Xreferat.com » Рефераты по математике » Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА


РЕФЕРАТ


по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)


Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.


Москва 2002 год


2


Содержание


Введение 3

2. Нахождение асимптоты 4

2.1 Геометрический смысл асимптоты 5

2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6

3. Виды 8

3.1 Горизонтальная асимптота 8

3.2 Вертикальная асимптота 9

3.3 Наклонная асимптота 10

Использованная литература 12


3


Введение


Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).


4


2. Нахождение асимптоты


Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех

x < а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) - kx - l = 0 при х ® + Ґ (соответственно при х ® - Ґ), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x ® + Ґ (соответственно при х ® - Ґ).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х ® + Ґ

(или х ® - Ґ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.

x- 3x - 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x +1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x - 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ® ± Ґ, то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х ® + Ґ,

так и при х ® - Ґ.


5


2.1 Геометрический смысл асимптоты


Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,

q - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q ,

MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).

(рис.1)


Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM - QM = f (x) – (kx +l),

MP = MQ cos q. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ® + Ґ (соответственно при х ® - Ґ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот. х ® + Ґ

х ® + Ґ

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ® + Ґ или, соответственно, х ® - Ґ).


6


2.2 Общий метод отыскания асимптоты


Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х ® + Ґ (при х ® - Ґ рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х ® + Ґ. Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ® + Ґ. Тогда

lim = k.

х ® + Ґ

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

х ® + Ґ

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является

х ® + Ґ

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

х ® + Ґ

lim [f (x) - (kx + l)] = 0,

х ® + Ґ


то есть прямая y = kx