Xreferat.com » Рефераты по математике » Діафантові рівняння

Діафантові рівняння

Міністерство освіти і науки України

Національний педагогічний університет імені М. П. Драгоманова

Фізико-математичний інститут

Кафедра вищої математики


Курсова робота на тему:

«Діофантові рівняння»


Виконала:

Студентка 22 МІ групи

Приблуди Ірини Андріївни Науковий керівник:

Канд. фізико-математичних них наук

доцентВерпатова Наталія Юріївна

Комісія: 1.

2.

3.

Оцінка:


Київ 2010


План


Вступ

Розділ І.Загальні теоретичні відомості

Лінійні діофантові рівняння.

Невизначені рівняння вищих порядків.

2.1 РівнянняДіафантові рівняння. Піфагорові трійки

2.2 Рівняння Ферма

2.3 Невизначене рівняння третього порядку

2.4 Рівняння Лежандра

Розділ ІІ. Приклади розв’язання діофантових рівнянь

Розв’язування лінійних діофантових рівнянь.

Розв’язування діофантових рівнянь вищих порядків.

Висновок

Література


Вступ


Діофант представляє одну із найцікавіших особистостей в історії математики. Ми не знаємо, ким був Діофант, точні роки його життя, не відомі його попередники, які працювали у тій же сфері, що й він.

Дуже цікавою є діяльність Діофанта. До нас дійшло 7 книг із 13, які були об’єднані в «Арифметику». Стиль і зміст цих книг дуже відрізняється від класичних книг з теорії чисел та алгебри, зразки яких ми знаємо з «Начал» Евкліда, лем Архімеда і Аполлонія. «Арифметика», безсумнівно, є результатом багаточисленних досліджень, велика кількість з яких залишилась нам невідомою.

«Арифметика» Діофанта – це збірник задач (їх всього 189), кожна з яких має розв'язок і необхідні пояснення. В збірник входять різноманітні задачі, і їх розв’язки дуже часто не так просто зрозуміти. Діофант практикувався у знаходженні розв’язків невизначених рівнянь вигляду ��Діафантові рівняння Діафантові рівняння, або систем таких рівнянь. Його цікавили тільки додатні цілі числа і раціональні розв’язки. Ірраціональні розв’язки він називав «неможливими» і ретельно підбирав коефіцієнти так, щоб отримати шукані додатні, раціональні розв’язки.

Тому ,зазвичай, довільне невизначене рівняння (але, як правило, з цілими коефіцієнтами)називають «діофантовим», якщо хочуть наголосити на тому, що рівняння слід розв’язувати в цілих числах.

Невизначені рівняння першого степеня почали розглядати математики, приблизно в V столітті. Деякі такі рівняння з двома, трьома невідомими з’явились у зв’язку з проблемами, які виникли в астрономії, наприклад, при розгляді питань, пов’язаних з визначенням періодичного повторення небесних явищ.

В 1624 році була опублікована книга французького математика Баше де Мезирьяка , у якій для розв'язку рівняння ����+����=�� фактично застосовується процес, що зводиться до послідовного визначення неповних часткових підхідних дробів.

Після Баше в XVII і XVIII століттях різні алгоритми для розв'язку невизначеного рівняння першого степеня з двома невідомими давали Роль, Ейлер та інші математики.

Ланцюгові дроби для розв'язку таких рівнянь були застосовані вперше Лагранжем. Пізніше діофантові рівняння стали записувати і розв’язувати у формі конгруенцій.

У серпні 1900 року в Парижі відбувся ІІ міжнародний конгрес математиків. 8 серпня Д. Гільберт прочитав на цьому конгресі доповідь «Математичні проблеми». Серед 23 проблем, розв'язок яких, як вважав Гільберт, було необхідно отримати в наступному XX столітті , десяту проблему він сформулював наступним чином:

«Нехай задано діофантове рівняння з довільним числом невідомих і раціональними числовими коефіцієнтами. Вказати спосіб, за допомогою якого можна після скінченного числа операцій встановити, чи розв’язне це рівняння в цілих числах ».

Гіпотезу, що такого способу не існує, першим сформулював (з вагомими на те доказами) американський математик М. Девіс у 1949 році. Доведення цієї гіпотези затягнулося на 20 років – останній крок був зроблений в 1970 році Юрієм Володимировичем Мятиясеєвичем , на першому році аспірантури він показав алгоритмічну нерозв’язність 10 –ї проблеми Гільберта.

Проте, якщо про довільне діофантове рівняння не можна сказати чи має воно цілі корені, чи не має, то проблема існування цілих коренів лінійного діофантового рівняння розв’язана.

Курсова робота складається з двох розділів. У першому розділі розглядаються лінійні діофантові рівняння, основні теореми, що дають можливість знаходити розв’язки цих рівнянь або визначати їх кількість, а також деякі невизначені рівняння вищих порядків , що розв’язуються в цілих додатних числах за відомими алгоритмами.

У другому розділі наведені приклади лінійних діофантових рівнянь, рівнянь другого і третього порядку, показані різні методи їх розв’язання. Застосовується техніка від розгляду елементарних конгруенцій до використання більш тонких результатів теорії алгебраїчних чисел. В додаток до доведень існування чи не існування розв’язків ми отримуємо також результати про їх кількість.


Розділ І. Загальні теоретичні відомості


§1.Лінійні діофантові рівняння


Діофантовим рівнянням першого степеня з �� невідомими називається рівняння вигляду


Діафантові рівняння=��, (1)


де всі коефіцієнти і невідомі – цілі числа і хоча б одне Діафантові рівняння

Розв’язком діофантового рівняння (1) називається комплекс цілих чисел Діафантові рівняння, які задовольняють це рівняння.

Якщо рівняння (1) однорідне, то відмінний від (0, … ,0) розв'язок називається нетривіальним. Розв'язок рівняння (1) в раціональних числах називається раціональним.

Теорема 1.

При взаємно простих коефіцієнтах Діафантові рівняння діофантове рівняння


Діафантові рівняння=1 (2)


має розв’язки в цілих числах.

Доведення.

Позначимо через М множину тих додатних цілих чисел ��, для яких рівняння


Діафантові рівняння=��


Має розв’язки в цілих числах. Множина М, очевидно, не порожня, оскільки при заданих Діафантові рівняння можна підібрати цілі значенняДіафантові рівняння, так щоб Діафантові рівняння було додатним числом.

В множині М існує найменше число, яке ми позначимо через �� (��Діафантові рівняння). позначимо через Діафантові рівняння, цілі числа такі, що


Діафантові рівняння=��.

Нехай Діафантові рівняння=����+��, де Діафантові рівняння; тоді

Діафантові рівняння.


Ми підібрали цілі значення: Діафантові рівняння, такі, що Діафантові рівняння= ��, але Діафантові рівняння, а �� – найменше додатне число в М, тобто �� не може бути додатним, ��Діафантові рівняння.

Аналогічно отримуємоДіафантові рівняння.

Ми бачимо, що �� – спільний дільник чисел Діафантові рівняння. Отже, оскільки (Діафантові рівняння) = 1, 1Діафантові рівняння, �� = 1, 1Діафантові рівняння, то рівняння (2) розв’язне в цілих числах. Теорему доведено.

Теорема 2

Нехай �� – найбільший спільний дільник коефіцієнтів Діафантові рівняння. Діофантове рівняння


Діафантові рівняння=1


має розв’язки тоді і тільки тоді, коли ��Діафантові рівняння. Кількість розв’язків такого рівняння дорівнює нулю, або нескінченності.

Доведення.

Доведемо послідовно три твердження теореми.

Нехай ��Діафантові рівняння. Для рівняння


Діафантові рівняння

Діафантові рівняння існують цілі числа: Діафантові рівняння , які задовольняють його, тобто такі, що


Діафантові рівняння


Тоді


Діафантові рівняння


тобто Діафантові рівняння

Нехай тепер Діафантові рівняння. Тоді ліва частина рівняння (2) при будь-яких цілих значеннях Діафантові рівняння ділиться на ��, а права частина на �� не ділиться, так, що рівність (2) при цілих значеннях Діафантові рівняння неможлива.

Якщо Діафантові рівняння - набір чисел, які задовольняють рівняння (2), то, наприклад, всі набори Діафантові рівняння при Діафантові рівняння також задовольняють дане рівняння і, таким чином, у нас або взагалі не буде розв’язків , або їх буде безліч.

Якщо хоча б одна пара коефіцієнтів взаємно прості числа, то �� = 1, і рівняння (2) має нескінченну кількість розв’язків.

Приклад.

Діофантове рівняння Діафантові рівняння не має розв’язків , бо у даному випадку �� = 3 і 100 не ділиться на 3.

Діофантове рівняння Діафантові рівняння має нескінченну кількість розв’язків, оскільки �� = 1.

Теорема 3.

Якщо Діафантові рівняння задовольняє конгруенцію


Діафантові рівняння,

то Діафантові рівняння є розв’язком діофантового рівняння


Діафантові рівняння (4)


Доведення.

Із Діафантові рівняння випливає, що Діафантові рівняння - ціле число, і безпосередня підстановка показує, що


Діафантові рівняння


Теорема 4.

Нехай �� – найбільший спільний дільник чисел �� і ��, де Діафантові рівняння і Діафантові рівняння - деякий розв'язок діофантового рівняння:


Діафантові рівняння


Тоді множина розв’язків рівняння (4) в цілих числах співпадає з множиною пар чисел (Діафантові рівняння), де Діафантові рівняння, а �� – будь-яке ціле число.

Доведення.

Нехай Діафантові рівняння - довільний розв'язок діофантового рівняння (4), тобто Діафантові рівняння (5)

за умовою Діафантові рівняння задовольняють рівняння (4), тобто Діафантові рівняння

віднявши від рівності (5) останню рівність і поділивши все на ��, отримаємо:


Діафантові рівняння


де Діафантові рівняння і Діафантові рівняння – цілі числа. Тоді Діафантові рівняння, причомуДіафантові рівняння, маємо Діафантові рівняння, Діафантові рівняння, Діафантові рівняння, де �� – деяке ціле число. Підставляючи знайдене значення Діафантові рівняння в (5), отримаємо:


Діафантові рівняння

звідки Діафантові рівняння.


Таким чином, будь-який розв'язок рівняння (4) буде мати вигляд:


Діафантові рівняння, Діафантові рівняння,


де �� – деяке ціле число.

Обернене твердження також правильне. Нехай Діафантові рівняння такий набір пар чисел, що


Діафантові рівняння, Діафантові рівняння.


Безпосередня перевірка показує, що


Діафантові рівняння


Тобто Діафантові рівняння - розв'язок діофантового рівняння (4).

Зауваження.

Теорема правильна і тоді, коли �� і �� дорівнюють нулю. Наприклад, при Діафантові рівняння, тобто у випадку рівняння Діафантові рівняння, отримуємо Діафантові рівняння і при Діафантові рівняння для �� існує єдине значення Діафантові рівняння, а �� – довільне ціле. Будь-який розв'язок цього рівняння можна представити у вигляді Діафантові рівняння, Діафантові рівняння, і при будь-якому �� такі Діафантові рівняння задовольняють рівняння Діафантові рівняння.

Приклад.

Розв’язати рівняння Діафантові рівняння

У цьому рівнянні (50, 42) = 2. 34Діафантові рівняння. Розглянувши конгруенцію Діафантові рівняннязнаходимо:


Діафантові рівняння

Діафантові рівняння, так що 25Діафантові рівняння.


Будь-який розв'язок даного діофантового рівняння має вигляд:


Діафантові рівняння


§2. Невизначені рівняння вищих порядків


2.1 Рівняння Діафантові рівняння. Піфагорові трійки

Розв'язок невизначеного рівняння Діафантові рівняння в цілих числах.

Можна взяти ��, ��, �� такими, що вони не мають спільного дільника, більшого за одиницю, інакше можна було б одразу скоротити обидві частини рівняння Діафантові рівняння на квадрат цього множника. Із таких міркувань випливає, що ��, ��, �� є попарно взаємно простими, бо якщо, наприклад ��, �� ділились на Діафантові рівняння, то і �� ділилось би на ��. Таким чином, одне з чисел ��, �� повинно бути непарним. Легко бачити, що інше має бути парним. Інакше в протилежному випадку, якщо б Діафантові рівняння, то Діафантові рівнянняділилось на 2, але не ділилось би на 4 і тому не було б квадратом.(Якщо Діафантові рівняння. Таким чином квадрат не може ділитися на 2 і не ділитися на 4 одночасно).

Нехай �� – парне, �� – непарне, тоді �� – непарне. Візьмемо

Діафантові рівняння

отримаємо Діафантові рівняння.

�� і �� – взаємно прості. Дійсно, якщо �� і �� мали спільний множник Діафантові рівняння, то �� містився б в Діафантові рівняння, а це неможливо, бо �� та �� є взаємно простими.

Тому �� та �� повинні бути порізну точними квадратами. Доведемо це. Для цього скористаємось теоремою про розклад чисел на прості множники. Маємо


Діафантові рівняння


Таким чином, в силу наслідків із теореми про розклад отримуємо


Діафантові рівняння


Але так як �� та �� взаємно прості, то для кожного �� одне із чисел Діафантові рівняння дорівнює нулю і тому інше дорівнюватиме Діафантові рівняння. Отже, всі показники в розкладах чисел �� та �� парні, звідки випливає, що кожне із цих чисел є точним квадратом:


Діафантові рівняння


Звідси


Діафантові рівняння (5)


Таким чином кожен розв'язок рівняння Діафантові рівняння у взаємно простих цілих числах повинен представлятись у вигляді (5), де Діафантові рівняння - взаємно прості цілі числа, із яких одне парне, а інше не парне (інакше �� і Діафантові рівняннябули б парними одночасно). І навпаки, якими не були б взаємно прості цілі числа

Діафантові рівняння різної парності, числа ��, ��, �� – складені з них по формулам (5) і дають розв’язки рівняння Діафантові рівняння у взаємно простих числах. Дійсно, перш за все


Діафантові рівняння


Крім того , якщо б �� та Діафантові рівнянняділились на просте число ��, то також
Діафантові рівняння ділись би на ��, і так, як �� не може дорівнювати 2 (бо в силу різної парності чисел Діафантові рівняння, �� і �� непарні), внаслідок того, що добуток двох чисел ділиться на просте число, то одне із чисел обов’язково ділиться на цей простий дільник, випливає ,що Діафантові рівняння повинні ділитися на ��, а це суперечить тому, що числа Діафантові рівнянняє взаємно простими. Отже, �� та ��, а також і вся трійка ��, ��,�� – взаємно прості.

Таким чином формули (5) при взаємно простих Діафантові рівняння різної парності, дають всі розв’язки рівняння Діафантові рівняння у взаємно простих цілих числах.

Доведення теореми Ферма для четвертих степенів.

Доведемо наступну теорему:


Теорема 5.

Рівняння Діафантові рівняння не має розв’язків у цілих числах, відмінних від нуля, і більше того: рівняння Діафантові рівняння не має відмінних від нуля цілих розв’язків.

Доведення.

Припустимо, що існує система відмінних від нуля розв’язків останнього рівняння. Тоді серед цих систем розв’язків повинна існувати така, для якої �� приймає найменше можливе значення. Покажемо, що �� та �� при цьому взаємно прості. Дійсно, якби �� і �� мали спільний дільник ��, то �� ділилось би на �� і цілі числа Діафантові рівняння давали б систему розв’язків з меншим ��.

Як і в попередньому дослідженні рівняння Діафантові рівняння, впевнюємось в тому, що із пари чисел ��, �� одне повинне бути парним, а друге непарним.

Нехай �� – парне. На основі виведених вище формул (5) маємо

Діафантові рівняння

Причому �� і �� – взаємно прості числа, одне із яких парне, а інше непарне. Якщо �� було парним, �� – непарним, то Діафантові рівняння мало б вигляд Діафантові рівняння, що неможливо, бо квадрат непарного числа завжди має вигляд 4��+1. Тому Діафантові рівняння, і так як і �� та �� взаємно прості, то аналогічно впевнюємось в тому, що


Діафантові рівняння


де �� і �� взаємно прості, причому �� непарне.

Рівність Діафантові рівняння, перепишемо тепер у вигляді


Діафантові рівняння,


де Діафантові рівняння та �� взаємно прості. Перша із цих рівностей, як і вище показує, що

Діафантові рівняння а це в поєднанні з іншою рівністю дає Діафантові
					</div>
					<div class=Страницы: 1 2 3 4