Xreferat.com » Рефераты по математике » Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"


Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений


Курсовая работа


"Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков"


Гомель 2003

Содержание


Введение

1. Построение двумерной стационарной системы

1.1 Построение двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой второго порядка

1.2 Построение двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у двумерной стационарной системы двух частных интегралов в видекривых первого и второго порядков

2. Качественное исследование построенных классов систем

2.1 Исследование одной системы первого класса построенных двумерных стационарных систем

2.2 Исследование одной системы второго класса построенных двумерных стационарных систем

Заключение

Список использованных источников

Приложение


Введение


Как известно, многие задачи механики и физики при естественных упрощающих предположениях приводят к рассмотрению одного дифференциального уравнения второго порядка, то есть:



Но в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Большинство дифференциальных уравнений второго порядка возможно привести к системе дифференциальных уравнений вида:


(1)


положив , и следовательно, .

Рассмотрение такой системы в ряде аспектов удобнее, чем непосредственное рассмотрение уравнений.

Часто рассматривается тот частный случай системы, когда независимая переменная t в правые части не входит, то есть система имеет вид:


(2)


Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения


(3)


объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая систем двух дифференциальных уравнений (2) с полной отчётливостью была поставлена А. Пуанкаре [1] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [2, с. 191–211] и уточнены Дж.Д. Бирксоном [3].

Имеется много работ, в которых динамические системы изучались в предположении, что их частными интегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству из них послужила работа Н.П. Еругина [4, c. 659], в которой он дал способ построения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида.

Знание одного частного интеграла системы (0.2) во многих случаях помогает построить полную качественную картину поведения интегральных кривых в целом. Отметим ряд работ этого характера для систем (0.2), в которых Р (х, у) и Q (x, y) – полиномы второй степени.

Н.Н. Баутиным [5, c. 181–196] и Н.Н. Серебряковой [6, c. 160–166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (2), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В работе Л.А. Черкаса [7, c. 732] такое исследование проведено для уравнения (3) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка.

А.И. Яблонский [8, c. 1752] и В.Ф. Филипцов [9, c. 469] изучали квадратичные системы с предположением, что частными интегралом являлись алгебраические кривые четвёртого порядка.

В данной работе рассматривается система:



и проводится качественное исследование в целом этой системы при условии, что её частными интегралами являются две кривые–первого и второго порядков. Качественное исследование включает в себя нахождение и исследование состояний равновесия, а также определение направлений траекторий в состоянии равновесия, исследование бесконечно-удалённой части плоскости и качественная картина для построенных систем.

При определённых ограничениях на коэффициенты системы и интегралов строятся классы дифференциальных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой соотношениями.

Работа состоит из двух разделов.

В первом разделе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами.

Во втором разделе проводится качественное исследование в целом выделенных в первом разделе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.


1. Построение квадратичной двумерной стационарной системы


1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой второго порядка


Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:


В данной работе будем рассматривать систему, в случае когда с12=0, то есть систему:


(1.1)


Пусть система (1.1) в качестве частного интеграла имеет интеграл вида:


(1.2)

где Fk(x, y) – однородный полином от x и y степени k.

В качестве частного интеграла (1.2) возьмём кривую второго порядка вида:


F (x, y)=y2+αxy+βx2+γy+δx+σ=0. (1.3)


Согласно [8, c. 1752–1760] для интеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:

(1.4)


где L (x, y)=mx+ny+p, m, n, p-постоянные.

Тогда для частного интеграла (1.3) получим равенство:


(αy+2βx+δ) (ax+by+a1 x2+2b1xy)+(2y+αx+γ) (cx+dy+2xy+c2y2)=

(y2+αxy+βx2+γy+δx+σ) (mx+ny+k).


Будем предполагать, что коэффициенты системы (1.1) b1=b2=c2=1, тогда для интеграла (1.3) получим равенство:


(αy+2βx+δ) (ax+by1x2+2xy)+(2y+αx+γ) (cx+dy+2xy+y2)=

(y2+αxy+βx2+γy+δx+σ) (mx+ny+k).


Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xmyn слева и справа, получим равенства:


а1–mβ=0, (1.51)


(4-n)+(2+a1–m)α=0, (1.52)


(3-n)+4-m=0, (1.53)


n=2, (1.54)


(2a–k)β+(a1–m)δ+cα=0, (1.55)


2bβ+(2-n)δ+(a–k)α+2c+dα+(2-m)γ=0, (1.56)


bα+2d+(1-n)γ–k=0, (1.57)


aδ–kδ+cγ–mσ=0, (1.58)


bδ–kγ+dγ–nσ=0, (1.59)

kσ=0,

σ≠0, так как кривая не проходит через начало координат, значит k=0.

Из равенств (1.51) – (1.54) получим, что

n=2, m=2a1,


α=2 (a12), β=(a12)2 (1.6)


Для нахождения коэффициентов γ и δ рассматриваемого интеграла используем равенства (1.55) и (1.57):


γ=(a1–2) b+2d,(1.7)


δ=≠0.


Коэффициенты α, β, γ, δ, m, n подставляем в равенство (1.56), получим условие на коэффициенты системы:


(a1–2) aa1(a1–2) b+ca1d =0. (1.8)


Для нахождения коэффициента σ используем уравнение (1.58). Получим:


σ=. (1.9)

Подставим коэффициенты γ, δ,σ и к=0 в равенство (1.59), получим второе условие, связывающее коэффициенты системы:


2 (a1–2)2a2–2a1(a1–2)2ab+2 (a1–2) ac-2a12(a1 –2) bd+2a1cd-2a12d2=0,


которое можно записать в виде:


2 ((a1–2) a–a1(a1–2) b–a1d+c) ((a1–2) a+a1d)=0 (1.10)


Итак, имеет место следующая теорема:


Теорема 1.1 Система



Имеет частный интеграл y2+αxy+βx2+γy+δx+σ=0, коэффициенты которого выражаются формулами:


α=2 (a1–2),


β=(a1–2)2,


γ=(a1–2) b+2d,


δ=≠0,


σ=,


При условиях, что коэффициенты системы связаны соотношениями:


(a1–2) a–a1(a-2) b+c–a1d =0,


2 ((a1–2) a – a1 (a1–2) b–a1d+c) ((a1–2) a+a1d)=0,

и а1≠0, а1≠2, с12=0, a1=b1=c2=1.


1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка


Пусть система (1) наряду с интегралом (1.3) имеет интеграл вида:


mx+ny+p=0. (1.11)


Будем рассматривать теперь систему:


(1.12)


Согласно формуле (1.4), где L (x, y)=Mx+Ny+P, M, N, P-постоянные, получаем равенство:


m (ax+by+a1x2+2xy)+n (cx+dy+2xy+y2)=(mx+ny+p) (Mx+Ny+P).


Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xmyn слева и справа, получим равенства:

(a1–M) m=0


(2-N) m+(2-M) n=0 (1.13)


(N-1) n=0

(a–P) m+cn–Mp=0


bm+(dP) nNp=0 (1.14)


Pp=0

Предполагаем, что кривая не проходит через начало координат, тогда p≠0, значит Р=0.

Из равенств (1.13) получаем, что М=а1, N=1,


n=m, (1.15)


p= () m, m≠0.


Подставим эти коэффициенты в уравнение (1.14) и получим ещё одно условие на коэффициенты системы, которое совпадает с условием (1.8), то есть:


(a1–2) aa1(a1–2) b+ca1d =0.


Итак, имеет место следующая теорема:

Теорема 1.2 Система


Имеет частный интеграл mx+ny+p=0, коэффициенты которого выражаются формулами


n=m, p= () m, m≠0,


При условии, что коэффициенты системы связаны соотношением:

(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d =0 и а1≠0, а1≠2.


    1. Необходимые и достаточные условия существования у двумерной стационарной системы двух частных интегралов в виде кривых первого и второго порядков


В подразделах 1.1–1.2 мы получили что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривой первого порядка и кривой второго порядка, при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:


(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d =0, (1.16)


2 ((a1–2) a – a1 (a1–2) b–a1d+c) ((a1–2) a+a1d)=0.


Причём а1≠0, а1≠2, в1=в2=с2=1.

  1. Рассмотрим случай (a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d =0, (a1–2) a+a1d=0.

Из этих равенств получили:


а= -d, d≠0


c=a1(a1–2) b+2a1d.


Так как коэффициент d можно взять любым, неравным нулю, тогда предположим, что b=2d. Из следующих предположений, получаем:

b=2d,


a= -d, (1.17)


c=2a1(a1–1) d, d≠0, а1≠2.


Получили, что коэффициенты системы (1.1) определяются формулами (1.17), при условиях (1.16), в которых параметры b1=b22=1, а1≠0.

Выражения (1.6), (1.9), (1.15) при условии, что имеют место (1.17), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):

α=2 (a1–2),

β=(a1–2)2,

γ=2 (13) d,


δ=2 (а12) (2а1–3) d, (1.18)


σ=(11) d2,


n=m,


p=md, m≠0, d≠0, a1≠2, a1≠0.

Имеет место следующая теорема:


Теорема 1.3 Система



Имеет частные интегралы вида:

y2+2 (a1–2) xy+(a1–2)2x2+2 (2a1–3) d+

+2 (a1–2) (2a1–3) dx+(2a1–1) d2=0

и (a1–2) x+y+(2a1–3) d=0,

При условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а1 и d по формулам (1.17) и в122=1.


  1. Рассмотрим случай:


(a1–2) a–a1(a1–2) b+c–a1d =0.


Выразим из этого условия коэффициент с, получим


с= a1(a1–2) b+ a1d – (a1–2) a.


Воспользуемся предположением из первого случая, что в=2d, d≠0, тогда коэффициент с=а1(2а1–3) d – (а1–2) а.

Так как d-любое число, неравное нулю, предположим, что а=2а1d.

Из соотношения (a1–2) aa1(a1–2) b+ca1d =0, при условиях, что b=2d, a=2a1d, d-любое число, d≠0, получим формулы, выражающие коэффициенты системы (1.1) через параметр а1 и коэффициент d, то есть: a=2a1d,

b=2d, (1.19)


c=a1d.

Равенства (1.6) – (1.9) и (1.14) при условии, что имеют место формулы (1.19), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):

α=2 (a1–2),

β=(a1–2)2,

γ=2 (а1–1) d,


δ=2 (a1) (a1–2) d, (1.20)


σ=(a1)2d2,


n=m,


p=md, a1≠2, d≠0, m≠0.


Теорема 1.4 Система


2a1dx+2dy+a1x2+2xy,

=a1dx+dy+2xy+y2


Имеет частные интегралы вида:


y2+2 (a1–2) xy+(a1–2)2x2+2 (a1–1) dy+2 (a1) (a1–2) dx+(a1)2d2=0


и


(a1–2) x+y+(2a1–3) d=0,


При условиях, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а1 и d по формулам (1.19) и в122=1, а1≠2, а1≠0, d-любое число.


2 Качественное исследование построенных классов систем


2.1 Исследование одной системы из первого класса построенных двумерных стационарных систем


Будем проводить исследование системы в предположении, что коэффициенты её определяются согласно формулам (1.17):


a= -d, (1.17)


b=2d,


c=2a1(a1–1) d, d≠0, а1≠2,


с учётом в122=1 и предполагая, что параметр а1=1.

Тогда система (1.1) запишется в виде:


dx+2dy+x2+2xy, (2.1)

dy+2xy+y2


Интегральные кривые в этом случаи имеют вид:


y2–2xy+x2–2dy+2dx+d2=0, (2.2)


x–y+d=0.

При рассмотрении этого случая заметим, что интегральная кривая второго порядка y2–2xy+x2–2dy+2dx+d2=0 представляет собой две совпадающие прямые вида xy+d=0, то есть:

(y–x)2–2d (y–x)+d2=0,

(y–x) – d)2=0,

y–x–d=0,

xy+d=0.

Значит, если а1122=1 и если выполняются условия (1.17) система (1.1) имеет только один частный интеграл вида:


xy+d=0. (2.3)


Найдём состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и, решив полученную систему, найдём точки покоя системы.

Система имеет четыре состояния равновесия:

О (0,0), А (-d, 0), B (-d, d), C(-).

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия.

  1. Исследуем точку О (0,0).

Составим характеристическое уравнение для точки имеет вид О (0,0):


=0,

2=0.


Характеристическими числами для точки О (0,0) системы (2.1) будут

Корни характеристического уравнения действительные, одного знака, но в зависимости от параметра d точка О (0,0) – устойчивый узел, если d<0; точка О (0,0) – неустойчивый узел, если d>0.

Из Главы 1. случай d=0 не рассматривается.

  1. Исследуем точку А (-d, 0).

Составим характеристическое уравнение в точке А (-d, 0).


P (x, y)=dx+2dy+x2+2xy,


Q (x, y)=dy+2xy+y2.


Отсюда, получим:


Px=d+2x+2y, Py=2d+2x, (2.4)


Qx=2y,

Qy=d+2x+2y.

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:


=0.


Итак, получаем:


=0.

(–d–λ)2=0.

Характеристические числа для точки А (-d, 0) системы (2.1) будут

Корни λ12 – действительные, одного знака. В зависимости от параметра d.

Точка А (-d, 0) является неустойчивым узлом, если d<0; устойчивым узлом, если d>0.

  1. Исследуем точку В (-d, d).

Составим характеристическое уравнение в точке В (-d, d).

Согласно равенствам (2.4) характеристическое уравнение примет вид:


=0,


2=0,

λ12=d.


λ12 – характеристические числа для точки В (-d, d) системы (2.4).

Корни λ12–действительные, одного знака зависящие от параметра d.

Если d<0, то точка В (-d, d) – устойчивый узел; если d>0, то точка В (-d, d) – неустойчивый узел.

  1. Исследуем точку С(-).

Составим характеристическое уравнение в точке С(-).Применяя равенства (2.4), получим:


=0,


.


Характеристические числа для точки С(-) системы (2.1) будут λ1=d, λ2=.

Корни λ12–действительные, различных знаков, независимо от параметра d.

Значит, точка С(-) – седло.

Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости на концах оси ОY. Преобразование x=, y= [1] переводит систему (2.1) в систему:


(2.5)


где t=zτ, dt=zdτ.


Для исследования состояний равновесий на концах оси ОУ, нам необходимо исследовать только точку No(0,0).Составим характеристическое уравнение в точке No (0,0):


=0.


Получаем, что

Корни λ12–действительные и различных знаков не зависимо от параметра d. Значит, точка No(0,0) – седло.

Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости вне концов оси ОУ преобразованием [1] . Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:


(2.6)

где t=zτ, dt=zdτ.

Изучим бесконечно-удалённые точки на оси U, то есть при z=0, получаем:



Следовательно, u1=0, u2=1.

Таким образом, получаем две точки N1(0,0), N2(0,1), которые являются состоянием равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.

1. Исследуем точку N1(0,0).

Составляем характеристическое уравнение в точке N1(0,0):


=0,


λ1=-1, λ2=1.


Корни λ1, λ2–действительные и различных знаков. Следовательно, точка N1(0,0) – седло.

2. Исследуем точку N2(0,1).

Составим характеристическое уравнение в точке N2(0,1):

Pz=–1–2u-2dz-4duz,

Pu=–2dz2–2z,

Qz=–2du2,

Qu=1–2u-4dzu.


Имеем:

=0,


(-3–λ) (-1–λ)=0,


λ1=–3, λ2=–1,

Корни λ12–действительные и одного знака (–). Следовательно, точка N2(0,1) – устойчивый узел.

Дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.


Таблица 1

d

O (0,0)

A (-d, 0)

B (-d, d)

C()






N0

N1

N2

(-∞; 0)

Уст.у.

Неуст.у.

Уст.у

Седло

Седло

Уст.у.

Седло

(0;∞)

Неуст.у.

Уст.у.

Неуст.у.

Седло

Седло

Уст.у.

Седло


Положение кривой (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 представлено на рис. 1 (а, б).

Поведение траекторий системы (2.1) в целом при d<0 и d>0 представлено на рис. 3 (а, б) приложения А.

Исследуя вид кривых (2.2) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.1) не имеет предельных циклов, так как Воробьёв А.П. [10] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса. Учитывая расположение состояний равновесия относительно кривых (2.2), являющиеся интегралами системы (2.1) не может существовать предельных циклов, окружающих несколько состояний равновесия.


  1. d<0



б) d>0

Рис. 1


2.2 Исследование одной системы из второго класса построенных двумерных стационарных систем


Рассмотрим систему (1.1) в предположении, что в122=1, а1=

и коэффициенты определяются формулами (1.19). Тогда система (1.1) будет иметь вид:


(2.7)


Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

4y2–4xy+x2+dy=0, (2.8)


-x+y=0. (2.9)


Найдём состояния равновесия системы (2.7). Для этого приравняем правые части системы нулю:


Решая эту систему, получим две пары точек, которые являются точками покоя системы (2.7): О (0,0), А().

Исследуем поведение траекторий решений системы (2.7) в окрестностях состояний равновесия О (0,0), А().

1. Исследуем точку О (0,0).

Составим характеристическое уравнение системы в точке О (0,0):


=0,


.


Характеристическими числами для точки О (0,0), будут

Так как один корень нулевой, тогда точка О (0,0) является сложным состоянием равновесия (изолированное состояние равновесия), для которого требуется дополнительное исследование. Для определения характера состояния равновесия О (0,0) воспользуемся теоремой [5].

Теорема 2.1 Пусть точка (0,0) – изолированное состояние равновесия системы:


где φ (x, y), ψ (x, y) – полиномы от x, y начиная со второй степени, y=φ(x) – решение уравнения y+Q2(x, y)=0, а разложение функции ψ(x)=P2(x, φ(x)) имеет вид:



Тогда:

  1. при m-нечётном и ∆m>0 точка (0,0) – есть топологический узел;

  2. при m-нечётном и ∆m<0 точка (0,0) – есть топологическое седло;

  3. при m-чётном точка (0,0) есть седло-узел, то есть такое состояние равновесия, каноническая окрестность которого состоит из параболического и двух гиперболических секторов; При этом:

а) если ∆m<0, то внутри гиперболических

секторов заключён отрезок положительной

полуоси ОХ, примыкающий к точке (0,0);

б) если ∆m<0, то – отрезок отрицательной

полуоси ОХ.

Чтобы воспользоваться теоремой, необходимо систему (2.7) привести к виду:


(2.10)


Это возможно сделать, воспользовавшись одним из следующих преобразований:


1. если в≠0,


2. если в=0, а=0,


3. если в=0, d=0,


где а, в, с, d – коэффициенты системы (2.7).


Для системы (2.7) воспользуемся следующим преобразованием:


Получим:



Откуда:



Следовательно, можем найти:



Тогда:



Чтобы данную систему привести к системе вида (2.10), сделаем замену тогда dt=dh и получим систему:



Найдём решение уравнения:


y1+ (2.11)


в виде ряда по степеням y1:


y1=φ(x1)=c1x1+c2x12+….


Подставим y1=c1x1+c2x12+… в уравнение (2.11), получим:


c1x1+c2x12+ … +(c1x1+c2x12+…)2+x1(c1x1+c2x12+…)–x12=0.


x11: с1=0,


x12: с2+с1+с1=0,


Следовательно с1=0, с2=, ….


Тогда y1=φ(x1)= х12+….


Находим ψ(х1)=Р21,φ(х1))=(+……)= +……..=∆mxm.


Получили m=3-нечётное, ∆m>0.

Следовательно, по теореме 2.1 получаем, что точка О (0,0) – топологический узел.


2. Исследуем точку А().

Составим характеристическое уравнение в точке А().



Отсюда

Px(x, y)=3d+3x+2y,

Py(x, y)=2d+2x,

Qx(x, y)=d+2y,

Qy(x, y)=d+2x+2y.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид:


=0.


Характеристическими числами для точки А() системы (2.7) будут λ1=–4d, λ2=d.

Корни λ1, λ2–действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, тогда точка А() – неустойчивый узел; если d>0, тогда точка А() – устойчивый узел.

Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости системы (2.7) вне концов оси ОУ. Преобразование [1] переводит систему (2.7) в систему:


(2.12)


где t=zτ, dt=zdτ.

Изучим бесконечно-удалённые точки на оси U, то есть z=0. Получаем:



Следовательно, u1=0, u2=.

Таким образом, получили две точки N1(0,0), N2(0,), которые являются состояниями равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.

  1. Исследуем точку N1(0,0).

Составим характеристическое уравнение в точке N1(0,0):

=0,


λ1= , λ2=.

Корни λ12–действительные и различных знаков, следовательно, точка N1(0,0) – седло.

  1. Исследуем точку N2(0,).

Составим характеристическое уравнение в точке N2(0,):


Pz=–2u-6dz-4duz,


Pu=–2z-2dz2,


Qz=