Xreferat.com » Рефераты по математике » Функція, її границя та неперервність

Функція, її границя та неперервність

Размещено на /


ФУНКЦІЯ, ЇЇ ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ


1. Функція багатьох змінних. Означення та символіка


Нехай задано множину Функція, її границя та неперервність упорядкованих пар чиселФункція, її границя та неперервність. Якщо кожній парі чисел Функція, її границя та неперервністьза певним законом відповідає число z, то кажуть, що на множині Функція, її границя та неперервність визначено функцію Функція, її границя та неперервність від двох змінних x і Функція, її границя та неперервність і записуютьФункція, її границя та неперервність.

Змінну Функція, її границя та неперервність називають залежною змінною (функцією), а змінні x та Функція, її границя та неперервність – незалежними змінними (аргументами).

Множину пар Функція, її границя та неперервність значень x таФункція, її границя та неперервність, для яких функція Функція, її границя та неперервність визначена, називають областю визначення цієї функції і позначають Функція, її границя та неперервність абоФункція, її границя та неперервність.

Множину значень Функція, її границя та неперервність позначають Функція, її границя та неперервністьабоФункція, її границя та неперервність.

Оскільки кожній упорядкованій парі чисел Функція, її границя та неперервність відповідає в прямокутній системі координат Функція, її границя та неперервність єдина точка Функція, її границя та неперервність площини, що те саме, точка двовимірного просторуФункція, її границя та неперервність, і, навпаки, кожній точці Функція, її границя та неперервність площини відповідає єдина упорядкована пара чиселФункція, її границя та неперервність, то функціюФункція, її границя та неперервність, деФункція, її границя та неперервність, можна розглядати як функцію точки Функція, її границя та неперервність і замість Функція, її границя та неперервність писатиФункція, її границя та неперервність. Областю визначення Функція, її границя та неперервність функції у цьому випадку є деяка множина точок площиниФункція, її границя та неперервність. Зокрема, областю визначення функції може бути вся площина, або частина площини, обмежена певними лініями.

Значення функції Функція, її границя та неперервність в точці Функція, її границя та неперервність позначають Функція, її границя та неперервність абоФункція, її границя та неперервність, абоФункція, її границя та неперервність.

Лінію, що обмежує областьФункція, її границя та неперервність, називають межею області визначення. Точки області, які не лежать на її межі, називаються внутрішніми. Область, яка містить одні внутрішні точки називається відкритою. Якщо ж до області визначення належать і всі точки межі, то така область називається замкненою.

Функція двох змінних, як і функція однієї змінної, може бути задана різними способами. Користуватимемося, як правило, аналітичним способом, коли функція задається за допомогою формули. Областю визначення такої функції вважається множина всіх тих точок площини, для яких задана формула має зміст.

Приклади

Знайти область визначення Функція, її границя та неперервність функції


а)Функція, її границя та неперервність;

б)Функція, її границя та неперервність.


Розв’язання

а) Область Функція, її границя та неперервність даної функції – множина тих точок Функція, її границя та неперервність, для яких вираз Функція, її границя та неперервністьмає зміст, тобто множина точок, для яких Функція, її границя та неперервність. Це означає, що функція визначена в точках, які знаходяться всередині кола Функція, її границя та неперервність і на його межі, оскільки всі точки, які знаходяться зовні кола задовольняють умову Функція, її границя та неперервність.

б) Область визначення Функція, її границя та неперервність цієї функції визначається з нерівностіФункція, її границя та неперервність, тобтоФункція, її границя та неперервність.

Точки площиниФункція, її границя та неперервність, координати яких задовольняють цю нерівність, розташовані під прямоюФункція, її границя та неперервність, причому точки, які розташовані на цій прямій не належать областіФункція, її границя та неперервність.

Функцію двох змінних можна зобразити графічно у вигляді деякої поверхні. Дійсно, нехай функція Функція, її границя та неперервність визначена в областіФункція, її границя та неперервність. Кожній точці Функція, її границя та неперервність відповідає певне значення функціїФункція, її границя та неперервність.

Графіком функції Функція, її границя та неперервність у прямокутній системі Функція, її границя та неперервність називається геометричне місце точок Функція, її границя та неперервність, проекції яких Функція, її границя та неперервність належать областіФункція, її границя та неперервність. Це геометричне місце точок утворює в тривимірному просторі Функція, її границя та неперервність певну поверхню (рис.1), проекцією якої на площину Функція, її границя та неперервність є множинаФункція, її границя та неперервність.


Функція, її границя та неперервність

Рисунок 1 – Поверхня у тривимірному просторі


Приклади

а) Графіком функції Функція, її границя та неперервність, як відомо з аналітичної геометрії, є параболоїд обертання.

б) Графіком функції Функція, її границя та неперервність є гіперболічний параболоїд.

При побудові графіків функцій двох змінних часто стикаємося із значними труднощами. В зв’язку з цим для зображення функції двох змінних користуються методом перерізів, який полягає у тому, що поверхню Функція, її границя та неперервністьперетинають площинами Функція, її границя та неперервність та Функція, її границя та неперервність і за графіками кривих Функція, її границя та неперервність та Функція, її границя та неперервністьвизначають графік функціїФункція, її границя та неперервність.

Можна фіксувати не x чиФункція, її границя та неперервність, а саму функціюФункція, її границя та неперервність, тобто перетинати дану поверхню площинами Функція, її границя та неперервність, де c – довільне число, взяте з множини Функція, її границя та неперервність значень даної функції. Таким чином отримаємо кривуФункція, її границя та неперервність, яку називають
лінією рівня функції. Інакше кажучи, лінія рівня на площині Функція, її границя та неперервність – це проекція кривої, яка утворюється при перетині поверхні Функція, її границя та неперервність площиною Функція, її границя та неперервність. Якщо побудувати лінії рівня для різних значень c, можна отримати уявлення про графік функції двох змінних.

Приклад

Знайти лінії рівня функції Функція, її границя та неперервність.

Розв’язання

Лініями рівня даної функції є кола з радіусом Функція, її границя та неперервність (рис. 2). Зокрема, якщоФункція, її границя та неперервність, то отримуємо коло Функція, її границя та неперервність.


Функція, її границя та неперервність

Рисунок 2 – Лінії рівня функції Функція, її границя та неперервність


Поняття функції двох змінних узагальнимо на випадок трьох і більшого числа незалежних змінних.

НехайФункція, її границя та неперервність– деяка множина упорядкованих трійок Функція, її границя та неперервністьдійсних чисел, тобто точок Функція, її границя та неперервністьтривимірного просторуФункція, її границя та неперервність.

Якщо кожній точці Функція, її границя та неперервність за певним законом відповідає єдине числоФункція, її границя та неперервність, то кажуть, що на множині Функція, її границя та неперервність визначено функцію u від трьох змінних Функція, її границя та неперервність і Функція, її границя та неперервність та записують Функція, її границя та неперервність або Функція, її границя та неперервність.

При цьому змінна Функція, її границя та неперервність називається залежною змінною (функцією), Функція, її границя та неперервність– незалежними змінними (аргументами), множина Функція, її границя та неперервність – областю визначення функції.

Область визначення функції трьох змінних можна геометрично зобразити у вигляді деякої частини тривимірного простору.

Поверхнею рівня функції Функція, її границя та неперервність називають множину всіх точок Функція, її границя та неперервність, для яких задана функція набуває одне й те саме значенняФункція, її границя та неперервність: Функція, її границя та неперервність.

Приклади

Областю визначення функції


Функція, її границя та неперервність


є куля радіуса Функція, її границя та неперервність з центром у початку координат. Це замкнена область, оскільки їй належать точки сфери Функція, її границя та неперервність – межі області.

2. Поверхні рівня функції Функція, її границя та неперервність визначаються рівняннямФункція, її границя та неперервність,

Якщо Функція, її границя та неперервність, то отримуємо Функція, її границя та неперервність – конус;

якщоФункція, її границя та неперервність, то Функція, її границя та неперервність сім’я однопорожнинних гіперболоїдів;

якщоФункція, її границя та неперервність, то Функція, її границя та неперервність сім’я двопорожнинних гіперболоїдів.

Лінії та поверхні рівня досить часто зустрічаються на практиці. Зокрема, ізотерми та ізобари є важливими даними для прогнозу погоди.

Якщо число n незалежних змінних більше трьох, то їх часто позначають однією буквою, але з різними індексами: Функція, її границя та неперервність.

Функцію u від цих незалежних змінних можна визначити так. Нехай задано множину Функція, її границя та неперервність упорядкованих систем Функція, її границя та неперервністьз n чисел Функція, її границя та неперервність або, що те саме, множину точок Функція, її границя та неперервність n– вимірного простору Функція, її границя та неперервність.

Якщо кожній точці Функція, її границя та неперервністьза певним законом відповідає єдине число u, то кажуть, що на множині Функція, її границя та неперервність визначено функцію u від n змінних: Функція, її границя та неперервністьі записують


Функція, її границя та неперервністьабоФункція, її границя та неперервність,Функція, її границя та неперервність.


Надалі розглядатимемо функції двох змінних, оскільки результати для функцій двох змінних легко за аналогією узагальнити на випадок більшого числа змінних.


2. Границя функції багатьох змінних

функція формула неперервність змінна

Введемо поняттяФункція, її границя та неперервність – околу заданої точки Функція, її границя та неперервністьі поняття збіжної послідовності точок площини.

Множина всіх точокФункція, її границя та неперервність, координати яких задовольняють нерівність


Функція, її границя та неперервність,


де Функція, її границя та неперервність – відстань від точки Функція, її границя та неперервність доФункція, її границя та неперервність, називається Функція, її границя та неперервність-околом точки Функція, її границя та неперервність.

Розглянемо послідовність точокФункція, її границя та неперервність, Функція, її границя та неперервність, …, Функція, її границя та неперервність, яку позначимо символом Функція, її границя та неперервність. Послідовність точок Функція, її границя та неперервність називається збіжною до точки Функція, її границя та неперервність, якщо для довільного числа Функція, її границя та неперервність існує номер Функція, її границя та неперервністьтакий, що при Функція, її границя
					</div>
					<div class=Страницы: 1 2 3