на р1(х):
p2(x)…pk(x)=c1q2(x)q3(x)…ql(x)
(4). Аналогично
расс-я относительно
p2(x)
из (4): p3(x)…pk(x)=c1с2
q3(x)q4(x)…ql(x).
И т.д. утверждаем,
что k=l.
Предположим
противное.
Пусть k
Вопрос10. С-ы
лин-х ур-й. Равнос-е
с-ы ур-й. Критерий
совм-ти с-ы лин-х
ур-й.
Пусть
Р- поле скаляров.
С-й
лин-х ур-й с n
неизв-ми
х1,
х2,
…хn
наз-ся с-а вида:
а11*х1+а12*х2
+…+а1n*xn=b1,
… аm1*х1+аm2*х2
+…+аmn*xn=bn
(1), aij,biЄP.
Числа aij
наз-т коэф-ми
с-ы, bi
своб-е члены.
Вектор О(а11,а12,…а1n)ЄР
наз-т решением
с-ы
(1), если он удов-т
Ґ ур-ю с-ы. С-а лин-х
ур-й наз-ся
совм-й,
если она имеет
хотя бы 1 реш-е,
и несовм-й
в противном
случае. Если
совм-я с-а лин-х
ур-й имеет ! реш-е,
то она наз-ся
определ-й,
если реш-й бескон-е
мн-во, то она
неопределенная.
2-е с-ы лин-х ур-й
наз-ся равносильными,
если Ґ реш-е Ґ
из этих с-м явл-ся
реш-м другой
с-ы. Элемен-е
преобр-я: 1) перестан-ка
2 ур-й в с-е. 2) умнож-е
обих частей
ур-я на ≠0
скаляр.
3) удаление ур-я
вида 0=0. 4) прибавл-е
к обеим частям
какого-либо
ур-я соответ-х
часте другого
ур-я, умнож-е
на одно и тоже
число. При Ґ
элем-м преоб-и
матрицы Ā получ-ся
с-а лин-х ур-й
равнос-я первонач-й
с-е ур-й.
Матрица
А, сост-я из коэф-в
при неизв-х с-ы
(1), наз-ся главной
матрицей с-ы.
Если к глав-й
мат-е А присоед-ть
столбец своб-х
членов, то получ-ся
расшир-я
мат-ца с-ы.
Т.
Кронекера-Капелли.
С-а
ур-й лин-но незав-х
ур-й совместна
ранг глав-й
мат-цы = рангу
расш-й мат-цы.
Док-во. 1) Пусть
(1) совм-на. α1,α2,…αn
– реш-е с-ы (1). Тогда
получим вер-е
рав-ва:
а11*α1+а12*α2
+…+а1n*αn=b1,
а21*α1+а22*α2
+…+а2n*αn=b2,…
аm1*α1+аm2*α2
+…+аmn*αn=bm
(2). Выч-м ранг
расш-й мат-цы:
rangĀ=rang=
rang=
rang=
rangA.
2) Пусть
r+1*…*qs,
но это равен-во
невозм-но, т.к.
произв-е простых
чисел ≠1. Итак,
r=s
и представ-е
(1) ! с точностью
до порядка
следования
множ-й.■0.
Легко видеть,
что отн-е «<»
явл-ся отн-м
строгог порядка,
т.е. оно антиреф.,
антисим., транзит.
И явл-ся отнош-м
линейного
порядка,т.е.
Ґq1,q2ЄQ
вып-ся ! из: q1
2,
q1=q2,
q1>q2.
Можно показ-ть,
что для отнош-я
«<» вып-ся монот-ть
сложения и
монот-ть умнож-я:
1. (Ґq1,q2,cЄQ)(q1
2
=> q1+c
2+c).
2. (Ґq1,q2,cЄQ)(q1
2
^ c>0
=> q1*c
2*c).
Док-во: Пусть
q1
1,
тогда q2-q1>0.
Найдем: q2*c-q1*c=c*(q2-q1)>0
(т.к.c>0,
q2-q1>0).
q2*c-q1*c>0
=> q1*c
2*c.
Св-ва мн-ва Q.
1. ВQ
нет ни наим, ни
наиб. числа. 2.
Q
– счетное мн-во,
т.к. можно устанть
биек-е отображ-е,
f:Q>--->>N.
Q-полтно,
т.е. что между
Ґ 2 пац-ми числами
нах=ся беск-но
много рац-х
чисел. 4.Q-
поле рац-х чисел.
5. Поле Q
явл-ся лин.-упор-м
полем.