* Алгебры и их применение
(А) 
[0, 2] и Н можно
разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную
сумму (2.1.)
Н = Н0 
Н1 Н2 (
(С2
L2((0, 2), dρк)))
Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρк (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.
Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим
ортопроекторы Р1΄ Р2΄ равенствами
Р1΄ = P1P2((
Iк ))
Р2΄ = P2 ( 
Iк ))
где Pi: Н→Нi (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2((0, 2), dρк)). Тогда А =Р1΄ + Р2΄ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.
2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 + bР2 (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР1 + bР2 (0<a<b).
Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в
виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и
только тогда, когда (А) [0, a] 
[b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы
инвариантных относительно А пространств
Н = Н0 Нa НbНa+b ((С2L2([0, a] [b, a+b], dρк)))) (2.2.)
и меры ρк инвариантны относительно преобразования х→a+b.
Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2 (0<a<b).
Пусть Н0=Н0,0, На=Н0,1, Нb=Н1,0 , Нa+b=Н1,1. Так как (А) [0, a] [b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие
собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их
размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем
Н = Н0 Нa НbНa+b ((С2L2([0, a] [b, a+b], dρк))))
где меры ρк (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.
Обратно, пусть (А) [0, a] [b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2
следующим образом
P1 = PaPa+b ((Iк ))
Р2 = Pb Pa+b ( 
Iк ))
где Рα: Н→Нα , α = a, b, a+b –
ортопроекторы, Iк – единичный оператор в L2([0,a] [b, a+b]). Тогда
А = aР1 + bР2 = aР1 bР2(a+b)Pa+b ((Iк ))
( Iк ))
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 .
P2 = С <p1, p2 | pк2 = pк* =pк>.
А именно: 4 одномерных π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1; π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.
И двумерные: 
, 
τ
(0, 1)
Изучен спектр операторов Р1 + Р2, aР1 + bР2 (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2 и А = aР1 + bР2 (0<a<b).
Список литературы
Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.
Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.
Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.
Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.
Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.
Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.
Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.
Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.
Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.
Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.
NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.
Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.