Xreferat.com » Рефераты по математике » Теорема Штольца

Теорема Штольца

Содержание работы: Формулировка и доказательство теоремы Штольца. Применение теоремы Штольца: Теорема Штольца; нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты Теорема Штольца; Теорема Штольца; Теорема Штольца. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений Теорема Штольца типа Теорема Штольца часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта Теорема Штольца, причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и Теорема Штольца возрастает: Теорема Штольца. Тогда Теорема Штольца=Теорема Штольца,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу Теорема Штольца:

Теорема Штольца.

Тогда по любому заданному Теорема Штольца найдется такой номер N, что для n>N будет

Теорема Штольца

или

Теорема Штольца.

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби Теорема Штольца, Теорема Штольца, …, Теорема Штольца, Теорема Штольцалежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь Теорема Штольца, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

Теорема Штольца.

Напишем теперь тождество:

Теорема Штольца,

откуда

Теорема Штольца.

Второе слагаемое справа при n>N становится <Теорема Штольца; первое же слагаемое, ввиду того, что Теорема Штольца, также будет <Теорема Штольца, скажем, для n>N’. Если при этом взять N’>N, то для n>N’, очевидно, Теорема Штольца, что и доказывает наше утверждение.

Примеры: Пусть, например, Теорема Штольца. Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) Теорема Штольца, следовательно, вместе с yn и xnТеорема Штольца, причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению Теорема Штольца

Теорема Штольца

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что Теорема Штольца, что и требовалось доказать.

При а>1

Теорема Штольца

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:Теорема Штольца

Теорема Штольца

Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:

Если варианта anТеорема Штольцаимеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

Теорема Штольца

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).

Действительно, полагая в теореме Штольца

Xn=a1+a2+…+an, yn=n,

Имеем:

Теорема Штольца

Например, если мы знаем, что Теорема Штольца,

то и Теорема Штольца

Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

Теорема Штольца,

которая представляет неопределённость вида Теорема Штольца.

Полагая в теореме Штольца

xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,

будем иметь

Теорема Штольца.

Но

(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… ,

так что

nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…

и

Теорема Штольца.

Определим предел варианты

Теорема Штольца ,

представляющей в первой форме неопределенность вида Теорема Штольца, а во второй – вида Теорема Штольца. Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида Теорема Штольца:

Теорема Штольца.

Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

Теорема Штольца.

Но Теорема Штольца,

а Теорема Штольца,

так что, окончательно,

Теорема Штольца.

Пример 1.

Теорема Штольца=Теорема Штольца=Теорема Штольца=Теорема Штольца=Теорема Штольца=Теорема Штольца= Теорема Штольца=Теорема ШтольцаТеорема Штольца=Теорема Штольца=Теорема Штольца.

Пример 2.

Теорема Штольца=

=Теорема Штольца=

=Теорема Штольца=

=Теорема Штольца=

=Теорема Штольца=

=Теорема Штольца=

=Теорема Штольца.

Пример 3.

Теорема Штольца

=Теорема Штольца

=Теорема Штольца.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.

Теорема.

Пусть функция Теорема Штольца, причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk), т.е. функция возрастающая.

Тогда Теорема Штольца,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

Теорема Штольца.

Тогда, по определению предела Теорема Штольца

Теорема Штольца

или

Теорема Штольца.

Значит, какой бы Теорема Штольца ни взять, все дроби

Теорема Штольца, Теорема Штольца, …, Теорема Штольца

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь Теорема Штольца, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при Теорема Штольца

Теорема Штольца.

Напишем тождество(которое легко проверить):

Теорема Штольца,

Откуда

Теорема Штольца.

Второе слагаемое справа при Теорема Штольца становится Теорема Штольца; первое же слагаемое, ввиду того, что Теорема Штольца, так же будет Теорема Штольца, скажем, для Теорема Штольца. Если при этом взять Теорема Штольца, то для Теорема Штольца, очевидно Теорема Штольца, что и доказывает теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:

Теорема Штольца очевидна неопределенность Теорема Штольца

Теорема Штольца=Теорема Штольца=Теорема Штольца=2

Теорема Штольца неопределенность Теорема Штольца

Теорема Штольца=Теорема Штольца=Теорема Штольца=Теорема Штольца=0

Теорема Штольца неопределенность Теорема Штольца

Теорема Штольца=Теорема Штольца=Теорема Штольца=Теорема Штольца

Литература: “Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г. Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.