* Алгебры и их применение
Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе- ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств
Н = Н0,0Н0,1Н1,0Н1,1 ((С2Нк)), (1.1.)
где каждому подпространству Нк соответствует одно φк (0, ), φк ≠ φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m). Пусть Рi,j: Н → Нi,j , Рφк: Н → С2Нк – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов
I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1(Рφк), (1.2.)
P1 = P1,0P1,1((Iк )) (1.3)
Р2 = P0,1 P1,1 (Iк )) (1.4)
где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m).
Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение
Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого- нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк (0, ):
Н΄ = Нφк, (l = n - )
Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм
Нφк…Нφк ≈ С2Нк , где Нφк nк экземпляров, dim(Нφк…Нφк )=2nк dim(С2Нк) = dimС2 dimНк = 2nк . Следовательно, получаем разложение (1.1.)
Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 ((С2Нк))
Пусть πi,j – сужение π на Нi,j ( i, j= 0,1), πк – сужение π на Нφк (к = 1,…, m), то есть πi,j и πк - *-подпредставления.
Учитывая кратности подпредставлений получаем
π = n0,0π0,0n0,1π0,1n1,0π1,0n1,1π1,1(nкπк) (1.5.)
В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.
Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)
I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1 (Рφк)
Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид
P1 = P1,0 P1,1 ((Iк ))
Р2 = P0,1 P1,1 ( Iк ))
Причем n1,0π1,0(р1) = P1,0 , n0,1π0,1(p2) = P0,1 , n1,1π1,1(р1) = P1,1 , n0,0π0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно
UА = АU-1 или АU = U-1А (2.1.)
Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.
Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В – приводима.
Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.
Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2 неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.
Доказательство. Пусть Р1 и Р2 приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р1LL, Р2LL. Рассмотрим АL = (2Р1 – I)LL, ВL = (2Р2 – I)LL, то есть А и В приводимы.
Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1 и Р2 также будут приводимы, так как Р1L = LL, Р2L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.
Лемма 2.3. Если eiφ(U), то e-iφ(U).
Доказательство.
1) Если eiφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует fН: ||f|| = 1 и Uf = eiφ f. Тогда по (2.1.) UАf = АU-1f = eiφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e-iφ принадлежит спектру U.
2) Если eiφ(U), то существует последовательность единичных векторов в Н || fn || = 1 такая, что
||Ufn - eiφfn || = || UАfn - eiφ A fn || = || U-1Аfn - eiφ A fn || → 0 при n → ∞ (|| Аfn || =1)
Тогда eiφ(U-1), следовательно e-iφ(U).
Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.
Доказательство. Рассмотрим соотношения
А (U + U-1) = АU + АU-1 = (U-1 +U)А
А (U - U-1) = А (U2 – 2I + U-2) = (U2 – 2I + U-2)А = (U - U-1)2А
Таким образом А (U + U-1) = (U-1 +U)А (2.2.)
А (U - U-1) = (U - U-1)2А (2.3.)
Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем
U + U-1 = cI
(U - U-1)2 = d2I
где c, d С. По теореме преобразования спектров eiφ+ e-iφ = c, eiφ- e-iφ = ±d.
Если d = 0, то (U) состоит из одной точки eiφ, где φ=0 или φ=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, хH.
Если d ≠ 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек eiφ= и e-iφ= φ(0, π)
Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiφ (или e-iφ), Нeiφ = {fH | Uf = eiφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = eiφf, U(Аf) = eiφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiφ= dimН-eiφ=1
Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {eiφ, e-iφ} φ(0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:
А = , U = , В =
Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1, Р2 ортопроекторов лишь одномер- ны и двумерны.
Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.
2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 ((С2L2((0, ), dρк))) (2.4.)
где ρ1 > ρ2 >… ρк меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства
P1 = P1,0