Xreferat.com » Рефераты по математике » Функции и их производные

Функции и их производные

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4


ВАРИАНТ 4.3


№ 1.

а) Найти производные от данных функций:


Функции и их производные


б) Функции и их производные


Применяем правило нахождения производной произведения функций


Функции и их производные


в)

Функции и их производные


№ 2


Дана функция Функции и их производные

Найти:

а) координаты вектора grad u в точке А (-1,3,2)

По определению:


Функции и их производные


б) Функции и их производныев точке А в направлении вектора а{2,-6,-3}

По определению:


Функции и их производные

Величины Функции и их производные найдены в п.а)

Найдем cosб, cosв, cosг.


Функции и их производные


По формуле получаем:


Функции и их производные


№ 3.

Дана функция Функции и их производные.

Найти y”. Вычислить y”(-1).


Функции и их производные


№ 4.

Доказать, что функция Функции и их производные удовлетворяет уравнению

Функции и их производные


подставляем найденные выражения в уравнение, получаем: Функции и их производные, что и требовалось доказать.


№5


Найти Функции и их производные если Функции и их производные

Вычислить Функции и их производные если Функции и их производные.

Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных параметрически

Функции и их производные


№ 6.

Функции задана неявно уравнением


Функции и их производные

Вычислить:


а) Функции и их производные


Вычисления проводим по формуле

Функции и их производные


б)

Функции и их производные


№ 7.


На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.

Из геометрического смысла производной Функции и их производные имеем


Функции и их производные


№ 8.


Найти dy, если у=х6. Вычислить значение dy, если

Функции и их производные


Для Функции и их производные имеем


Функции и их производные


№ 9.


Дана функция Функции и их производные и точки Функции и их производные и Функции и их производные

Вычислить Дz и dz при переходе из точки М0 в точку М1 . Приращение функции Дz равно


Функции и их производные


Дифференциал функции dz равен

Функции и их производные


№ 10.

Дана функция Функции и их производные. Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем Функции и их производные


Функции и их производные


Приравниваем числитель к нулю при условии Функции и их производные


Функции и их производные


Решение Функции и их производные отбрасываем.

Функции и их производные совпадает с граничным значением.

Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.

Функции и их производные


Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно Функции и их производные, наименьшее равно 3.

Функции и их производные


№ 11

Дана функция Функции и их производные.

Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми Функции и их производные.

Найдем стационарные точки из системы уравнений


Функции и их производные


Решаем систему уравнений


Функции и их производные


Сделаем чертеж

На участке границы х=-1 функция z(х,у) превращается в функцию одной переменной


Функции и их производные


Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2]. Имеем Функции и их производные, отсюда Функции и их производные. Это значение не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.

На участке у=-1 получаем


Функции и их производные


Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2]. Имеем Функции и их производные, отсюда Функции и их производные.

Находим

Функции и их производные

На участке границы у=1-х получаем функцию


Функции и их производные


Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2].


Функции и их производные


На границах отрезка

Функции и их производные

Сравниваем все найденные значения функции


Функции и их производные

видим, что наибольшее значение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 и достигается в точке (0;0).

Ответ: 23;4.


№ 12.


Провести полное исследование функции Функции и их производные и начертить ее график.

1. Найдем область определения функции Функции и их производные.

Функция непериодична.

2. Установим наличие симметрии относительно оси OY или начала координат по четности или нечетности функции Функции и их производные, симметрии нет.

3. Определим «поведение функции в бесконечности»


Функции и их производные


4. Точка разрыва х=-2


Функции и их производные

5. найдем пересечение кривой с осями координат

Функции и их производные т.А (0;2)


Функции и их производные


Корней нет, нет пересечения с осью OY.

6. Найдем точки максимума и минимумаФункции и их производные


Функции и их производные

Функции и их производные


в точке Функции и их производные производная меняет знак с <-> на <+>, следовательно имеем минимум, в точке Функции и их производные производная меняет знак с <+> на <->, имеем максимум.

При Функции и их производные первая производная отрицательна, следовательно, функция убывает, при Функции и их производные производная положительна, функция в этих промежутках возрастает.


7. Найдем точки перегиба


Функции и их производные, точек перегиба нет. При Функции и их производные вогнутость вверх, при Функции и их производные, вогнутость вниз.

8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде Функции и их производные, где


Функции и их производные


Получили асимптоту у=х.

Найдем пересечение кривой с асимптотой


Функции и их производные Точек пересечения нет.


Строим график