Xreferat.com » Рефераты по математике » Современные качественные исследования устойчивости

Современные качественные исследования устойчивости

И.А. Колесникова

Российский университет дружбы народов

О вариационности некоторых ДУЧП  с отклоняющимися аргументами

Исследована задача существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами вида Современные качественные исследования устойчивости Современные качественные исследования устойчивости

Современные качественные исследования устойчивости

1. Постановка задачи. Пусть N – оператор, заданный в области D(N) линейного нормированного пространства U над полем действительных чисел R, а область значений R(N)  принадлежит линейному нормированному пространству V над полем R, т.е.

Современные качественные исследования устойчивости

В дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке

 существует производная Гато Современные качественные исследования устойчивости оператора N, определяемая формулой

Современные качественные исследования устойчивости                              (1)

Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида

  Современные качественные исследования устойчивости     (2)

где Современные качественные исследования устойчивости-ограниченная область вСовременные качественные исследования устойчивости, с кусочногладкой границей Современные качественные исследования устойчивостиСовременные качественные исследования устойчивости

в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.

 Зададим область определения оператора N равенством

Современные качественные исследования устойчивости    (3)

Здесь Современные качественные исследования устойчивости- заданные функции, Современные качественные исследования устойчивости - неизвестная функция. Числа Современные качественные исследования устойчивости зависят соответственно от Современные качественные исследования устойчивости. Если Современные качественные исследования устойчивости- четны, то Современные качественные исследования устойчивостиПри нечетном Современные качественные исследования устойчивости полагаем Современные качественные исследования устойчивости Современные качественные исследования устойчивости Современные качественные исследования устойчивости Современные качественные исследования устойчивости

Обозначим

Современные качественные исследования устойчивости

Введем классическую билинейную форму вида Современные качественные исследования устойчивостигде Современные качественные исследования устойчивости                           (4)

Современные качественные исследования устойчивости

Будем говорить, что уравнение (2) допускает прямую вариационную формулировку на множестве D(N), относительно билинейной формы (4), если существует функционал FN: D(FN )=D(N)—>R такой, что

Современные качественные исследования устойчивости    Современные качественные исследования устойчивости

Функционал FN называется потенциалом оператора N, а N – градиентом функционала FN. Записывают N=gradфFN. Оператор N называется потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.

Обозначая через Современные качественные исследования устойчивости замыкание области Современные качественные исследования устойчивости, будем предполагать, что Современные качественные исследования устойчивости- выпуклое множество, Современные качественные исследования устойчивости, для любых фиксированных элементов Современные качественные исследования устойчивостифункция Современные качественные исследования устойчивости

Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D(N) относительно заданной формы является условие симметричности

Современные качественные исследования устойчивости

Современные качественные исследования устойчивости

Искомый функционал в этом случае имеет вид:

где F0 произвольный фиксированный элемент из R.

Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива

Теорема 1. Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Современные качественные исследования устойчивости
Современные качественные исследования устойчивости

Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].

2.Примеры.

Современные качественные исследования устойчивости

А. Рассматривается дифференциальное уравнение с отклоняющимися аргументами вида (частный случай уравнения (2))

Современные качественные исследования устойчивости
с граничными условиями

Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим

Современные качественные исследования устойчивости

Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1, a 0 ,a 1 могут зависеть только от x, а b-1, b0, b1 – только от t.

С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде

Современные качественные исследования устойчивости
Таким образом, уравнение (7’) c граничными условиями (8) допускает вариационную формулировку.

Соответствующий функционал имеет вид

Современные качественные исследования устойчивости

Современные качественные исследования устойчивости Современные качественные исследования устойчивости

В. Рассматривается уравнение

где a,b – const, u – неизвестная функция с граничными условиями

Современные качественные исследования устойчивости

Для оператора задачи(10),(11) условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.

Найти функцию [2] М=М(x,t,u,ui) в Ω для любого u из D(N) и соответствующий функционал F[u] так, что

Современные качественные исследования устойчивости
Используя условия (6), находим вариационный множитель М=еu(x,t). Тогда получим, что оператор вида

 

Современные качественные исследования устойчивости

является потенциальным.

Соответствующее эквивалентное уравнение будет иметь вид:

Современные качественные исследования устойчивости

 Таким образом, задача (13’), (11) допускает вариационную формулировку с функционалом

Список литературы

 [1] Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.

[2] Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г., Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1992.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: