Xreferat.com » Рефераты по математике » Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

alt="" width="17" height="19" border="0" />, имеющей непримарный индекс, в  найдется такая нильпотентная подгруппа , что  и  -перестановочна со всеми подгруппами из .

Пусть  - набор всех -максимальных подгрупп группы .

Как показывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности, накладываемые на подгруппы из , существенно определяют строение основной группы. В работе Л.Я. Полякова было доказано, что группа  разрешима, если любая подгруппа из  перестановочна со всеми подгруппами из  для всех , где . В связи с этим результатом естественно возникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению данной задачи и посвящена настоящая глава.

2. Группы с -перестановочными -максимальными подгруппами

Отмеченные выше результаты работы допускают следующие уточнения.

[2.1]. Пусть  - группа,  - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы  -перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы , то группа  метанильпотентна.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть  - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной в  подгруппы  факторгруппа  метанильпотентна.

Рассмотрим факторгруппу . Пусть  - произвольная максимальная в  подгруппа и  - произвольная -максимальная  подгруппа. Тогда  максимальна в  и  -максимальна в , а значит, по условию подгруппа  -перестановочна с подгруппой . Но тогда, согласно лемме , подгруппа  -перестановочна с подгруппой . Итак, условие теоремы выполняется в . Но  и поэтому согласно выбора группы , мы имеем (1).

(2)  - разрешимая группа.

Если в группе  существует единичная -максимальная подгруппа, то теорема очевидно справедлива. Предположим, что в группе  все -максимальные подгруппы отличны от единицы. Докажем, что для каждой максимальной подгруппы  группы , . Пусть  - максимальная подгруппа группы . Тогда по условию для каждого , мы имеем . Ввиду леммы ,  и, следовательно, . Значит, . Поскольку , то  и поэтому по выбору группы  мы заключаем, что  - разрешимая группа. Это означает, что  разрешима, и следовательно,  - разрешимая группа.

(3) Группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и , где  и  - максимальная в  подгруппа, которая не является нильпотентной группой.

Пусть  - произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех метанильпотентных групп образует насыщенную формацию (см. лемму ), то  - единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . В силу (2),  является элементарной абелевой -группой для некоторого простого . Пусть  - максимальная подгруппа в  такая, что . Пусть . Ясно, что . Так как , мы видим, что . Это показывает, что  и, следовательно, . Ясно, что  и поэтому по выбору группы ,  не является нильпотентной группой.

(4) Заключительное противоречие.

В силу (3), в группе  имеется максимальная подгруппа , которая не является нормальной подгруппой в . Поскольку для любого ,  - максимальная в  подгруппа и  - максимальная подгруппа в , то  - -максимальная в  подгруппа. Если  - нормальная подгруппа в , то . Значит,  не является нормальной подгруппой в . Покажем, что  - максимальная подгруппа группы . Пусть . Пусть  - такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда . Значит,  или . Первый случай, очевидно, невозможен. Следовательно, . Так как , то  - максимальная в  подгруппа. Тогда для любого ,  -перестановочна с . Поскольку , то ввиду леммы (6),  перестановочна с . Из максимальности подгруппы  следует, что  или . Если , то ввиду леммы , . Полученное противоречие показывает, что . Тогда  для любого  и поэтому . Следовательно, . Это означает, что  - нормальная подгруппа в , противоречие. Теорема доказана.

[2.1]. Каждая -максимальная подгруппа группы  перестановочна с любой максимальной подгруппой в  тогда и только тогда, когда либо  нильпотентна, либо  - такая ненильпотентная группа с , что циклическая силовская -подгруппа  группы  не нормальна в , а максимальная подгруппа группы  нормальна в .

Доказательство. Необходимость. Разрешимость группы  следует из теоремы . Предположим теперь, что  не является нильпотентной группой. Пусть  - максимальная подгруппа группы , которая не является нормальной в . Пусть  и  - максимальная подгруппа группы . Рассуждая как выше видим, что . Следовательно, , и  - циклическая примарная группа. Пусть . Покажем, что . Допустим, что . Пусть  - силовская -подгруппа группы  и  - максимальная подгруппа группы . Тогда  - -максимальная подгруппа группы  и, следовательно, по условию  - подгруппа группы , что противоречит максимальности подгруппы . Отсюда следует, что .

Достаточность очевидна. Следствие доказано.

[2.2]. Если в группе  любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы  и , то  - нильпотентная группа.

В дальнейшем нам потребуется следующая теорема.

[2.2]. Пусть  - группа,  - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы  -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа  разрешима и  для каждого простого .

Доказательство. Предположим, что данная теорема не верна, и пусть  - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1)  - разрешимая группа.

Действительно, если

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: