Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
Исполнитель:
Студентка группы М-32 Лапухова А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Скиба М.Т.
Гомель 2005
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
2. Группы с -перестановочными
-максимальными подгруппами
3. Группы, в которых -максимальные подгруппы
перестановочны с
-максимальными подгруппами
4. Группы, в которых максимальные
подгруппы перестановочны с -максимальными подгруппами
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений
В
работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются
обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются
простые числа.
Будем
различать знак включения множеств и знак строгого
включения
;
и
-
соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- пустое множество;
- множество всех
для которых выполняется условие
;
- множество всех натуральных
чисел;
- множество всех простых чисел;
- некоторое множество простых
чисел, т.е.
;
- дополнение к
во множестве всех простых чисел; в
частности,
;
примарное
число - любое число вида ;
Пусть
- группа. Тогда:
- порядок группы
;
- порядок элемента
группы
;
- единичный элемент и единичная
подгруппа группы
;
- множество всех простых делителей
порядка группы
;
- множество всех различных простых
делителей натурального числа
;
-группа - группа
, для которой
;
-группа - группа
, для которой
;
- подгруппа Фраттини группы
, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп
группы
;
- подгруппа Фиттинга группы
, т.е. произведение всех нормальных
нильпотентных подгрупп группы
;
- наибольшая нормальная
-нильпотентная подгруппа группы
;
- коммутант группы
, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами
всех элементов группы
;
-
-ый
коммутант группы
;
- наибольшая нормальная
-подгруппа группы
;
-
-холловская
подгруппа группы
;
- силовская
-подгруппа группы
;
- дополнение к силовской
-подгруппе в группе
,
т.е.
-холловская подгруппа группы
;
- группа всех автоморфизмов группы
;
-
является
подгруппой группы
;
-
является
собственной подгруппой группы
;
-
является
максимальной подгруппой группы
;
нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
-
является
нормальной подгруппой группы
;
- подгруппа
характеристична в группе
, т.е.
для
любого автоморфизма
;
- индекс подгруппы
в группе
;
;
- централизатор подгруппы
в группе
;
- нормализатор подгруппы
в группе
;
- центр группы
;
- циклическая группа порядка
;
- ядро подгруппы
в группе
,
т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с
в
.
Если
и
- подгруппы
группы
, то:
- прямое произведение подгрупп
и
;
- полупрямое произведение
нормальной подгруппы
и подгруппы
;
-
и
изоморфны.
Группа
называется:
примарной,
если ;
бипримарной,
если .
Скобки
применяются для обозначения подгрупп,
порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, порожденная всеми
, для которых выполняется
.
, где
.
Группу
называют:
-замкнутой, если силовская
-подгруппа группы
нормальна
в
;
-нильпотентной, если
-холловская подгруппа группы
нормальна в
;
-разрешимой, если существует
нормальный ряд, факторы которого либо
-группы,
либо
-группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее
главный фактор является либо
-группой, либо
циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной,
если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы
такая, что
нильпотентна.
разрешимой,
если существует номер такой, что
;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением
к подгруппе группы
называется
такая подгруппа
из
, что
.
Минимальная
нормальная подгруппа группы - неединичная
нормальная подгруппа группы
, не содержащая
собственных неединичных нормальных подгрупп группы
.
Цоколь
группы - произведение всех минимальных
нормальных подгрупп группы
.
- цоколь группы
.
Экспонента
группы - это наименьшее общее кратное
порядков всех ее элементов.
Цепь - это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп - это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд
подгрупп называется:
субнормальным,
если для любого
;
нормальным,
если для любого
;
главным,
если является минимальной нормальной
подгруппой в
для всех
.
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых групп;
- класс всех нильпотентных групп;
- класс всех разрешимых групп;
- класс всех
-групп;
- класс всех сверхразрешимых
групп;
- класс всех абелевых групп
экспоненты, делящей
.
Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть
- некоторый класс групп и
- группа, тогда:
-
-корадикал
группы
, т.е. пересечение всех тех
нормальных подгрупп
из
, для которых
.
Если
- формация, то
является наименьшей нормальной подгруппой
группы
, факторгруппа по которой
принадлежит
. Если
-
формация всех сверхразрешимых групп, то
называется
сверхразрешимым корадикалом группы
.
Формация
называется насыщенной, если всегда из
следует, что и
.
Класс
групп называется наследственным или
замкнутым относительно подгрупп, если из того, что
следует,
что и каждая подгруппа группы
также
принадлежит
.
Произведение
формаций и
состоит
из всех групп
, для которых
, т.е.
.
Пусть
- некоторая непустая формация. Максимальная
подгруппа
группы
называется
-абнормальной, если
.
Подгруппы
и
группы
называются перестановочными, если
.
Пусть
,
-подгруппы
группы
и
.
Тогда
называется:
(1)
-перестановочной с
,
если в
имеется такой элемент
, что
;
(2)
наследственно -перестановочной с
, если в
имеется
такой элемент
, что
.
Пусть