Xreferat.com » Рефераты по математике » Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

,  - группа простого порядка , отличного от ;

(5) ,

где  - группа порядка , каждая подгруппа которой нормальна в группе ,  - циклическая -группа и ;

(6) ,

где  - примарная циклическая группа порядка ,  - группа простого порядка , где  и ;

(7) ,

где  и  - группы простых порядков  и  (),  - циклическая -подгруппа в  (), которая не является нормальной в , но максимальная подгруппа которой нормальна в .

Доказательство. Необходимость. Пусть  - ненильпотентная группа, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы  перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы .

Если в группе  все максимальные подгруппы нильпотентны, то группа  является группой Шмидта. Ввиду леммы, группа  оказывается группой типа (1) или типа (2).

Итак, мы можем предположить, что в группе  существует ненильпотентная максимальная подгруппа.

Из теоремы следует, что группа  разрешима. Так как в разрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы является степенью простого числа, то .

I. .

Пусть  - некоторая силовская -подгруппа в  и  - некоторая силовская -подгруппа в , где .

Предположим, что в группе  нет нормальных силовских подгрупп. Так как группа  разрешима, то в  существует нормальная подгруппа  простого индекса, скажем индекса , и она не является нильпотентной группой. Действительно, если  нильпотентна, то в ней нормальна силовская -подгруппа . Так как , то  - нормальная подгруппа в . Из того, что  следует, что  - нормальная силовская -подгруппа в . Полученное противоречие показывает, что  не является нильпотентной подгруппой.

Так как  является максимальной подгруппой в , то по условию все 2-максимальные подгруппы группы  перестановочны с каждой максимальной подгруппой группы . Ввиду следствия , группа  имеет вид , где  - группа простого порядка  и  - циклическая -подгруппа.

Так как

и факторгруппа  изоморфна подгруппе из , то  больше .

Если  - нильпотентная группа, то  и поэтому согласно теореме Бернсайда , группа  -нильпотентна. Но тогда . Полученное противоречие показывает, что  является ненильпотентной группой. Так как  - нормальная подгруппа в , то ввиду следствия , подгруппа  имеет вид , где  - циклическая -подгруппа, и, следовательно, . Полученное противоречие показывает, что в группе  существует нормальная силовская подгруппа.

Пусть, например, такой является силовская -подгруппа  группы . Пусть . Ясно, что .

Если в группе  существует подгруппа Шмидта , индекс которой равен , то . Ввиду следствия ,  - группа порядка .

Пусь . Допустим, что  - циклическая подгруппа. В этом случае, группа  является группой Шмидта. Полученное противоречие с выбором группы  показывает, что  - нециклическая подгруппа. Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Если  - нильпотентная подгруппа, то группа  нильпотентна, противоречие. Следовательно,  - группа Шмидта, и поэтому  - циклическая подгруппа. Таким образом, группа  относится к типу (3).

Пусть . Тогда . Следовательно,  - -максимальная подгруппа группы . Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы . Если  - нильпотентная подгруппа, то , и поэтому . Полученное противоречие показывает, что  - группа Шмидта. Значит,  - циклическая подгруппа. Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Так как , то  - единственная -максимальная подгруппа группы . Следовательно, . Факторгруппа , где  - элементарная абелева подгруппа порядка  и . Так как  - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то  - циклическая группа, и поэтому подгруппа  циклическая, противоречие.

Предположим теперь, что у всех подгрупп Шмидта индекс в группе  является степенью числа .

Так как в группе  существуют собственные подгруппы Шмидта, то . Пусть  - подгруппа Шмидта группы . Тогда  для некоторого . Понятно, что для некоторого  имеет место  и поэтому не теряя общности мы может полагать, что . Поскольку , то . Из того, что , следует, что .

Так как  - максимальная подгруппа группы , то по условию 2-максимальные подгруппы группы  перестановочны со всеми максимальными подгруппами в . Используя следствие, мы видим, что  - группа простого порядка и  - циклическая подгруппа, причем все собственные подгруппы группы  нормальны в . Следовательно,  является максимальной подгруппой группы .

Предположим, что . Пусть  - максимальная подгруппа группы . Тогда . Из того, что , следует, что  - нильпотентная максимальная подгруппа в . Значит,  - нормальная подгруппа в . Поскольку  нормальна в , то  - нормальная подгруппа группы . Так как , то в группе  существует 2-максимальная подгруппа  такая, что . Тогда  - -максимальная подгруппа в , и следовательно,  - -максимальная подгруппа в . Поскольку по условию  перестановочна с , то

что приводит к противоречию с максимальностью подгруппы . Следовательно, .

Предположим теперь, что . Допустим, что . Пусть  - произвольная максимальная подгруппа группы  и  - произвольная -максимальная подгруппа группы

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: