Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
-подгруппа 
,
где 
. Так как 
-
максимальная в 
подгруппа, то 
. Это влечет, что 
.
Следовательно, группа 
обладает главным рядом
и
поэтому 
. Полученное противоречие с выбором
группы показывает, что 
. Пусть 
-
такая максимальная подгруппа группы , что 
. Тогда 
.
Это влечет 
, что противоречие тому, что 
.
Следовательно,
- нормальная подгруппа в . Согласно лемме ,
- -нильпотентная
группа и поэтому 
. Ввиду произвольного
выбора , получаем, что для любого 
и
. Ясно, что 
,
что противоречит . Теорема доказана.
-максимальные подгруппы перестановочны с 
-максимальными подгруппами
Целью
данного раздела является описание ненильпотентных групп, у которых каждая -максимальная подгруппа перестановочна со
всеми -максимальными подгруппами.
Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобится следующая лемма.
[3.1].
Пусть - группа Шмидта. Тогда в том и
только том случае каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными
подгруппами группы , когда группа имеет вид:
(1)
- группа Миллера-Морено;
(2)
, где 
-
группа кватернионов порядка 
, - группа порядка .
Доказательство.
Необходимость. Предположим, что - группа Шмидта,
у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна
со всеми 3-максимальными подгруппами группы .
Докажем, что в этом случае, либо - группа
Миллера-Морено, либо , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка
. Предположим, что это не так и пусть - контрпример минимального порядка.
Так
как - группа Шмидта, то ввиду леммы (I),
, где -
силовская 
-подгруппа в , - циклическая -подгруппа.
Покажем,
что - группа простого порядка. Предположим, что
это не так. Тогда в группе имеется
собственная подгруппа 
простого порядка. Ввиду
леммы (IV),
и, следовательно, -
нормальная подгруппа в группе и 
- группа Шмидта.
Понятно,
что в группе 
каждая 2-максимальная подгруппа
группы перестановочна со всеми
3-максимальными подгруппами группы .
Поскольку
, то 
и
поэтому по выбору группы мы заключаем,
что либо - группа Миллера-Морено, либо , где 
-
группа кватернионов порядка и 
- группа порядка .
В
первом случае 
- абелева подгруппа и,
следовательно, - группа Миллера-Морено.
Полученное противоречие с выбором группы показывает,
что , где -
группа кватернионов порядка и - группа порядка .
Тогда , где 
-
группа кватернионов порядка и - циклическая группа порядка 
. Пусть -
такая максимальная подгруппа группы , что 
. Если 
,
то 
. Поскольку -
группа Шмидта, то нильпотентна, и поэтому 
. Это означает, что -
нормальная подгруппа в группе . Полученное
противоречие показывает, что 
. Следовательно, - максимальная подгруппа группы . Понятно, что -
-максимальная подгруппа группы . Пусть 
-
подгруппа группы с индексом 
. Ясно, что -
-макимальная подгруппа группы . Так как по условию и
перестановочны, то 
-
подгруппа группы , индекс которой равен . Рассуждая как выше, видим, что - нормальная подгруппа группы . Полученное противоречие показывает, что - группа простого порядка.
Пусть
- произвольная максимальная подгрупа в и 
- максимальная
подгруппа в . Так как неабелева,
то - неединичная подгруппа. Из того, что - максимальная подгруппа в , следует, что -
3-максимальная подгруппа в .
Ввиду
леммы (II), 
- максимальная подгруппа в . Рассмотрим максимальную в подгруппу ,
такую что . Тогда
и
- 2-максимальная подгруппа в . По условию подгруппы и перестановочны.
Если 
, то используя лемму (V), имеем
Из
того, что 
получаем, что порядок 
делит 
.
Поскольку 
, то полученное противоречие
показывает, что 
- собственная подгруппа
группы . Следовательно, нильпотентна, и поэтому
Значит,
либо 
- максимальная подгруппа в , либо 
.
В первом случае получаем, что 
является
единственной максимальной подгруппой в .
Это означает, что - циклическая подгруппа,
что противоречит выбору группы . Следовательно,
первый случай невозможен. Итак, . Ввиду
произвольного выбора получаем, что - единственная -максимальная
подгруппа в группе . Из теоремы
следует, что - либо циклическая группа, либо
группа кватернионов порядка . Так как первый
случай очевидно невозможен, то - группа
кватернионов порядка . Поскольку подгруппа 
изоморфна погруппе группы автоморфизмов 
, то 
.
Полученное противоречие с выбором группы доказывает,
что либо - группа Миллера-Морена, либо , где -
группа кватернионов порядка и - группа порядка .
Достаточность очевидна. Лемма доказана.
.
В ненильпотентной группе каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда группа имеет вид:
(1)
- группа Миллера-Морена;
(2)
- группа Шмидта, где -
группа кватернионов порядка и - группа порядка ;
(3)
и 
,
где
- группа простого порядка , - нециклическая -группа и все ее максимальные подгруппы,
отличные от 
, цикличны;
(4)
,
где
- группа порядка