Xreferat.com » Рефераты по математике » Дискретная теория поля

А сколько
стоит написать твою работу?

цену

Вместе с оценкой стоимости вы получите бесплатно
БОНУС: спец доступ к платной базе работ!

и получить бонус

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту.

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.

В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Дискретная теория поля

Оглавление


Введение

1. Понятие поверхностного интеграла

2. Свойства поверхностного интеграла

3. Поток векторного поля через поверхность

Заключение

Список литературы


Введение


Данная работа посвящена дискретной теории поля.

Цель данной работы рассмотреть дискретную теорию поля.

Задачи:

Определить понятие поверхностного интеграла.

Рассмотреть основные свойства поверхностных интегралов.

Рассмотреть примеры вычисления поверхностных интегралов.

Рассмотреть поток векторного поля через поверхность, как механический смысл поверхностного интеграла.

Методологической и теоретической основой при написании работы послужила учебная литература и труды отечественных и зарубежных авторов.


1. Понятие поверхностного интеграла


Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sn (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sn). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z) (Рис. 1).


Дискретная теория поля


Выберем в каждой части Si точку Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму


Дискретная теория поля.


Если существует конечный предел при Дискретная теория поля этой интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается


Дискретная теория поля.


Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sn, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекции части Si на плоскость Оху. Если существует конечный предел суммы


Дискретная теория поля,


не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается


Дискретная теория поля


Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости Оxz и Оyz. Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:


Дискретная теория поля и Дискретная теория поля.


Рассмотрев сумму таких интегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:


Дискретная теория поля

Свойства поверхностного интеграла.

Рассмотрим свойства поверхностных интегралов первого рода:


Дискретная теория поля, где S – площадь поверхности.

Дискретная теория поля, k=const

Дискретная теория поля


Если поверхность разделена на части S1 и S2, то


Дискретная теория поля

Если Дискретная теория поля, то Дискретная теория поля

Дискретная теория поля


Теорема о среднем.

Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то существует точка (a, b, g) такая, что


Дискретная теория поля


S – площадь поверхности.

Какова бы ни была функция f(x, у, z), определенная в точках поверхности (S) и ограниченная:


Дискретная теория поля,


имеет место равенство


Дискретная теория поля


в предположении существования одного из этих интегралов (что влечет за собой и существование другого).

Таким образом, для сведения поверхностного интеграла первого типа к обыкновенному двойному нужно лишь заменить координаты х, у, z их выражениями через параметры, а элемент площади dS — его выражением в криволинейных координатах.

Рассмотрим несколько примеров вычисления поверхностных интегралов.

Пример 1. Вычислить интегралДискретная теория поля по верхней стороне полусферы


Дискретная теория поля


Решение.

Преобразуем уравнение поверхности к виду:


Дискретная теория поля

Дискретная теория поля


Дискретная теория поля


Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:


Дискретная теория поля

Дискретная теория поля


Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:


Дискретная теория поля

Дискретная теория поля


Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл Дискретная теория поля распространенный на поверхность (S) эллипсоида:


Дискретная теория поля.


Решение.

Если воспользоваться представлением эллипсоида:


Дискретная теория поля, Дискретная теория поля, Дискретная теория поля Дискретная теория поля,


то элемент поверхности представиться в виде


Дискретная теория поля.


С другой стороны, подынтегральная функция


Дискретная теория поля.


По соображениям симметрии вычисление приводится к первому октану, так что


Дискретная теория поля


Поток векторного поля через поверхность.


Дискретная теория поля

По определению


Дискретная теория поля.


Каждое слагаемое суммы


Дискретная теория поля (*)


может быть истолковано механически следующим образом: это произведение равно объему цилиндра с основанием Дискретная теория поля,и высотой Дискретная теория поля. Если вектор F есть скорость жидкости, протекающей через поверхность а, то произведение (*) равно количеству жидкости, протекающей через площадку Дискретная теория поля; за единицу времени в направлении вектора Дискретная теория поля (Рис. 3).

Выражение Дискретная теория поля дает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность Дискретная теория поля в положительном направлении, если под вектором F подразумевать вектор скорости течения жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл называется потоком векторного поля F через поверхность Дискретная теория поля.

Из определения поверхностного интеграла следует, что если поверхность Дискретная теория поля разбить на части Дискретная теория поля, Дискретная теория поля, ..., Дискретная теория поля, то


Дискретная теория поля


Выразим единичный вектор я через его проекции на оси координат:

Дискретная теория поля.


Подставляя в интеграл выражения векторов F и n через их проекции, получим:


Дискретная теория поля


Произведение Дискретная теория поля есть проекция площадки Дискретная теория поля на плоскость Оху; аналогичное утверждение справедливо и для произведений:


Дискретная теория поля


где Дискретная теория поля, Дискретная теория поля, Дискретная теория поля

проекции площадки Дискретная теория поля на соответствующие координатные плоскости.


Дискретная теория поля


На основании этого интеграл записывают также в другой форме:


Дискретная теория поля

Пример.

Найти поток векторного поля Дискретная теория поля через часть плоскости Дискретная теория поля ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).

Решение.

Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(Ѕ; 0). Найдем координаты единичной нормали к плоскости:


Дискретная теория поля


Вычислим соответствующий поверхностный интеграл:


Дискретная теория поля

Заключение


В данной работе была рассмотрена дискретная теория поля. Вначале было введено понятие поверхностного интеграла. Поверхностный интеграл первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S обозначается


Дискретная теория поля.


Поверхностный интеграл второго рода общего вида:


Дискретная теория поля


Далее рассматриваются свойства поверхностного интеграла первого рода. Поверхностный интеграл первого типа сводиться к обыкновенному двойному. Рассмотрены примеры вычисления поверхностных интегралов.

Рассмотрен механический смысл интеграла, откуда следует, что поверхностный интеграл есть поток векторного поля F через поверхность Дискретная теория поля. Приведен пример вычисления потока векторного поля через часть плоскости.


Список литературы


Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: "Наука", 1976. – 544 с.

Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006. – 410 с.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: "Наука", 1969. – 656 с.

matclub/lec3/lec42.htm

ftoe/list8/du43.htm