Решение матриц

Умножение


Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Это условие не выполняется, произведение АВ не существует.

Произведение матрицы и вектора Аb:


Решение матриц


Скалярное произведение векторов (b,с):


Решение матриц


Найти определитель матрицы А:

В частности, формула вычисления определителя матрицы Решение матрицтакова:


Решение матриц

= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31

=2*(-4)*5 – 2*4*2 – (-2)*5*5 + (-2)*4*(-1) +(-1)*5*2 – (-1)*(-4)*(-1) = -40 – 16 +50 + 8 – 10 + 4 = -4


Найти обратную матрицу А-1:

Решение.


Решение матриц

Определитель введенной Вами матрицы равен:


Решение матриц


Определитель не равен нулю, следовательно обратная матрица существует.

Допишем к исходной матрице единичную матрицу справа.


Решение матриц


Начнем приведение левой квадратной матрицы к единичному виду. При помощи элементарных преобразований уберем все коэффициенты ниже главной диагонали.

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.


Решение матриц


Приведем все коэффициенты выше главной диагонали к 0, при помощи элементарных преобразований.

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Ответ.

Как уже ранее упоминалось, мы при помощи элементарных преобразований переместили единичную матрицу из правой части в левую, при этом не нарушив ни одного правила работы с матрица.

Квадратная матрица, которую Вы видите справа и есть обратная матрица к введенной Вами.

Решение матриц


Решение системы уравнений Ах=b:

Условие


Решение матриц


Решение

Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:


Решение матриц


Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его. Достоим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.


Решение матриц


Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (3 Ч 3) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.


Решение матриц


Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.


Решение матриц


Ответ.

Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением Вашей системы уравнений.


Решение матриц


Элементарные преобразования матрицы


Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) умножение строки матрицы на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке матрицы другой строки; 3) перестановка строк; 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов); 5) транспонирование матрицы;

Те же операции, применяемые для столбцов матрицы, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу матрицы прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Начинаем решать вот такую систему уравнений методом Гаусса


Решение матриц


Определитель основной матрицы равен -4

Хотим сделать элемент [1,1] равным 1. Разделили всю строку 1 на элемент [1,1]=2.


Решение матриц


Сделали в 1 строке элемент 1 единичным.

Обнулим 1 столбец: Из 2 строки вычли 1 строку, умноженную на элемент [1,2]=5.


Решение матриц


Из 3 строки вычли 1 строку, умноженную на элемент [1,3]=-1.


Решение матриц


Преобразование 1 столбца сделали.

Хотим сделать элемент [2,2] равным 1. Разделили всю строку 2 на элемент [2,2]=1.


Решение матриц


Сделали в 2 строке элемент 2 единичным.

Обнулим 2 столбец: Из 1 строки вычли 2 строку, умноженную на элемент [2,1]=-1.


Решение матриц


Из 3 строки вычли 2 строку, умноженную на элемент [2,3]=1.


Решение матриц


Преобразование 2 столбца сделали.

Хотим сделать элемент [3,3] равным 1. Разделили всю строку 3 на элемент [3,3]=-2.


Решение матриц


Сделали в 3 строке элемент 3 единичным.

Из 1 строки вычли 3 строку, умноженную на элемент [3,1]=6.


Решение матриц


Из 2 строки вычли 3 строку, умноженную на элемент [3,2]=6.5.


Решение матриц


Преобразование 3 столбца сделали.

Ну вот вроде и все. Решение содержится в правом столбце: Решение матриц Быстренько сделаем проверку: Исходная матрица:


Решение матриц


Подставим в исходную матрицу полученные решения: в квадратных скобках элементы матрицы, в круглых решения системы уравнений


Решение матриц

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты:

  • Основы высшей математики

    Понятие "матрица" в математике. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число. Операция и свойства умножения двух матриц. Транспонированная матрица – матрица, полученная из исходной матрицы с заменой строк на столбцы.

  • Определители

    В настоящем реферате рассмотрены определители второго и третьего порядка, приведены примеры решения систем уравнений методом определителей.

  • Точные методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений

    Метод главных элементов, расширенная матрица, состоящая из коэффициентов системы и свободных членов. Метод квадратных корней для решения систем с симметричной матрицей коэффициентов. Практическая реализация метода Халецкого: программа на языке Pascal.

  • Матрицы

    Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.

  • Алгебра матриц

    Основные понятия. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства умножения матриц. Вырожденные и невырожденные матрицы.

  • Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами

    Понятие равных матриц, их суммы и произведения. Нахождение элемента матрицы, свойства ее произведения. Расположение вне главной диагонали элементов квадратной матрицы. Понятие обратной матрицы, матричные уравнения. Теорема о базисном миноре, ранг матрицы.

  • Системы линейных уравнений

    Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.

  • Матрицы, Метод Гаусса

    Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.

  • Матрицы и определители

    Матрицы. Операции над матрицами. Определители. Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).. Ранг матрицы. Обратная матрица.

  • Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда

    Разработан алгоритм, сочетающий точность и быстродействие, что позволяет рекомендовать его для практического использования.

  • Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

    Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.

  • Матрицы и определители

    Понятие матрицы, ее ранга, минора, использование при действиях с векторами и изучении систем линейных уравнений. Квадратная и прямоугольная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Умножение матрицы на число. Класс диагональных матриц, определители.

  • Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

    Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

  • Матрицы, действия с ними

    Понятие матрицы, его источники и развитие в математической науке, основные элементы и их взаимодействие. Описание действий с матрицами: сложение, вычитание, умножение между собой и на число, транспортирование. Свойства транспортированных матриц.

  • Системы линейных уравнений и неравенств

    Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.

  • Обратная матрица

    Матричные уравнения. Некоторые свойства определителей.Фундаментальная система решений.

  • Определитель матрицы

    Вид в матричной форме, определитель матрицы, алгебраического дополнения и всех элементов матрицы, транспоная матрица. Метод Крамера, правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с определителем основной матрицы.

  • Теория Матриц и Определителей

    Средняя школа № 45. Город Москва. Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений Курсовая работа (черновик). Введение в теорию матриц и определителей

  • Умножение матрицы. Теория вероятности

    Преобразование матрицы: умножение, приведение коэффициентов на главной диагонали матрицы к 1. Решение системы уравнений методом Крамера. Определители дополнительных матриц. Определение вероятности события (теория вероятности), математическая статистика.

  • Определитель матрицы

    Прямоугольная таблица, составленная из чисел или матрица. Произвольная квадратная матрица, ее численная характеристика (определитель). Определители первого и второго порядка. Понятие минора элемента матрицы. Свойства определителей, транспонирование.