Xreferat.com » Рефераты по математике » Уравнения и способы их решения

Уравнения и способы их решения

Министерство общего и профессионального образования РФ

Муниципальное образовательное учреждение

Гимназия № 12

сочинение

на тему:  Уравнения и способы их решения

           

                                                                            Выполнил: ученик 10 "А" класса

                                                                                                    Крутько Евгений

Проверила: учитель математики                                                                                                                                        Исхакова Гульсум Акрамовна

Тюмень 2001


Содержание

1. План ............................................................................................................................. 1

2. Введение ...................................................................................................................... 2

3. Основная часть ........................................................................................................... 3

4. Заключение ............................................................................................................... 25

5. Приложение .............................................................................................................. 26

6. Список использованной литературы ..................................................................... 29


План.

1. Введение.

2. Историческая справка.

3. Уравнения. Алгебраически уравнения.

                        а) Основные определения.

                        б) Линейное уравненение и способ его решения.

                        в) Квадратные уравнения и способы его решения.

                        г) Двучленные уравнения способ их решения.

                        д) Кубические уравнения и способы его решения.

                        е) Биквадратное уравнение и способ его решения.

                        ё) Уравнения четвертой степени и способы его решения.

                        ж) Уравнения высоких степеней и способы из решения.

                        з) Рациональноное алгебраическое уравнение и способ его

                            решения.

                        и) Иррациональные уравнения и способы его решения.

                        к) Уравнения, содержащие неизвестное под знаком.

                            абсолютной величины и способ его решения.

4. Трансцендентные уравнения.

                        а) Показательные уравнения и способ их решения.

                        б) Логарифмические уравнения и способ их решения.


Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попытался показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стал ограничиваться только действительным решением, но и указал комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений. К сожалению, из-за нехватки времени я не смог изложить весь имеющийся у меня материал, но даже по тому материалу, который здесь изложен, может возникнуть множество вопросов. Я надеюсь, что моих знаний хватит для того, чтобы дать ответ на большинство вопросов. Итак, я приступаю к изложению материала.


Математика... выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Историческая справка

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

            Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

уравнения. Алгебраические уравнения

Основные определения

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв [1]). Для записи тождества наряду со знаком  также используется знак Уравнения и способы их решения.

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:, Уравнения и способы их решения,  ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , Уравнения и способы их решения, ... или , Уравнения и способы их решения, ...); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: , Уравнения и способы их решения, , ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , Уравнения и способы их решения, ... или , Уравнения и способы их решения, ...).

В общем виде уравнение может быть записано так:

Уравнения и способы их решения(Уравнения и способы их решения, , ..., Уравнения и способы их решения).

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения.

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Если все решения уравнения Уравнения и способы их решенияявляются решениями уравнения Уравнения и способы их решения, то говорят, что уравнение Уравнения и способы их решения есть следствие уравнения Уравнения и способы их решения, и пишут 

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения Уравнения и способы их решения.

Два уравнения

Уравнения и способы их решенияи Уравнения и способы их решения

называют эквивалентными, если каждое из них является следствие другого, и пишут

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения Уравнения и способы их решения.

Таким образом, два уравнения считаются эквивалентными, если множество решений этих уравнений совпадают.

Уравнение Уравнения и способы их решения считают эквивалентным двум (или нескольким) уравнениям Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения, если множество решений уравнения Уравнения и способы их решения совпадает с объединением множеств решений уравнений Уравнения и способы их решения, Уравнения и способы их решения.

Н е к о т о р ы е  э к в и в а л е н т н ы е  у р а в н е н и я:

1) Уравнение Уравнения и способы их решенияэквивалентно уравнению Уравнения и способы их решения, рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

2) Уравнение Уравнения и способы их решения эквивалентно уравнению Уравнения и способы их решения, рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

3) Уравнения и способы их решения эквивалентно двум уравнениям Уравнения и способы их решения и  Уравнения и способы их решения.

4) Уравнение Уравнения и способы их решения эквивалентно уравнению Уравнения и способы их решения.

5) Уравнение Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения при нечетном n эквивалентно уравнению Уравнения и способы их решения, а при четном  n эквивалентно двум уравнениям  Уравнения и способы их решенияи Уравнения и способы их решения.

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

Уравнения и способы их решения,

где Уравнения и способы их решения – многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.

            Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида

Уравнения и способы их решенияУравнения и способы их решенияУравнения и способы их решения+Уравнения и способы их решения+ ... +Уравнения и способы их решения+Уравнения и способы их решения,

где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена , Уравнения и способы их решения, , ..., Уравнения и способы их решения,  называются коэффициентами (или параметрами) уравнения и считаются заданными; х называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.

            Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (реже решениями) алгебраического уравнения.

            Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида F(х)Уравнения и способы их решения, где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

            Так вот, главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.

Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка(и) пересечения двух графиков даст решение(я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.

Линейное уравнение

Линейным уравнением называется уравнение первой степени.

                                                                 ,                                                                 (1)

где a и b – некоторые действительные числа.

            Линейное уравнение всегда имеет единственный корень , который находится следующим образом.

Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число Уравнения и способы их решения, получаем уравнение

                                                                   ,                                                                   (2)

эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину , получаем корень уравнения (1):

Уравнения и способы их решения.

Квадратное уравнение

Алгебраическое уравнение второй степени.

                                                            ,                                                            (3)

где Уравнения и способы их решения, , Уравнения и способы их решения – некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным.

Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

Уравнения и способы их решения,

Выражение Уравнения и способы их решения называется дискриминантом квадратного уравнения.

При этом:

если Уравнения и способы их решения, то уравнение имеет два различных действительных корня;

если Уравнения и способы их решения, то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;

если Уравнения и способы их решения, то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:

Уравнения и способы их решения,                                   ,

Частными видами квадратного уравнения (3) являются:

1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если ), которое обычно записывается в виде

Уравнения и способы их решения.

Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле

                                                    .                                                    (4)

            Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.

2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде

Уравнения и способы их решения ( - целое число).

Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле

                                                      .                                                      (5)

            Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.

            Корни приведенного квадратного уравнения

Уравнения и способы их решения

связаны с его коэффициентами Формулами Виета

Уравнения и способы их решения,

Уравнения и способы их решения.

В случае, если приведенное квадратное

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: