Xreferat.com » Рефераты по математике » Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

border="0" />, то каждая -максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы . Тогда по следствию , каждая максимальная подгруппа группы  сверхразрешима. Согласно известной теоремы Хупперта о разрешимости группы, в которой все собственные подгруппы сверхразрешимы,  - разрешимая группа.

Пусть теперь . Так как условие теоремы справедливо для группы , то группа  разрешима и поэтому  - разрешимая группа.

(2) Группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

 

 и ,


где  - такая максимальная в  подгруппа, что ,  и .

Так как класс всех разрешимых групп  с  образует насыщенную формацию , то ввиду (1),  и поэтому в группе  существует единственная минимальная нормальная подгруппа . Из леммы вытекает, что , где  - такая максимальная в  подгруппа, что  и . Покажем, что  делит . Если  не делит , то  - -группа, и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак,  делит . Допустим, что . Тогда факторгруппа  изоморфна подгруппе группы автоморфизмов . Так как группа  абелева, то  - сверхразрешимая группа, и поэтому . Полученное противоречие с выбором группы  показывает, что .

(3) Заключительное противоречие.

Пусть  - -максимальная подгруппа группы  и  - максимальная подгруппа группы . Тогда  и . Пусть  - максимальная подгруппа группы  такая, что  является максимальной подгруппой группы . Покажем, что  - максимальная подгруппы группы  и  - максимальная подгруппа группы . Так как , то  - собственная подгруппа группы . Предположим, что в  существует подгруппа  такая, что . Тогда из того, что  - максимальная подгруппа группы , следует, что либо , либо . Если , то , противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что . Следовательно,  - максимальная подгруппа в . Рассуждая как выше, мы видим, что  и  - максимальные подгруппы группы . Отсюда следует, что  - -максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы . По условию существует элемент  такой, что . Следовательно,

и поэтому . Таким образом, каждая -максимальная подгруппа группы  перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы . Ввиду (2) и следствия , получаем, что , где силовская -подгруппа нормальна в группе . Значит, , где  и . Пусть  - силовская -подгруппа и  - силовская -подгруппа группы . Пусть  - -максимальная подгруппа группы  такая, что . Так как , то  - неединичная подгруппа. Ясно, что  - -максимальная подгруппа группы  и  - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, по условию подгруппа  -перестановочна с , и поэтому для некоторого  мы имеем  - подгруппа группы . Поскольку , то  - нормальная подгруппа в группе . Так как , то  - нормальная подгруппа в группе . Получили противоречие с тем, что  - минимальная нормальная подгруппа. Теорема доказана.

Для доказательства теоремы [2.3] нам понадобятся следующие две леммы.

 Если все максимальные подгруппы группы  имеют простые порядки, то  сверхразрешима.

Доказательство. Так как в группе  все -максимальные подгруппы единичны, то ввиду следствия группа  либо нильпотентна, либо , где  - подгруппа простого порядка  и  - циклическая -подгруппа, которая не является нормальной в  подгруппой ( - различные простые числа). Предположим, что  не является нильпотентной группой. Тогда . Поскольку , то  - максимальная подгруппа группы  и поэтому . Так как группа порядка  разрешима, то группа  разрешима. Значит,  - нормальная в  подгруппа и поэтому главные факторы группы  имеют простые порядки. Следовательно,  - сверхразрешимая группа. Лемма доказана.

Если в группе  каждая максимальная подгруппа , индекс  которой является степенью числа , нормальна в , то  - -нильпотентная группа.

Доказательство. Предположим, что данная лемма не верна, и пусть  - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы  группы  факторгруппа  -нильпотентна.

Пусть  - максимальная подгруппа группы  такая, что  явяется степенью числа . Тогда  - максимальная в  подгруппа и  является степенью числа . По условию,  нормальна в , и поэтому  нормальна в . Так как , то  - -нильпотентная группа.

(2) Группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и  - -подгруппа.

Пусть  - минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех -нильпотентных групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1),  и  - единственная минимальная нормальная подгруппа группы . Предположим, что  - -подгруппа. Тогда  для некоторой -холловой подруппы  группы . Поскольку ввиду (1),  нормальна в , то  - нормальная подгруппа в группе , противоречие. Следовательно,  - элементарная абелева -подгруппа.

(3) Заключительное противоречие.

Пусть  - максимальная подгруппа группы , не содержащая . Поскольку  абелева, то  и поэтому

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: