Xreferat.com » Рефераты по математике » Частотно-временной анализ сигналов

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Частотно-временной анализ сигналов

Череповецкий военный инженерный институт радиоэлектроники.

Кафедра №8


Курсовая работа по математике

Тема: «Частотно-временной анализ сигналов»


Выполнили:

Плотников Е.А.


г. Череповец-2008.

Содержание


Плоскость частота-время

Базисные функции частотно-временного анализа

Прямое и обратное преобразование Фурье

Дискретное вейвлет-преобразование

4.1 Дискретизация масштаба

4.2 Дискретизация масштаба и сдвига. Фреймы

4.3 Примеры дискретного вейвлет-преобразования

Литература

1. Плоскость частота-время


Для анализа и сравнения частотно-временных локализационных свойств различных базисов используют плоскость частота-время. Любая функция Частотно-временной анализ сигналовможет характеризоваться интервалом It на временной оси и интервалом Частотно-временной анализ сигналов в Фурье области, в которых содержится 90% ее энергии, сосредоточенной около центра тяжести функцииЧастотно-временной анализ сигналов Тогда в этой плоскости функциюЧастотно-временной анализ сигналов можно изобразить в виде прямоугольника, как показано на рис. 3.1.


Частотно-временной анализ сигналов


Очевидно, что смещение функции на Частотно-временной анализ сигналовот исходного состояния вызовет перемещение прямоугольника параллельно оси t. Модуляция этой функции комплексной экспонентой Частотно-временной анализ сигналовсдвигает прямоугольник параллельно оси Частотно-временной анализ сигналов (рис.3.2.).

Частотно-временной анализ сигналов


Масштабирование функции (ее сжатие или растяжение) приводит к развороту прямоугольника. Действительно, получим новую функциюЧастотно-временной анализ сигналов масштабированием функции Частотно-временной анализ сигналов на коэффициент a:Частотно-временной анализ сигналов


Частотно-временной анализ сигналов


Энергия такой функции E:


Частотно-временной анализ сигналов


Следовательно, ширина функции Частотно-временной анализ сигналовравна Частотно-временной анализ сигналов. В соответствии со свойством масштабирования Фурье-преобразования (Частотно-временной анализ сигналов) Частотно-временной анализ сигналов Влияние масштабирования на положение функции в плоскости время-частота показано на рис. 3.3.


Частотно-временной анализ сигналов


В качестве примеров функций, иллюстрирующих эффективность их представления в плоскости время-частота, рассмотрим Частотно-временной анализ сигналов функцию Дирака и Фурье - базис. Известно, что Частотно-временной анализ сигналов - функция является идеальным базисом для временного анализа сигналов. Результатом такого анализа являются отсчеты, которые можно рассматривать как временной спектр сигнала. На плоскости время - частота Частотно-временной анализ сигналов функция Частотно-временной анализ сигналов выглядит как показано на рис. 3.4а, т.е. эта функция обладает свойством хорошей временной локализации, но плохой локализацией в спектральной области (она имеет равномерный спектр на всех частотах). Базисные функцииЧастотно-временной анализ сигналовФурье-анализа, наоборот, обладают хорошей частотной локализацией в то время, как во временной области они имеют бесконечную протяженность (см. рис. 3.4б).


Частотно-временной анализ сигналов


2. Базисные функции частотно-временного анализа


Итак, частотно-временной анализ предназначен для выявления локальных частотно-временных возмущений сигнала. Вследствие кратковременности таких возмущений, сам сигнал может рассматриваться как заданный в L2 т.е. для одномерных сигналов – на всей действительной оси Частотно-временной анализ сигналовс нормой Частотно-временной анализ сигналов. Следовательно, базисные функции, которые получили название вейвлетов, также должны принадлежать L2 и быстро убывать приЧастотно-временной анализ сигналовТогда, чтобы перекрыть такими базисными функциями все возможные временные положения сигнала, необходимо, чтобы базисные функции представляли собой набор смещенных во времени функций. Удобнее всего, если этот набор образуется из одной и той же "материнской" функции Частотно-временной анализ сигналов (прототипа), сдвинутой по оси t т.е.Частотно-временной анализ сигналов Чтобы обеспечить частотный анализ, базисная функция должна иметь еще один аргумент – масштабный коэффициент, который является аналогом частоты в Фурье-анализе. Тогда базисные функции для частотно-временного анализа будут иметь вид


Частотно-временной анализ сигналов


Где масштабный коэффициент Частотно-временной анализ сигналов введен как делитель t, причем масштабированию подвергается также и сдвиг b. Это позволяет сохранить относительную "плотность" расположения базисных функций по оси t при расширении или сжатии самой функции и при Частотно-временной анализ сигналов (рис 3.6)


Частотно-временной анализ сигналов


Таким образом, базисные функции для частотно-временного анализа должны обладать следующими свойствами. Ограниченность, т.е. принадлежность L2 Частотно-временной анализ сигналов. Локализация. Базисные функции вейвлет - анализа, в отличие от преобразования Фурье, должны быть локализованы, т.е. определены на конечном интервале как во временной, так и в частотной областях. Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:


Частотно-временной анализ сигналовЧастотно-временной анализ сигналов


Нулевое среднее. Равенство нулю нулевого моментаЧастотно-временной анализ сигналов

или, что иногда необходимо – равенство нулю момента m-го порядка


Частотно-временной анализ сигналов

Это – вейвлеты m-го порядка, позволяющие анализировать более тонкую структуру сигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие.


3. Прямое и обратное преобразование Фурье


При Частотно-временной анализ сигналов


Частотно-временной анализ сигналов


- прямое преобразование Фурье


Частотно-временной анализ сигналов


- обратное преобразование Фурье.

Комплексная функцияЧастотно-временной анализ сигналовимеет смысл спектральной плотности, ее иногда называют непрерывным спектром Фурье-функции f(t).

Также как и в случае периодической функции, предполагается, что f(t) удовлетворяет условиям Дирихле или, что эквивалентно, абсолютно интегрируема и удовлетворяет условию Дини.

Отметим также, что:


Частотно-временной анализ сигналов


4. Дискретное вейвлет-преобразование


Представление функции f(t) через ее непрерывное вейвлет – преобразование является избыточным. В задачах обработки информации, встречающихся на практике, сигнал, во-первых, имеет ограниченную полосу и, во-вторых, допускаются те или иные погрешности в получаемых результатах. Поэтому используют дискретное представление непрерывных сигналов, при которых параметры преобразования, в данном случае a и b, приобретают дискретные значения. Вейвлет-преобразование, при котором значения a и b дискретны, называют дискретным вейвлет-преобразованием (DWT - Discrete Wavelet Transform).


4.1 Дискретизация масштаба


Рассмотрим сначала случай дискретного масштаба a и положим Частотно-временной анализ сигналовЧастотно-временной анализ сигналов. Это равноценно разбиению частотной оси на поддиапазоны (частотные полосы). Предположим, что Частотно-временной анализ сигналов (это можно сделать всегда, умножив функцию ψ на некоторый модуляционный множитель Частотно-временной анализ сигналов (см.Частотно-временной анализ сигналов). Тогда частотное окно будет равно:


Частотно-временной анализ сигналов


а центральная частота m-го вейвлета:


Частотно-временной анализ сигналовЧастотно-временной анализ сигналов.


Базисом для DWT является функция, полученная из


(Частотно-временной анализ сигналов)


при Частотно-временной анализ сигналов:


Частотно-временной анализ сигналов.


Если справедливо Частотно-временной анализ сигналов и если Частотно-временной анализ сигналовдостаточно быстро затухает, то любая функция из L2 может быть представлена в виде дискретной по Частотно-временной анализ сигналов последовательности


Частотно-временной анализ сигналов (3.5.2.)


Для восстановления f(t) по дискретным значениям (3.5.2.) на базис Частотно-временной анализ сигналов(t) налагаются дополнительные ограничения, а именно, образ Фурье вейвлета Частотно-временной анализ сигналов(t) должен удовлетворять соотношению


Частотно-временной анализ сигналов, (3.5.3)


где константы А и В такие, что Частотно-временной анализ сигналов. Условие (3.5.3.) в терминах радиотехники имеет довольно прозрачное толкование. Действительно, так как при каждом значении масштаба Частотно-временной анализ сигналов вейвлет представляет собой полосовой фильтр, то набор (сумма) этих фильтров (блок фильтров) является некоторым устройством с неравномерной частотной характеристикой, определяемой константами A и B (рис. 3.12). Сигнал, например звуковой, на выходе такого устройства при сильной неравномерности частотной характеристики претерпевает существенные искажения. Поэтому для его восстановления принимают специальные меры, в частности, устанавливают фильтр, компенсирующий искажения частотной характеристики. В вейвлет-преобразовании таким фильтром является дуальный (или двойственный) вейвлет Частотно-временной анализ сигналов, Фурье-образ которого имеет вид:


Частотно-временной анализ сигналов. (3.5.4.).


Частотно-временной анализ сигналов


Покажем, что с помощью такого вейвлета по коэффициентам DWT полностью восстанавливается сигнал. Действительно, используя соотношение Парсеваля


(Частотно-временной анализ сигналов)


и формулу получим (3.5.4.):


Частотно-временной анализ сигналов


Из (3.5.4.) и (3.5.3.) можно показать, что


Частотно-временной анализ сигналов


4.2 Дискретизация масштаба и сдвига. Фреймы


В этом случае полагают дискретными величины a и b, т.е. Частотно-временной анализ сигналов Частотное окно для анализа сохраняется прежним. Ширина временного окна


Частотно-временной анализ сигналов


равна Частотно-временной анализ сигналов, а среднее значение Частотно-временной анализ сигналовизменяется дискретно пропорционально m -ой степени a0 - масштабу вейвлета. Чем уже функция ψ, т.е. меньше величинаЧастотно-временной анализ сигналов, тем меньше (на ту же величину) шаг сдвига этой функции. Базисными функциями для дискретного вейвлет-преобразования будут функции, получаемые из Частотно-временной анализ сигналов,при Частотно-временной анализ сигналов и Частотно-временной анализ сигналов


Частотно-временной анализ сигналов


Коэффициенты разложения любой функции из L2 могут быть получены как


Частотно-временной анализ сигналов


Выражение (3.5.6) является дискретным вейвлет-преобразованием функции Частотно-временной анализ сигналов. Чтобы обратное преобразование во временную область было справедливым, должно выполняться следующее условие:


Частотно-временной анализ сигналов


для всехЧастотно-временной анализ сигналовесли константы A и B такие, чтоЧастотно-временной анализ сигналовВ этом случае формула для восстановления функции f(t) по коэффициентамЧастотно-временной анализ сигналов будет иметь вид


Частотно-временной анализ сигналов (3.5.8)


где ошибку восстановления R можно оценить как Частотно-временной анализ сигналов Разделив все члены неравенства (3.5.7) наЧастотно-временной анализ сигналов, можно видеть, что константы A и B являются границами нормированной наЧастотно-временной анализ сигналовэнергии – скалярного произведенияЧастотно-временной анализ сигналов. Они (эти константы) как бы "обрамляют" нормированную энергию коэффициентовЧастотно-временной анализ сигналов Отсюда произошел термин фрейм (frame), которым называют множество функций Частотно-временной анализ сигналов при которых условие (3.5.7) выполняется. Если A= B , тоЧастотно-временной анализ сигналов и множество Частотно-временной анализ сигналов называют плотным фреймом. При этом выражение Частотно-временной анализ сигналов вытекающее из (3.5.7), является обобщением теоремы Парсеваля на плотные фреймы. Для плотных фреймов из (3.5.8) получаем


Частотно-временной анализ сигналов


Если A=B=1, то плотный фрейм становится ортогональным базисом. Заметим, что для вейвлетов, образованных материнским вейвлетом (3.3.6), хорошие результаты при восстановлении сигналов получаются при Частотно-временной анализ сигналов так как Частотно-временной анализ сигналов. Для больших величин, например Частотно-временной анализ сигналовбудет Частотно-временной анализ сигналов т.е. восстановление приводит к большим искажениям.


4.3 Примеры вейвлетов для дискретного преобразования


Как было отмечено выше, функции вейвлет обладают свойством частотно-временной локализации, т.е. они ограничены как в частотной, так и во временной областях. Ниже рассмотрим два примера: первый – спектр вейвлетов в частотной области представляет собой идеальный полосовой фильтр, второй – сами функции вейвлет представляют собой прямоугольники. Все вейвлеты, с точки зрения частотно-временных свойств, занимают промежуточное положение между этими крайними случаями.

Sinc-базис. Разобьем ось частот на интервалы (поддиапазоны), как показано на рис. 3.13 при a0 = 2. Такое разбиение называют логарифмическим, так как отношение верхней и нижней границ диапазонов постоянно и равно 2. Такое разбиение является еще и идеальным, так как оно реализуется идеальными полосовыми фильтрами. Подобная идеализация нужна для исследования свойств частотного разложения с помощью идеализированных вейвлетов, что позволит в дальнейшем перейти к более сложным разложениям. Любой сигнал Частотно-временной анализ сигналов со спектромЧастотно-временной анализ сигналов может занимать полосу частот, охватывающую несколько таких поддиапазонов.


Частотно-временной анализ сигналов


Тогда Частотно-временной анализ сигналови Частотно-временной анализ сигналов т.е. сигнал представляет собой сумму некоторого числа элементарных сигналов. В рассматриваемом идеальном случае частотные каналы не перекрываются, поэтому имеет место ортогональность этих элементарных сигналов, т.е.


Частотно-временной анализ сигналов

Выберем из всего множества сигналов такие, которые ограничены полосой частот 2I, т.е. имеющие спектр Частотно-временной анализ сигналов. Рассмотрим периодическую функцию Частотно-временной анализ сигналов такую, что: Частотно-временной анализ сигналов, т.е. полученную периодизацией F1(ω) (рис. 3.14)


Частотно-временной анализ сигналов


Тогда спектр функции: Fi (ω) при произвольном I можно представить в виде:


Частотно-временной анализ сигналов


Где Частотно-временной анализ сигналов- функция окна такая, что:


Частотно-временной анализ сигналов


Посмотрим, как при этих условиях можно представить функцию f (t) во временной области. Для этого разложим периодическую функцию Частотно-временной анализ сигналов с периодом Частотно-временной анализ сигналов, в ряд Фурье (см. Частотно-временной анализ сигналов):


Частотно-временной анализ сигналов

Частотно-временной анализ сигналов


Где, подставляя (3.5.10а) в (3.5.9) и выполняя обратное преобразование Фурье, получим:


Частотно-временной анализ сигналов


Вычислим первый интеграл. Переставляя операции суммирования и интегрирования и ограничивая пределы интегрирования с учетом функции окна, получим:


Частотно-временной анализ сигналовЧастотно-временной анализ сигналов


где вейвлет


Частотно-временной анализ сигналов (3.5.14)


и (см. рис. 3.16):

Частотно-временной анализ сигналов (3.5.15)


Выражение (3.5.13) является представлением функции f (t) в базисе вейвлет. В рассматриваемом частном случае идеальной полосовой фильтрации вейвлетом является функция (3.5.14), образованная из материнской функции Частотно-временной анализ сигналов по (3.5.15) с учетом (3.5.12). Такой вейвлет называется sinc –вейвлетом по имени функции (3.5.12), которая его образует, а функция (3.5.12) получила название масштабной функции.


Частотно-временной анализ сигналов


МножительЧастотно-временной анализ сигналовпри Частотно-временной анализ сигналов необходим для сохранения нормы Частотно-временной анализ сигналов вне зависимости от величины масштаба, так как:


Частотно-временной анализ сигналов


Покажем, что в рассматриваемом частном случае Частотно-временной анализ сигналов т.е. определяется отсчетами функции Частотно-временной анализ сигналовпри Частотно-временной анализ сигналов. Рассмотрим интеграл Фурье (Частотно-временной анализ сигналов) при дискретных значениях Частотно-временной анализ сигналов функцииЧастотно-временной анализ сигналов, заданной на интервале Частотно-временной анализ сигналовИмеем, с учетом (3.5.10б):


Частотно-временной анализ сигналов


Последнее равенство справедливо при Частотно-временной анализ сигналови вещественных Частотно-временной анализ сигналов

Следовательно,


Частотно-временной анализ сигналов


Выполнив преобразование Фурье выражения (3.5.14), можно видеть, что спектр Фурье sinc -вейвлета представляет собой идеальный полосовой фильтр, в общем случае занимающий полосу частот отЧастотно-временной анализ сигналов до Частотно-временной анализ сигналов

Вейвлет Хаара. Разобьем теперь временную ось на интервалы, как показано на рис. 3.17 и определим на единичном интервале функцию


Частотно-временной анализ сигналов


Эта функция является материнским вейвлетом, так как она удовлетворяет условию (Частотно-временной анализ сигналов). Система сдвигов таких функций Частотно-временной анализ сигналов образует ортонормальный базис, так как их взаимная энергия равна нулю при Частотно-временной анализ сигналов и равна единице при Частотно-временной анализ сигналов


Частотно-временной анализ сигналов


Преобразование Фурье