Xreferat.com » Рефераты по математике » Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

А сколько
стоит написать твою работу?

цену

Вместе с оценкой стоимости вы получите бесплатно
БОНУС: спец доступ к платной базе работ!

и получить бонус

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту.

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.

В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Контрольная работа

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Содержание


1. Предел числовой последовательности

2. Предел функции

3. Второй замечательный предел

4. Сравнение бесконечно малых величин

Литература

1. Предел числовой последовательности


Решение многих математических и прикладных задач приводит к последовательности чисел, заданных определенным образом. Выясним некоторые их свойства.

Определение 1.1. Если каждому натуральному числу Пределы. Сравнение бесконечно малых величин по какому-то закону поставлено в соответствие вещественное число Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, то множество чисел Пределы. Сравнение бесконечно малых величин называется числовой последовательностью.

Исходя из определения 1, видно, что числовая последовательность всегда содержит бесконечное число элементов. Изучение различных числовых последовательностей показывает, что с ростом номера их члены ведут себя по-разному. Они могут неограниченно увеличиваться или уменьшаться, могут постоянно приближаться к какому-то числу или вообще не проявлять какой-либо закономерности.

Определение 1.2. Число Пределы. Сравнение бесконечно малых величин называется пределом числовой последовательности Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, если для любого числа Пределы. Сравнение бесконечно малых величин существует такой номер числовой последовательности Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, зависящий от Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, что для всех номеров числовой последовательности Пределы. Сравнение бесконечно малых величин выполняется условие Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся. В этом случае пишут Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Очевидно, для выяснения вопроса о сходимости числовой последовательности необходимо иметь критерий, который был бы основан только на свойствах ее элементов.

Теорема 1.1. (теорема Коши о сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы числовая последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа Пределы. Сравнение бесконечно малых величин существовал такой номер числовой последовательности Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, зависящий от Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, что для любых двух номеров числовой последовательности Пределы. Сравнение бесконечно малых величин и Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, которые удовлетворяют условию Пределы. Сравнение бесконечно малых величин и Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, было бы справедливо неравенство Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Доказательство. Необходимость. Дано, что числовая последовательность Пределы. Сравнение бесконечно малых величин сходится, значит, в соответствии с определением 2, у нее существует предел Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Выберем какое-то число Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Тогда, по определению предела числовой последовательности, существует такой ее номер Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, что для всех номеров Пределы. Сравнение бесконечно малых величин выполняется неравенство Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Но так как Пределы. Сравнение бесконечно малых величин произвольно, то будет выполняться и Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Возьмем два каких-то номера последовательности Пределы. Сравнение бесконечно малых величин и Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, тогда


Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.


Отсюда следует, что Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, то есть необходимость доказана.

Достаточность. Дано, что Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Значит, существует такой номер Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, что для данного условия Пределы. Сравнение бесконечно малых величин и Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. В частности, если Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, а Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, то Пределы. Сравнение бесконечно малых величин или Пределы. Сравнение бесконечно малых величин при условии, что Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Это значит, что числовая последовательность Пределы. Сравнение бесконечно малых величин для Пределы. Сравнение бесконечно малых величин ограничена. Следовательно, по крайней мере, одна из ее подпоследовательностей Пределы. Сравнение бесконечно малых величин должна сходиться. Пусть Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Докажем, что Пределы. Сравнение бесконечно малых величин сходится к Пределы. Сравнение бесконечно малых величин также.

Возьмем произвольное Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Тогда, согласно определению предела, существует такой номер Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, что для всех Пределы. Сравнение бесконечно малых величин выполняется неравенство Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. С другой стороны, по условию дано, что у последовательности Пределы. Сравнение бесконечно малых величин существует такой номер Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, что для всех Пределы. Сравнение бесконечно малых величин и Пределы. Сравнение бесконечно малых величин будет выполняться условие Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Выберем Пределы. Сравнение бесконечно малых величин и зафиксируем некоторое Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Тогда для всех Пределы. Сравнение бесконечно малых величин получим:


Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.


Отсюда следует, что Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, что и требовалось доказать.

Определение 1.3. Числовая последовательность Пределы. Сравнение бесконечно малых величин называется монотонно возрастающей, если выполняется неравенство Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, и монотонно убывающей, если Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Теорема 1.2. Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху числовая последовательность Пределы. Сравнение бесконечно малых величин имеет предел.

Аналогичная теорема есть и для монотонно убывающей числовой последовательности.


2. Предел функции


При исследовании графиков различных функций можно видеть, что при неограниченном стремлении аргумента функции к какой-то величине, то ли конечной, то ли бесконечной, сама функция также может принимать ряд значений, неограниченно приближающихся к некоторой величине. Следовательно, для функции также можно ввести понятие предела.

Определение 2.1. Число Пределы. Сравнение бесконечно малых величинназывается пределом функции Пределы. Сравнение бесконечно малых величин в точке Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, если для любого Пределы. Сравнение бесконечно малых величин существует такое число Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, что из условия Пределы. Сравнение бесконечно малых величин следует, что Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Данное условие записывается в виде: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Отметим, что интервал длины Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, который содержит в себе точку Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, называется Пределы. Сравнение бесконечно малых величин-окрестностью точки Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Аналогичным образом вводится понятие предела функции и при стремлении Пределы. Сравнение бесконечно малых величин к Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Так же как и в случае числовой последовательности, для функции существует теорема Коши, которая определяет существование у нее предела.

Теорема Коши о существовании предела. Для того чтобы функция Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, где Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, имела предел Пределы. Сравнение бесконечно малых величин при Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, где Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, необходимо и достаточно, чтобы для любого Пределы. Сравнение бесконечно малых величин существовало такое число Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, что из условия Пределы. Сравнение бесконечно малых величин вытекало условие Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Доказательства теоремы приводить не будем. В качестве предела функции могут служить как конечные, так и бесконечные величины.

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в следующем. Возьмем некоторое Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, для которого Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Тогда, согласно теореме, Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Представим данное неравенство следующим образом: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Иначе говоря, как только Пределы. Сравнение бесконечно малых величин станет отличаться от Пределы. Сравнение бесконечно малых величин меньше, чем на Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, сама функция окажется в полосе шириной Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, расположенной на линии Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Пределы. Сравнение бесконечно малых величинПределы. Сравнение бесконечно малых величинПределы. Сравнение бесконечно малых величинПределы. Сравнение бесконечно малых величинПределы. Сравнение бесконечно малых величинПределы. Сравнение бесконечно малых величинПределы. Сравнение бесконечно малых величинПределы. Сравнение бесконечно малых величинПределы. Сравнение бесконечно малых величин


В приведенном определении предела и теореме Коши Пределы. Сравнение бесконечно малых величин может стремиться к Пределы. Сравнение бесконечно малых величин произвольным образом. Однако во многих случаях это стремление происходит с какой-то одной стороны. Для этого вводятся понятия односторонних пределов.

Определение 2.2. Если Пределы. Сравнение бесконечно малых величин стремится к Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, оставаясь все время меньше его, и при этом Пределы. Сравнение бесконечно малых величин стремится к Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, то это число называется пределом функции слева и обозначается Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Определение 2.3. Если Пределы. Сравнение бесконечно малых величин стремится к Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, оставаясь все время больше его, и при этом Пределы. Сравнение бесконечно малых величин стремится к Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, то это число называется пределом функции справа и обозначается Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Необходимо иметь в виду, что не всегда пределы слева и справа в точке Пределы. Сравнение бесконечно малых величин равны между собой.


3. Второй замечательный предел


Рассмотрим числовую последовательность Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, где Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, Пределы. Сравнение бесконечно малых величин С ростом Пределы. Сравнение бесконечно малых величин основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении Пределы. Сравнение бесконечно малых величин сказать нельзя. Для вычисления Пределы. Сравнение бесконечно малых величин воспользуемся выражением для бинома Ньютона:


Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. 001


В нашем случае


Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.


Из полученного выражения следует, что с увеличением Пределы. Сравнение бесконечно малых величин величина Пределы. Сравнение бесконечно малых величин растет. Действительно, перейдем от Пределы. Сравнение бесконечно малых величин к Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Это приведет к тому, что число слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенных в скобки, тоже возрастет, так как Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Но если увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Значит, числовая последовательность Пределы. Сравнение бесконечно малых величин монотонно возрастает.

Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида Пределы. Сравнение бесконечно малых величин единицей. Так как Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, то


Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.


Кроме того Пределы. Сравнение бесконечно малых величин, Пределы. Сравнение бесконечно малых величин,..., Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. Значит,


Пределы. Сравнение бесконечно малых величин.


В правой части неравенства после цифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма Пределы. Сравнение бесконечно малых величин первых членов такой прогрессии равна: Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. В нашем случае Пределы. Сравнение бесконечно малых величин. С ростом Пределы. Сравнение бесконечно малых величин величина Пределы. Сравнение бесконечно малых величин