Xreferat.com » Рефераты по математике » Случайное событие и его вероятность

Случайное событие и его вероятность

А – «за смену потребовал наладки ровно один станок», В – «за смену потребовали наладки ровно два станка» и С – « за сену потребовали наладки более двух станков» несовместны. Нас же интересует вероятность события AUBUC. По теореме 1: P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0,2+0,13+0,07=0,4.

Выведем теперь связь между вероятностями противоположных событий.

Теорема 2. Для любого события А имеем: P(A*)=1-P(A).

Для доказательства вспомним, что AUA*=U, P(U)=1 и A A*. Тогда по теореме 1 получаем: 1=P(U)=P(AUA*)=P(A)+P(A*), откуда следует требуемая формула.

Пример 3. Берётся наудачу трёхзначное натуральное число от 100 до 999. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

Решение. Опыт здесь состоит в том, что наудачу выбирается натуральное число от 100 до 999 и смотрят, есть ли у негосовпадающие цифры. События «взяли наудачу число N» (N= 100, 101, … , 999) равновероятны (в этом смысл слова «наудачу» ) и образуют множество исходов этого опыта. Число исходов n=900. Нас интересует событие А - «у выбранного числа совпадают хотя бы две цифры». Проще, однако, подсчитать вероятность противоположного события А* - «у выбранного числа все цифры различны». Каждое такое число есть размещение без повторений из 10 цифр по 3, не имеющее первым элементом нуль. Следовательно, m=(A10)3 –(A9)2=10.9.8—9.8=92.8 (из числа всех трёхэлементных размещений без повторений надо вычесть число тех, у которых на первом месте стоит нуль) и P(A*)=92.8/900=0,72. Тогда по

теореме 2 P(A)=1-P(A*)=0,28.

Пример 4. В урне, содержащей n шаров белого, красного и чёрного цвета, находится k белых шаров и L красных. Какова вероятность вынуть шар не чёрного цвета?

Решение. Если событие А состоит в появлении белого, а событие В – красного шара, то появление шара не чёрного цвета означает появление либо белого, либо красного шара. Так как по определению вероятности

P(A)=k/n, P(B)=L/n,

То по теореме сложения вероятность появления шара не чёрного цвета равна: P(A U B)=k/(n+L)/n=(k+L)/n.

Эту задачу можно решить и так. Пусть событие С состоит в появлении чёрного шара. Число чёрных шаров равно n –(k+L), так что P(C)=(n—k—L)/n. 3

Появление шара не чёрного цвета является противоположным событием С*, поэтому на основании указанного выше следствия из теоремы сложения имеем: P(C*)=1—P(C )=1—(n—k—L)/n=(k+L)/n, как и раньше.

Пример 5. В денежно – вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого – либо выигрыша на один лотерейный билет?

Решение. Если обозначить через А событие, состоящее в выпадении денежного выигрыша, и через В — вещевого, то из определения вероятности следует P(A)=120/1000=0,12; P(B)=80/1000=0,08. Интересующее нас событие представляет (AUB), поэтому из теоремы сложения вытекает:

P(AUB)=P(A)+P(B)=0,20.

Таким образом, вероятность какого – либо выигрыша равна 0,2.

3. Закон равномерной плотности вероятности.

В некоторых задачах практики встречаются непрерывные случайные величины, о которых заранее известно, что их возможные значения лежат в пределах некоторого определенного интервала; кроме того, известно, что в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (точнее, обладают одной и той же плотностью вероятности). О таких случайных величинах говорят, что они распределяются по закону равномерной плотности.

Дадим определение: равномерным называется распределение непрерывной случайной величины Х все значения которой лежат на отрезке [a;b] и имеют при этом постоянную плотность распределения:

площадь под кривой распределения равна 1 и поэтому с(в-а)=1

вероятность попадания случайной величины Х на интервал от (α;β)

α=а, если α<а

β=в, если β>в

основные числовые характеристики закона распределения плотности вычисляются по общим формулам и они равны

Приведем примеры подобных случайных величин:

Пример 1. Произведено взвешивание тела на точных весах, но в распоряжении взвешивающего имеются только разновески весом не менее 1г.; результат взвешивания показывает, что вес тела заключен между k и (k+1/2) граммам. Допущенная при этом ошибка X , очевидно, есть случайная величина, распределенная с равномерной плотностью на участке г.

Пример 2. Вертикально поставленное симметричное колесо (см.Рисунок№1) приводится во вращение и затем останавливается вследствие трения. Рассматривается случайная величина θ –угол, который после остановки будет составлять с горизонтом фиксированный радиус колеса ОА. Очевидно величина θ распределена с равномерной плотностью на участке (0,2 π)

Рисунок 1

Итак, я рассмотрю случайные величины и функции распределения.

4. Случайные величины

Определение. Пусть — произвольное вероятностное пространство.

Случайной величиной называется измеримая функция , отображающая в множество действительных чисел , т.е. функция, для которой прообраз любого борелевского множества есть множество из -алгебры .

Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.

2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно брошенной в квадрат точки .

Множество значений случайной величины будем обозначать , а образ элементарного события — . Множество значений может быть конечным, счетным или несчетным.

Определим -алгебру на множестве . В общем случае -алгебра числового множества может быть образована применением конечного числа операций объединения и пересечения интервалов или полуинтервалов вида (), в которых одно из чисел или может быть равно или .

В частном случае, когда — дискретное (не более чем счетное) множество, -алгебру образуют любые подмножества множества , в том числе и одноточечные.

Таким образом -алгебру множества можно построить из множеств или , или .

Будем называть событием любое подмножество значений случайной величины : . Прообраз этого события обозначим . Ясно, что ; ; . Все множества , которые могут быть получены как подмножества из множества , , применением конечного числа операций объединения и пересечения, образуют систему событий. Определив множество возможных значений случайной величины — и выделив систему событий , построим измеримое пространство . Определим вероятность на подмножествах (событиях) из таким образом, чтобы она была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом: .

Тогда тройка назовем вероятностным пространством случайной величины , где

— множество значений случайной величины ; — -алгебра числового множества ; — функция вероятности случайной величины .

Если каждому событию поставлено в соответствие , то говорят, что задано распределение случайной величины . Функция задается на таких событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность произвольного события . Тогда событиями могут быть события .

5. Функция распределения и ее свойства

Рассмотрим вероятностное пространство , образованное случайной величиной .

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция действительного переменного , определяющая вероятность того, что случайная величина примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа :

(1)

Там где понятно, о какой случайной величине , или идет речь, вместо будем писать . Если рассматривать случайную величину как случайную точку на оси , то функция распределения с геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка в результате реализации эксперимента попадет левее точки .

Очевидно что функция при любом удовлетворяет неравенству . Функция распределения случайной величины имеет следующие свойства:

2) Функция распределения — неубывающая функция , т.е. для любых и , таких что , имеет место неравенство .

Доказательство. Пусть и и . Событие, состоящее в том, что примет значение, меньшее, чем , представим в виде объединения двух несовместных событий и : .

Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, или по формуле (1)

, (2)

откуда , так как . Свойство доказано.

Теорема. Для любых и вероятность неравенства вычисляется по формуле

(3)

Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2). Таким образом, вероятность попадания случайной величины в полуинтервал равна разности значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала и .

2) ; .

Доказательство. Пусть и — две монотонные числовые последовательности, причем , при . Событие состоит в том, что . Достоверное событие эквивалентно объединению событий :

; .

Так как , то по свойству вероятностей , т.е. .

Принимая во внимание определение предела, получаем ;

3) Функция непрерывна слева в любой точке ,

Доказательство. Пусть — любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к . Тогда можно записать:

На основании аксиомы 3

Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к , то остаток ряда, начиная с некоторого номера , будет меньше , (теорема об остатке ряда)

.

Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию распределения. Получим

,

откуда или , а это означает, что .

Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию и . И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше действительного числа , вычисляется по формуле .

Доказательство. Достоверное событие представим в виде объединения двух несовместных событий и . Тогда по 3-1 аксиоме Колмогорова или , откуда следует искомая формула.

Определение. Будем говорить, что функция распределения имеет при скачок , если , где и пределы слева и справа функции распределения в точке .

Теорема. Для каждого из пространства случайной величины имеет место формула

Доказательство. Приняв в формуле (3) , и перейдя к пределу при , , согласно свойству 3), получим искомый результат. Можно показать, что функция может иметь не более чем счетное число скачков. Действительно функция распределения может иметь не более одного скачка , скачков — не более 3-х, скачков не более чем .Иногда поведение случайной величины характеризуется не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим законом распределения, но так, чтобы можно было получить из этого закона распределения функцию распределения .

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: