Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Мончегорский филиал

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.

Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников специальности 061100 «Менеджмент организации»

Мончегорск 2005г.

Общие организационно-методические указания

Основные задачи при изучении курса «Высшая математика»:

освоение наиболее употребительных понятий и определений математики;

изучение основ линейной алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений;

приобретение практических навыков в решении задач.

Учебными планами для студентов-заочников предусмотрены лекции, практические занятия с преподавателями, самостоятельная работа и выполнение контрольных работ. При изучении теоретического материала рекомендуется составлять краткие конспекты тем и ответить на вопросы для самопроверки, приведенные в конце каждой темы.

Программа курса рассчитана на два семестра. В каждом семестре необходимо выполнить две контрольные работы. В конце каждого семестра проводится экзамен.

Тематический план осеннего семестра

Множества. Числа.

Линейная алгебра.

Аналитическая геометрия.

Функции.

Комплексные числа. Многочлены.

Предел и непрерывность функции.

Дифференциальное исчисление.

Тематический план весеннего семестра.

Неопределенный интеграл.

Определенный интеграл.

Ряды.

Функции многих переменных.

Дифференциальные уравнения.

Рекомендуемая литература

Кремер Н.Ш,.и др. Высшая математика для экономистов/Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.- М.: Банки и биржи, 1997. – 439с.

Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики: Учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп., – Высш. шк., 1972. – 480 с.

Шипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа, 1989.

4.Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 464с. – (Серия “Высшее образование”).

Дополнительная

Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., испр. – М. : Наука, 1981. – 159с.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т.: Учеб. пособие для втузов. – М. : Наука, 1978. Т.1– 453с., Т.2 – 575с..

Мордкович А.Г., Смышляев В.К..Алгебра и начало анализа. М.: Просвещение, 1987

Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа М. Наука 1968

Виленкин И.В. Гробер В.М. Высшая математика Ростов–на-Дону “Феникс” 2002

Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов М. ИНФРА – М 2003

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике М. АЙРИС ПРЕСС 2004

Данко П.Е. Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах М. Высшая школа 1999.

ТЕМА 1. МНОЖЕСТВА, ЧИСЛА

Понятие множества. Подмножество, объединение, пересечение, дополнение. Числовые множества: натуральные, целые, рациональные, действительные числа. Модуль числа. Интервал, окрестность, отрезок. Числовая ось.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Множеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающих общим для них характеристическим свойством. Эти объекты называются элементами множества. Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут аОА, если не принадлежит , аПА. множество может состоять как из конечного, так и бесконечного числа элементов. множество, не содержащее ни одного элементы, называется пустым и обозначается О. Если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В, то множество а называется подмножеством множества В. Множество С, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит одновременно множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В, обозначается С=А∩В. Множество С, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В, называется объединением А и В ( обозначается А U В).

если множество А является подмножеством В, то дополнением подмножества А до множества В называется множество D, состоящее из элементов, принадлежащих В, но не принадлежащих А ( обозначается D= ВА). N - множество натуральных чисел. Z -множество целых чисел. N подмножество Z: NМ Z . Q: m/n -множество рациональных чисел. I -множество иррациональных чисел. Q U I = R, R- множество действительных чисел. Геометрическое изображение R - это множество точек числовой прямой. [а,в] - отрезок : аЈґЈв.

( а,в)- интервал : а< ґ< в.

аО R , вО R .

Вопросы для самопроверки.

Приведите примеры множеств, состоящих из конечного и из бесконечного числа элементов.

Сколько подмножеств можно образовать из множества Х={ х1, х2, х3}?

Изобразите на бумагу два множества в виде двух частично перекрывающихся геометрических фигур (каждое множество состоит из точек, расположенных внутри соответствующей фигуры). Заштрихуйте объединение и пресечение множеств.

Приведите пример числового множества, состоящего из конечного числа элементов.

Какое из чисел больше6 –5 или 3? У какого из этих чисел больше модуль?

Приведите примеры интервала и отрезка. Чем отличается отрезоу от интервала?

Изобразите на числовой оси числа 2, Ѕ, -1.

При каких х справедливо равенство |xі|= - xі?

ТЕМА 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Векторы в n-мерной системе координат. Матрицы. Определитель. Ранг матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на вектор. Умножение матрицы на матрицу, коммутативность. Диагональная и единичная матрицы, транспонированная матрица. Треугольная матрица. Обратная матрица. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия существования и единственности решения. Формула Крамера. Метод Гаусса.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

В некоторых приложениях употребляется n-мерная прямоугольная система координат, в которой формально введены не2 или 3, а n взаимно перпендикулярных координатных осей. Вектор в такой системе – это набор из n упорядоченных чисел – координат вектора.

Базис и координаты вектора.

. Линейной комбинацией векторов а1, а2,…,аn называется выражение вида: k1a1 + k2a2 +…+ knan, где ki – числа.

Векторы а1, а2,…,аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k1, k2,…, kn, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. k1a1 + k2a2 +…+ knan = 0. Если же равенство возможно только при всех ki = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k. Тогда любой вектор d может быть представлен в виде их линейной комбинации:

d = Xi + Yj +Zk.

Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора d.

Замечание. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.

Матрицей А=||aij || размера nґm называется прямоугольная таблица чисел.

Обозначения: А – матрица, - элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Числа m и n называются размерностями матрицы.

Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы. Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

.

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Примеры.

1. 2.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0.

Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.

Линейные операции над матрицами.

Сложение матриц.

Суммой матриц А и В одинаковой размерности mn называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах:

Свойства сложения:

А + В = В + А.

(А + В) + С = А + (В + С) .

Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

Пример.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

Свойства умножения матрицы на число:

(km)A=k(mA).

k(A + B) = kA + kB.

(k + m)A = kA + mA.

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.

Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С + В =А, т.е. С = А + (-1)В.

Пример.

. Тогда

Перемножение матриц.

Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.

Произведением матрицы А размерности mp и матрицы В размерности называется матрица С размерности , каждый элемент которой определяется формулой: Таким образом, элемент представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример.

. При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет Найдем элементы матрицы С:

Итак,

Обратная матрица.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .

Cпособ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число.

Линейной комбинацией переменных называется результат применения к ним линейных операций, т.е. где числа, переменные.

Линейным уравнением называется уравнение вида

где и b – числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Решением линейной системы (2) называется набор чисел

которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Метод Гаусса решения линейных систем.

Замечание. Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.

Способы нахождения единственного решения системы,

в которой число уравнений равно числу неизвестных:

Пусть (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на где i – номер очередного уравнения. Коэффициенты при во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:

.

Если новые коэффициенты при х2 не все равны нулю, можно таким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:

.

Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы единственным образом определяется , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Замечание. Иногда в результате преобразований в каком-либо из уравнений обращаются в 0 все коэффициенты и правая часть, то есть оно превращается в тождество 0=0. Исключив его из системы, мы уменьшим число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.

Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.

Правило Крамера.

Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

.

Правило Крамера позволяет найти единственное решение системы или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:

Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

Если ==0, система имеет бесконечно много решений.

Если =0, а хотя бы один из система не имеет решений.

Совместность линейных систем.

Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Вопросы для самопроверки.

Как характеризуется вектор в n-мерной прямоугольной системе координат?

Чему равно скалярное произведение двух векторов?

Как определяется местоположение элемента в матрице?

Что такое единичная матрица?

Что такое транспонированная матрица?

Каким требованиям должны удовлетворять перемножаемые матрицы?

Что такое обратная матрица?

Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формулы Крамера?

Как находить решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса?

ТЕМА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Понятие скаляра и вектора. Модуль вектора. Операции со скалярами и векторами. Скалярное произведение. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками. Уравнения прямой на плоскости. Пересечение прямых.